第十五章 轴对称 单元测试卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第15章 轴对称 单元测试卷（培优提升卷） （满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.点关于轴对称的点的坐标是(    ) A. B. C. D. 3.若等腰三角形的底边长为，则其腰长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是(    ) A. B. C. D. 5.如图，是等边的中线，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 第5题 第6题 第7题 第8题 6.如图，是的中位线，点在上，且，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，是边长为的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，的面积为，的垂直平分线交，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 9.如图，中，，，分别是和中点，分别过点，作和的垂线交于，，若，，则的长度是(    ) A. B. C. D. 10.如图，等腰三角形纸片中，，，点为边上的垂足小花放入一张等边三角形纸片，在上，为与的交点，小都又放一张等边三角形纸片，在上小花和小都量得，，那么等腰三角形纸片的底边长应为(    ) A. B. C. D. 第9题 第10题 第14题 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11.已知等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长是          ． 12.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为          ． 13.如果等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为          ． 14.如图，，，，，则          ． 15.若点与点关于轴对称，则的值是          ． 16.如图，等边的边长为，，分别是，上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为          ． 第16题 第17题 第18题 17.如图，在中，是的角平分线，过点作交于点，平分交于点若，则           ． 18.如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则的长为          ． 三、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，已知，，，为上一点，且到，两点的距离相等． 用直尺和圆规，作出点的位置不写作法，保留作图痕迹； 连接，若，则____． 已知，的周长为，则的周长为________． 20.本小题分 如图，在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，． 求证： 作出点关于直线的对称点，连接，，猜想与的数量关系，并说明理由． 21.本小题分 如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点，是的中点，连接并延长交于点． 求证：平分． 若，，求的度数． 22.本小题分 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 已知在中，，，求证：． 法一：如图，在上取一点，使得，连接． 法二：如图，延长到，使得，连接． 你选择方法______；证明： 23.本小题分 如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交延长线于点． 证明：是等腰三角形； 若，，，求的长． 24.本小题分 如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，以点为顶点作一个的角，使其两边分别交于点，交于点，连接． 求证：求的周长． 25.本小题分 如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点． 求证：是的中点； 若平分，求的度数． 26.本小题分 如图，在中，，，垂足为，，垂足为，点是的中点，，交于点． 如果，求证：是等边三角形； 如果，试猜想是不是等边三角形？如果是等边三角形，请加以证明；如果不是等边三角形，请说明理由； 如果，，求的长度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案和解析 1.【答案】  解：、不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、有一条对称轴，是轴对称图形，本选项符合题意． 2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  解： 是等边的中线， ， ， ， ，  ，  ． 故选D． 6.【答案】  【解答】解：是的中位线， ， ，是的中点， ， ． 故选B． 7.【答案】  【解答】 解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ， 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：，为边的中点， ． ，的面积为， 则． ， ． ． 是的垂直平分线， ． 的周长． 当、、三点共线时，取得最小值，这个最小值就是的长度． 又为中点，， ． 周长的最小值为． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：如图，连接，， ， ， 点，作和的垂线交于，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 即的长度是， 故选：． 10.【答案】  【解析】解：，是等边三角形，， ，， ， ， ， ． 故选：． 11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】或  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】  【解析】由折叠，得，，所以阴影部分图形的周长和为． 17.【答案】  【解析】 ，      平分  ，  平分  ，   ，     ，   ，  ，   ，  ，   ，  ，    ． 18.【答案】  【解析】如图，连接，作于点，，，，在中，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，故答案为． 19.【答案】解：如图，点即为所求； ； ．  解：见答案； ，， ． ， ， ． ， 的周长 ， 的周长． 20.【答案】证明：， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； ； 理由：如图， 点、点关于直线的对称， ，， 又， ， 是等边三角形， ．  21.【答案】证明：平分， ． ， ， ， ， 是等腰三角形． 为的中点， 平分， 即平分． 解：， ． ， ． 平分， ． ，， ．  22.【答案】证明：选择方法一：在上取一点，使得，连接， ，， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ．  23.【答案】证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； 解：， ， ，，       ， ， 是等边三角形， ， ．  24.【答案】证明：是等腰三角形，且， ， 是边长为的等边三角形， ， ， 如图，延长至，使，连接， 在和中． ， ≌， ，， ， ， ，． 