1.1 等腰三角形 暑假巩固2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册 1.1 等腰三角形 暑假巩固 一、等腰三角形与三角形内角和 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　） A.15° B.17.5° C.20° D.22.5° 2.如图，在△ABC中，F为BC延长线一点，D为AB上一点，且DB=DF，E为AC上一点，且EC=EF，∠A=40°，∠DFE等于（　　） A.30° B.35° C.40° D.50° 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（　　） A.36° B.60° C.72° D.108° 4.已知等腰三角形两个内角度数之比是1∶4，则这个等腰三角形的底角为______________． 5.在△ABC中，AB=AC，若∠A=40°，则∠C=      ． 6.如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数． 7.如图，已知在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=30°；试求∠B和∠C的度数． 二、等腰三角形与平行线性质 1.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（　　） A.40° B.45° C.60° D.70° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，若AB∥CD，∠BCD=30°，则∠ACD的度数为（　　） A.30° B.60° C.75° D.120° 3.如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（　　） A.55° B.45° C.35° D.65° 4.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为            ． 5.已知：如图，△ABC中，AB=AC，BE∥AC，∠BDE=100°，∠BAD=70°，则∠E=            ． 6.如图，AB=AC=AD． （1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论； （2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论． 7.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF． 三、等腰三角形的三线合一 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，则∠B等于（　　） A.70° B.50° C.20° D.40° 2.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是（        ） A. △ABD≌△ACD B. AD为△ABC的高线 C. AD为△ABC的角平分线 D. △ABC是等边三角形 3.如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，则下列结论中：①AD⊥BC；②AD=BC；③∠B=∠C；④BD=CD．正确的有（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 4.如图是一个三角形测平架，已知AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤DE，让其自然下垂，调整架身，使点A恰好在重锤线上，这时AD和BC的位置关系为         ． 5.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是_______． 6.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC. (1)若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长； (2)若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数． 7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD． 四、定义法判定等腰三角形 1.在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点的个数为（　　） A.8 B.9 C.10 D.11 2.如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 3.已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A.5条 B.4条 C.3条 D.2条 4.在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有       个． 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　     　个． 6.如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC. 求证：AB＝AD. 7.已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.求证：AB＝AC. 五、等腰三角形的判定与三角形内角和 1.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍．这个三角形是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（　　） A.∠A=50°，∠B=60° B.∠A=50°，∠B=100° C.∠A+∠B=90° D.∠A+∠B=90° 3.如图所示，等腰三角形共有（　　） A.4个 B.5个 C.3个 D.2个 4.如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________.　 5.如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是___________三角形． 6.如图，AE=AD，∠ABC=∠ACB，BE=4，AD=5，求AC的长度． 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 六、等腰三角形判定与角平线、平行线综合 1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AF交CD于E，则△CEF必为（　　） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°，DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD，CF都是高，相交于点P，角平分线BE分别交AD，CF于Q，S，则图中的等腰三角形个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________． 5.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝________. 6.如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由． 7.已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且△ABD与△ADC面积相等，求证：△ABC是等腰三角形． 七、等边三角形的三个角都等于60° 1.已知如图，等边△ABC中，D是AB上一点，∠EDF=60°，则∠AED等于（　　） A. ∠B B. ∠BFD C. ∠ADE D. ∠BDF 2.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　） A.25° B.60° C.85° D.95° 3.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE交AD于点F，则∠DFE的度数为 （ ） A.45° B.55° C.60° D.75° 4.三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=　       　°． 5.如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=　       　度． 6.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 7.如图，△ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，∠BQM等于多少度？ 八、等边三角形中的三线合一 1.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是(　　) A.10° B.15° C.20° D.25° 2.等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为（　　） A.75° B.60° C.45° D.30° 3.等边三角形对称轴的条数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图所示，在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=3，则∠1的度数为　        　，AB=　       　． 5.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=         　°． 6.如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD． 7.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE. 九、等边三角形的性质综合 1.如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　） A.60° B.45° C.40° D.30° 2.下面选项对于等边三角形不成立的是（　　） A.三边相等 B.三角相等 C.是等腰三角形 D.有一条对称轴 3.如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（　　） A.15° B.30° C.45° D.60° 4.如图，△ABE和△ACD都是等边三角形，若BO+OC=m，OE+OD=n，则BD的长为　      　．（用含m，n的式子表示） 5.如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为　　． 6.如图1，在等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明你的理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 7.如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上． 求证：（1）CE=AC+DC； （2）∠ECD=60°． 十、定义判定等边三角形 1.用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　） A.39 B.27 C.24 D.25 2.三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 4.如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出______个． 5.在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为　            　． 