27.2.3 相似三角形应用举例 教学设计 2024--2025学年人教版九年级数学下册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 春季 课题 27.2.3相似三角形应用举例 教学目标 1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度（重点） 2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力。（难点） 教学重难点 教学重点： 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度 教学难点： 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力。 教学过程 一、图片引入，提出问题：怎样测量这些非常高大的物体的高度？ 怎样测量河宽？ 利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题. 二、新知探究 （一）利用相似三角形测量高度 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 例1如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠AOB =∠DFE = 90°∴△ABO ∽△DEF. O==134 答：金字塔的高度为134 m. 归纳：测高方法一 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：甲物高 ：乙物高 = 甲影长 ：乙影长 练习1 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是8米． 想一想：还可以有其他测量方法吗？ 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 练习2 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C处，已知 AB =2米，且测得 BP=3米，DP =12米，那么该古城墙的高度是 ( B ) A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 二、利用相似三角形测量宽度 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点Q和S，使点 P，Q，S共线且直线 PS与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点 R.已知测得QS= 45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽 PQ. 解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P， ∴△PQR∽△PST. 即,, 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m. 例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点B 和C，使AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点D．此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离 AB． 解：∵ ∠ADB＝∠EDC， ∠ABC＝∠ECD＝90°  ∴ △ABD∽△ECD. 解得AB=100 答：两岸间的大致距离为 100 m. 归纳：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 三、利用相似解决有遮挡物问题 例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? 分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了. 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上． ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK. 解得EH=8 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 巩固练习 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( A ) A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 2.小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( A ) A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m 3. 如图，为了测量水塘边 A、B两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点E处，取AE、BE 延长线上的 C、D两点，使得CD∥AB. 若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3 m，则 A、B两点间的距离为 m. 4.如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝ 20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长度为 . 知识小结 相似三角形的应用举例 利用相似三角形测量高度 利用相似三角形测量宽度 利用相似解决有遮挡物问题 学科网（北京）股份有限公司 $$