第十二讲：线段的垂直平分线的性质（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十二讲：线段的垂直平分线的性质 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：线段的垂直平分线的性质 线段垂直平分线的定义: 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何语言： ∵ AD⊥BC，BD=CD， ∴ AB=AC 知识点02：线段的垂直平分线的判定 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵ AB=AC， ∴点A 在线段BC 的垂直平分线上. 知识点03：三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 知识点04：尺规作图——作线段的垂直平分线 作法： (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长 为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，CD就是线段AB的垂直平分线 知识点05：互逆命题和互逆定理 互逆命题: 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 考点1：线段垂直平分的性质 【典型例题】 如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键. 根据垂直平分线的性质得出，再进行等量代换后计算即可. 【详解】解：∵ 垂直平分， ∴， ∴ 的周长， ∵， ∴ 故选：A． 【变式训练1】 如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长． 【详解】解：中，，直线垂直平分， ， 的周长为32， ， 的周长是， 故选：B． 【变式训练2】 如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两边距离相等．根据是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，根据的周长，即可求解． 【详解】解：边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点， ，， 的周长为12cm， ， ， 故选：B． 考点2：线段垂直平分的判定 【典型例题】 如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 故选：A． 【变式训练1】 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得． 【详解】解：∵，且点为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练2】 如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：A． 考点3：作已知线段的垂直平分 【典型例题】 已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，使得，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】根据得，点P是得中点，根据作图意义解答即可． 本题考查了中线与三角形的面积，尺规作图，熟练掌握性质和作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，得，点P是的中点， A. 作图是的垂直平分线，点P是的中点，符合题意； B. 作图是,点P不是的中点，不符合题意； C. 作图是是的平分线，点P不是的中点，不符合题意； D. 作图是，点P不是的中点，不符合题意； 故选：A． 【变式训练1】 如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， 故选：． 【变式训练2】 如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．17 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，是的垂直平分线，，则，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， 又， ∴的周长为， 故选：B． 考点4：写出命题的逆命题 【典型例题】 下列命题的逆命题正确的是（  ） A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．如果a＝b，那么a2＝b2 【答案】C 【分析】本题考查了求一个命题的逆命题，判断命题的真假，熟练掌握求一个命题的逆命题及判断命题的真假是解题的关键． 分别写出各命题的逆命题，并判断其真假． 【详解】A．原命题：“全等三角形的周长相等”，逆命题：“周长相等的三角形是全等三角形”．周长相等但形状不同的三角形不全等，故逆命题为假命题，该选项不符合题意； B．原命题：“全等三角形的对应角相等”，逆命题：“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等仅说明三角形相似，未必全等，故逆命题为假命题，该选项不符合题意； C．原命题：“直角三角形的两个锐角互余”，逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．若两锐角之和为90°，则第三个角为90°，必为直角三角形，故逆命题为真命题，该选项符合题意； D．原命题：“如果，那么”，逆命题：“如果，那么”．当时，但，故逆命题为假命题，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 【答案】D 【分析】本题考查了原命题与逆命题，判断逆命题的真假，解题的关键是熟练掌握命题的结构． 根据原命题，写出逆命题，判断逆命题的真假即可． 【详解】解：∵命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， ∴①正确， ∵如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，比如，等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角， ∴②不正确， ∴只有②不正确， 故选：． 一、单选题 1．下列尺规作图，能确定是的角平分线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了基本作图，根据角平分线，中线，垂线的作图分别判断即可． 【详解】解：．通过做图可知是的角平分线，故该选项符合题意； ．通过做图可知，故该选项不符合题意； ．通过做图可知是边的中线，故该选项不符合题意； ．通过做图可知是边的高，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．如图是一个风筝的骨架示意图（可称为筝形）．已知垂直平分，则筝形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到两端点的距离是解决问题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到,即可求得答案． 【详解】解：∵垂直平分，, ∴, ∴筝形的周长. 故选：D． 3．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质．先判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故选：A． 4．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．顶角B的角平分线 B．边的垂直平分线 C．边的中线 D．边的高线 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，根据作图痕迹判断出线段是的高即可． 【详解】解：由作图可知，故线段是的高． 故选：D． 5．已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（    ） A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题 C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题，全等三角形的性质和判定，绝对值的意义，掌握命题与逆命题的关系是解题的关键． 【详解】命题甲：“全等三角形的对应角相等”是真命题．其逆命题为“对应角相等的三角形全等”． 逆命题的题设是“对应角相等”，而非“两个角相等”， 故选项A错误． 由于对应角相等但边不一定相等，无法保证全等（需对应边相等），故逆命题为假．选项C错误． 命题乙：例如，，时，但，故“若，则”是假命题．选项B正确． 命题乙的逆命题为：“若，则”是真命题（因时绝对值必相等），选项D错误． 故选：B． 6．在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式可得，进而可得，据此可得答案． 【详解】解；∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵的周长等于50， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．下列命题的逆命题正确的是（　　） A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了求一个命题的逆命题，判断命题的真假，熟练掌握求一个命题的逆命题及判断命题的真假是解题的关键．分别写出各选项的逆命题，并判断其真假即可． 【详解】解：A. 原命题：全等三角形面积相等；逆命题：面积相等的三角形全等；面积相等不一定全等，所以逆命题错误，选项A不符合题意； B. 原命题：全等三角形周长相等；逆命题：周长相等的三角形全等；周长相等不一定全等，所以逆命题错误，选项B不符合题意； C. 原命题：直角三角形的两个锐角互余；逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形；逆命题正确，所以选项C符合题意； D. 原命题：如果，那么；逆命题：如果，那么；逆命题错误，所以选项D不符合题意． 故选：C． 8．如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以、两点为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧分别交于点、；②作直线；③以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边、于点、；④分别以点、为圆心，相同长（大于长的一半）为半径作弧，两弧相交于点；⑤作射线，交于点，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、角平分线的性质、中垂线的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟悉掌握角平分线、中垂线的性质是解题的关键．根据三角形的内角和定理，得到，根据作图步骤，为角平分线，为的中垂线，所以，，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 9．