1.1 菱形的性质与判定菱形的判定 (2)教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 初中数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 菱形的判定 教学目标 1．通过观察菱形的图形特点，探究菱形的判定定理，提高数学抽象和逻辑推理能力． 2．掌握菱形的判定定理，会应用菱形的判定定理判定四边形是否为菱形． 教学重难点 教学重点： 1．通过观察菱形的图形特点，探究菱形的判定定理． 教学难点： 2．证明菱形的判定定理． 3．应用菱形的判定定理进行证明． 教学过程 【一、情景引入】 同学们，我们在上节课学习了菱形的性质之后，小刚同学问了老师一个问题． 小刚同学很喜欢探索我国灿烂辉煌的传统文化，他上次去山西博物院看到了一个很漂亮的同簋（簋，读guǐ），这是一种我国古代用青铜或陶制成的用来盛食物的容器． 小刚同学觉得这上面的纹饰很像是菱形，但不是很能确定，于是来问老师，怎么才能确定一个四边形是不是菱形． 同学们，我们这节课就一起来探究这个问题，看看怎么判断一个四边形是不是菱形． 【二、探索新知】 首先，我们复习一下上节课学习过的菱形的定义和性质． 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 性质：边：四条边都相等，对边平行； 角：对角相等； 对角线：互相平分且互相垂直； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形． 显然，我们可以根据定义来判定一个四边形是不是菱形．菱形的定义里包含了两个条件：一组邻边相等和平行四边形，只有这两个条件同时满足才能说明一个四边形是菱形． 提问：同学们思考一下：大前提是平行四边形，小条件改变一下，当AC⊥BD时，这两个条件下的四边形是不是菱形呢？现在让我们观察猜测一下： （PPT演示动画） 这是一个平行四边形，改变对角线的夹角，当它的对角线AC⊥BD时，我们观察到，它可能是一个菱形，由此猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 下面我们证明这个猜想． 已知：如图所示，在中，对角线AC与BD相交于O点，AC⊥BD． 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵ABCD是平行四边形， ∴OA=OC 又∵AC⊥DB． ∴BD是AC的垂直平分线． ∴BA=BC． ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）． 于是我们就得到了判定定理： 判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定定理1的符号语言： 提问：刚才我们是从平行四边形出发，探索了菱形的判定定理．那，如果不是平行四边形呢？对于任意一个四边形，满足什么条件它就是菱形呢？请四人小组讨论： 四边相等的四边形是菱形． 请同学们跟着老师一起来证明这个猜想： 已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA． 求证：四边形ABCD是菱形． 分析：我们可以通过找到菱形定义中的两个条件来证明． 证明：∵AB=DC，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB=BC ∴四边形ABCD是菱形． 于是，我们就得到了菱形的第二个判定定理： 判定定理2：四边相等的四边形是菱形． 判定定理2的符号语言： 现在我们来对比一下这两个定理： 判定定理1 判定定理2 条件1 对角线互相垂直 四边相等 条件2 平行四边形 判定定理1需要同时满足两个条件，判定定理2只需满足一个条件，我们要根据实际情况灵活选用． 现在我们可以来回答之前小刚同学之前提出的问题了． 提问：请同学们思考，该用哪个定理来判断同簋上的纹饰是不是菱形呢？ 由于我们不知道同簋上的纹饰是不是平行四边形，所以我们用判定定理2来判断会更好，只需要测量出纹饰的四条边，四边相等即为菱形． 【三、应用定理】 现在，我们尝试应用菱形的判定定理来做两个菱形． 提问1：已知线段AC，同学们能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ 小刚同学提出了一个方法： 如图所示，小刚同学分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形． 我们来验证一下小刚同学的方法是不是正确的． 由小刚同学的作图过程可知，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA． 所以，小刚同学的做法是正确的． 提问2：你能用折纸得到一个菱形吗？动手试一试． 小颖同学想到了一个办法： 如图所示，先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开就得到了一个菱形． 你能说说小颖同学这样做的道理吗？ 小颖同学将纸折了两次，形成了四层，一次剪下之后，会形成一个四边相等的四边形，即菱形．或者在折纸过程中满足了对角线互相垂直且互相平分，所以是菱形。 【四、巩固练习】 接下来老师来带同学们做两个证明练习，请同学们在证明的过程中仔细体会，我们是怎么选择合适的判定定理的． 例题1 已知：如图所示，在中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1． 求证：菱形． 分析：已知四边形是平行四边形，所以我们用判定定理1来证明，只需再找到对角线垂直即可，而我们已经知道三角形OAB的边长，可尝试通过证明△OAB为直角三角形来证明AC⊥BD． 证明：∵AB=，OA=2，OB=1， ∴， ∴△OAB为直角三角形，即∠AOB=90°， ∴AC⊥BD． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 例题2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD． 求证：四边形ACFD是菱形． 分析：四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便． 证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴四边形ACFD是菱形． 师：同学们在做证明题的时候，可以先列出题目中已知条件，如果题目中给出了对角线垂直或四边形是平行四边形的条件，我们就优先尝试使用判定定理1或者定义；如果给出了边长关系，我们就可以考虑先用判定定理2． 【五、课堂小结】 这节课我们通过探究菱形的性质，得出了两个的菱形判定定理． 现在我们来总结一下这节课学的内容： 【六、作业练习】 见作业练习． 学科网（北京）股份有限公司 $$