在和中， ， ≌， 解：由知：的周长是． 的周长是．   25.【答案】证明：， ， 和为等边三角形， ， ， 即， ． 在和中， ， ≌， ， 即平分， 又， ， 即为的中点； 解：平分， ， 由知，， ， ， ， ， ， ．  26.【答案】证明：，， 是等边三角形， ，垂足为，，垂足为， 、分别是、边的中点， 又点是的中点， ，，， ， 是等边三角形； 解：是等边三角形． 理由如下：，，， ， 在中，， 点是的中点，，， ， ，， ， ， 是等边三角形； 解：，，， ， ，， ．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 6页 第十五章 轴对称 单元测试卷（培优提升卷） （满分为 150 分，考试时间为 120 分钟） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.点�( − 2,3)关于�轴对称的点的坐标是( ) A. (2,3) B. (2, − 3) C. ( − 2, − 3) D. (3, − 2) 3.若等腰三角形的底边长为 4，则其腰长�的取值范围是( ) A. � > 4 B. � > 2 C. 0 < � < 2 D. 2 < � < 4 4.已知等腰三角形的一个角是 100°，则它的顶角是( ) A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 5.如图，��是等边▵���的中线，�� = ��，则∠���的度数为( ) A. 30 ​ ∘ B. 20​ ∘ C. 25∘ D. 15 ​ ∘ 第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 8 题 6.如图，��是△ ���的中位线，点�在��上，且∠��� = 90°，若�� = 10，�� = 16，则��的长为( ) A. 5 B. 3 C. 8 D. 10 7.如图，△ ���是边长为 2 的等边三角形，点�在��上，过点�作�� ⊥ ��，垂足为�，延长��到点�，使�� = ��，连接��交��于点�，则��的长为( ) A. 0.5 B. 0.9 C. 1 D. 1.25 8.如图，在△ ���中，�� = ��，�� = 6，△ ���的面积为 18，��的垂直平分线��交�，若�为��边的中 点，�是线段��上一动点，则△���周长的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 第 2页，共 6页 9.如图，△ ���中，∠� + ∠� = 45°，�，�分别是��和��中点，分别过点�，�作��和��的垂线交��于�， �，若�� = 2，�� = 7，则��的长度是( ) A. 1 B. 2 C. 32 D. 3 10.如图，等腰三角形纸片���中，�� = ��，�� ⊥ ��，点�为��边上的垂足.小花放入一张等边三角形纸 片���，�在��上，�为��与��的交点，小都又放一张等边三角形纸片���，�在��上.小花和小都量得�� = 5， �� = 3，那么等腰三角形纸片的底边��长应为( ) A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 第 9 题 第 10 题 第 14 题 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 4分，共 32 分。 11.已知等腰三角形的两边长分别为 5 ��，2 ��，则该等腰三角形的周长是 ． 12.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图 所示，则该车牌照的部分号码为 ． 13.如果等腰三角形的周长为 27，一边长为 13，那么腰长为 ． 14.如图，∠��� = 100°，∠� = 40°，∠� = 20°，�� = 3，则�� = ． 15.若点�(� + 2�, 1)与点�(2, � − �)关于�轴对称，则� + �的值是 ． 16.如图，等边△ ���的边长为 2 ��，�，�分别是��，��上的点，将△ ���沿直线��折叠，点�落在点�′ 处，且点�′在△ ���外部，则阴影部分图形的周长为 ��． 第 16 题 第 17 题 第 18 题 17.如图，在▵���中，��是▵���的角平分线，过点�作��//��交��于点�，��平分∠���交��于点�.若 �� = 3�� = 6，则�� = ． 第 3页，共 6页 18.如图，在△ ���中，∠� = 30°，点�是��的中点，�� ⊥ ��交��于�，点�在��上，�� = ��，�� = 1， �� = 2，则��的长为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 88 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分) 如图，已知△ ���，∠� = 90°，�� < ��，�为��上一点，且到�，�两点的距离相等． (1)用直尺和圆规，作出点�的位置(不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接��，若∠� = 33°，则∠��� =____°． (3)已知�� = 13，����的周长为 17，则����的周长为________． 20.(本小题 8 分) 如图，在等边三角形���中，点�在��边上，点�在��的延长线上，�� = ��． (1)求证：∠��� = ∠���; (2)作出点�关于直线��的对称点�，连接��，��，猜想��与��的数量关系，并说明理由． 第 4页，共 6页 21.(本小题 8 分) 如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠ABC 的平分线交 CD 的延长线于点�，�是 BE 的中点，连接 CF 并延 长交 AD 于点�． (1)求证：CG 平分∠BCD． (2)若∠ADE = 110°，∠ABC = 52°，求∠CGD 的度数． 22.(本小题 8 分) 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两 种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 已知在△ ���中，∠� = 90°，∠� = 30°，求证：�� = 12��． 法一：如图 1，在��上取一点�，使得�� = ��，连接��． 法二：如图 2，延长��到�，使得�� = ��，连接��． 你选择方法______；证明： 第 5页，共 6页 23.(本小题 8 分) 如图，△ ���是等腰三角形，�� = ��，点�是��上一点，过点�作�� ⊥ ��交��于点�，交��延长线于点�． (1)证明：△ ���是等腰三角形； (2)若∠� = 60°，�� = 4，�� = 2，求��的长． 24.(本小题 10 分) 如图，△ ���是边长为 3 的等边三角形，△���是等腰三角形，且∠��� = 120°，以点�为顶点作一个 60° 的角，使其两边分别交于��点�，交��于点�，连接��． (1)求证：�� = �� + ��.  (2)求△ ���的周长． 第 6页，共 6页 25.(本小题 10 分) 如图，△ ���为等腰三角形，�� = ��，△ ���和△ ���分别为等边三角形，��与��相交于点�，连接�� 并延长，交��于点�． (1)求证：�是��的中点； (2)若��平分∠���，求∠���的度数． 26.(本小题 12 分) 如图，在△ ���中，∠� = 60°，�� ⊥ ��，垂足为�，�� ⊥ ��，垂足为�，点�是��的中点，��，��交于 点�． (1)如果�� = ��，求证：△���是等边三角形； (2)如果�� ≠ ��，试猜想△���是不是等边三角形？如果△ ���是等边三角形，请加以证明；如果△ ��� 不是等边三角形，请说明理由； (3)如果�� = 4，�� = 5，求��的长度．