如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故选：C． 10．银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（ ） A．三角形的三条中线的交点处 B．三角形的三条角平分线的交点处 C．三角形的三条垂直平分线的交点处 D．三角形的三条高线的交点处 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，根据线段垂直平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且交易中心到到三个种植区的距离相等， ∴这个交易中心应建在三角形的三条垂直平分线的交点处． 故选：C． 二、填空题 11．直角三角形的两个锐角互余的逆命题为 ． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查的命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．直接写出原命题的逆命题即可． 【详解】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：有两个角互余的三角形是直角三角形． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为5，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质知，．的周长，解方程得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又的周长， 即， ∴． 故答案为：2． 13．如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与，相交于点D，E，连接．若，的周长为18，则的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识．利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题． 【详解】解：根据作图知垂直平分线段， ∴， ∵， ∴，即， ∴的周长， 故答案为：28． 14．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进一步求解即可． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 15．如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 16．如图，在中，，垂直平分．则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，再由三角形的周长即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴． 故答案为：10 17．如图，在中，的垂直平分线与，分别交于点，，的垂直平分线与，分别交于点，，已知，，则的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．先根据线段的垂直平分线的性质得到、，根据三角形的周长，代入数据计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， ，， 的周长， 故答案为：． 18．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 19．如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据角平分线的性质得出，证明出，得到，利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得出结论． 【详解】证明：∵是的平分线，且，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 20．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键，由垂直平分，可得，则可求出的周长为，把的值代入即可求出． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ， ，解得， 底边的长为． 21．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，即可得到结论； （2）由题意可得，再结合，求解即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 22．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十二讲：线段的垂直平分线的性质 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：线段的垂直平分线的性质 线段垂直平分线的定义: 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何语言： ∵ AD⊥BC，BD=CD， ∴ AB=AC 知识点02：线段的垂直平分线的判定 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵ AB=AC， ∴点A 在线段BC 的垂直平分线上. 知识点03：三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 知识点04：尺规作图——作线段的垂直平分线 作法： (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长 为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，CD就是线段AB的垂直平分线 知识点05：互逆命题和互逆定理 互逆命题:两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 考点1：线段垂直平分的性质 【典型例题】 如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 【变式训练2】 如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 考点2：线段垂直平分的判定 【典型例题】 如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式训练1】 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式训练2】 如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 考点3：作已知线段的垂直平分 【典型例题】 已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，使得，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B．C． D． 【变式训练1】 如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．17 B．19 C．20 D．21 考点4：写出命题的逆命题 【典型例题】 下列命题的逆命题正确的是（  ） A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．如果a＝b，那么a2＝b2 【变式训练1】 下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 一、单选题 1．下列尺规作图，能确定是的角平分线的是（　　） A． B． C． D． 2．如图是一个风筝的骨架示意图（可称为筝形）．已知垂直平分，则筝形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 4．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．顶角B的角平分线 B．边的垂直平分线 C．边的中线 D．边的高线 5．已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（    ） A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题 C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题 6．在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 7．下列命题的逆命题正确的是（　　） A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．如果，那么 8．如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以、两点为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧分别交于点、；②作直线；③以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边、于点、；④分别以点、为圆心，相同长（大于长的一半）为半径作弧，两弧相交于点；⑤作射线，交于点，则的值为（    ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 10．银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（ ） A．三角形的三条中线的交点处 B．三角形的三条角平分线的交点处 C．三角形的三条垂直平分线的交点处 D．三角形的三条高线的交点处 二、填空题 11．直角三角形的两个锐角互余的逆命题为 ． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为5，则的长是 ． 13．如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与，相交于点D，E，连接．若，的周长为18，则的周长为 ． 14．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 15．如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 16．如图，在中，，垂直平分．则的周长为 ． 17．如图，在中，的垂直平分线与，分别交于点，，的垂直平分线与，分别交于点，，已知，，则的周长为 ． 18．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 三、解答题 19．如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 20．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长 21．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 22．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$