6.如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形． 7.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论． 十一、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 1.若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 2.P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，P关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON定是（　　） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　） A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 4.如图，AD是等腰直角三角形ABC斜边上的中线，P是DA的延长线上的一点，当∠PBA=_____________时，△PBC是等边三角形． 5.在△ABC中，∠A=60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是　        　． 6.已知，如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC于点D，且DE=DB，试判断△CEB的形状，并说明理由． 7.已知，如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形． 十二、等边三角形和等腰三角的性质 1.已知等腰三角形的周长为40cm，以一腰为边作等边三角形，其周长为45cm，则等腰三角形的底边长是（　　） A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm 2.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC等于（　　） A.30° B.20° C.25° D.15° 3.如图，△ABC中，AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（　　） A.75° B.80° C.70° D.85° 4.如图，△ABC为等边三角形，以AC为直角边作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，则∠CBD=____________°． 5.如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为　          ． 6.如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数． 7.问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． （1）特例探究： 如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D=　          　； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A=100°，其余条件不变，则∠D=　        　；这两个图中，∠D与∠A度数的比是　            ； （2）猜想证明： 如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 十三、等边三角形的性质和等腰三角形的判定 1.如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　） A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a 2.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　） ①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°． A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　         ． 5.已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　            　；②　            　；③　                       ；④　            ． 6.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD． （1）求∠BAD和∠BDE的度数； （2）求证：AD=DE． 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求BC的长． 十四、含30°角的直角三角形与等腰三角形 1.等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ ） A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 2.如图是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，则AB的长为(　　) A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m 3.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　) A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 4.△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24，则BC=______． 5.一个等腰三角形的顶角是120º，底边上的高线长是1cm，则它的腰长是            cm． 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点M在边BC上，AM=BM.求证：CM=2BM． 7.如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？ 十五、含30°角的直角三角形与等边三角形 1.如图，在等边△ABC中，AB=8，E是BA延长线上一点，且EA=4，D是BC上一点，且ED=EC，则BD的长为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，在等边△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE等于（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 3.如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，DE⊥AC于E，则CE的长为（　　） A. a B. a C. a D.a 4.如图所示，AD和BE是等边三角形的两条高，其交点为O，若OD=4，则AD=______. 5.如图，已知，等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．则线段BE的长为________． 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC． （1）求证：DE=DB； （2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由． 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC．求证：∠B=30°． 十六、反证法 1.用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（　　） A.a＜b B.a≤b C.a=b D.a≥b 2.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b,c⊥b,则a∥c”时，首先应假设（　　） A.a∥b B.c∥b C.a与b相交 D.a与c相交 3.用反证法证明“若实数a,b满足ab=0，则a,b中至少有一个是0”时，应先假设（　　） A.a,b中至多有一个是0 B.a,b中至少有两个是0 C.a,b中没有一个是0 D.a,b都等于0 4.用反证法证明：“等腰三角形的底角必是锐角”的第一步反设是：           ． 5.用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设       ． 6.用反证法证明下列问题： 如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分． 7.小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a,b,c在同一平面内，a∥c,b∥c, 求证：a∥b． 证明： 北师大版八年级下册 1.1 等腰三角形 暑假巩固（参考答案） 一、等腰三角形与三角形内角和 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　） A.15° B.17.5° C.20° D.22.5° 【答案】A 【解析】∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠DCE=∠ACD，∠CBD=∠ABD， ∵∠ACE=∠A+∠ABC， 即∠DCE+∠ACD=∠CBD +∠ABD +∠A， ∴2∠DCE=2∠CBD +∠A， ∵∠DCE=∠CBD +∠D，∴∠D=∠A=×30°=15°．故选A． 2.如图，在△ABC中，F为BC延长线一点，D为AB上一点，且DB=DF，E为AC上一点，且EC=EF，∠A=40°，∠DFE等于（　　） A.30° B.35° C.40° D.50° 【答案】C 【解析】∵DB=DF，∴∠B=∠DFB，∵EC=EF，∴∠ECF=∠EFC，∵∠ECF=∠B+∠A，∠EFC=∠DFB+∠DFE，∴∠B+∠A=∠DFB+∠DFE，∴∠DFE=∠A=40°．故选C． 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（　　） A.36° B.60° C.72° D.108° 【答案】C 【解析】∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=36°， ∴∠1=180°-∠C-∠CBD=72°．故选：C． 4.已知等腰三角形两个内角度数之比是1∶4，则这个等腰三角形的底角为______________． 【答案】80°或30° 【解析】设两个角分别是x，4x，①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x=180°，解得x=30°，4x=120°，即底角为30°；②当x是顶角时，则x+4x+4x=180°，解得x=20°，底角为80°；所以该三角形的底角为80°或30°．故答案为80°或30°． 5.在△ABC中，AB=AC，若∠A=40°，则∠C=      ． 【答案】70° 【解析】∵AB=AC，∠A=40°，∴∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣40°）=70°．故答案为：70°． 6.如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数． 【答案】解 ∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°． 7.如图，已知在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=30°；试求∠B和∠C的度数． 【答案】解 在△ABC中，AB=AD=DC，∵AB=AD，∠BAD=30°， ∴∠B=∠ADB=×（180°﹣30°）=75°， 又∵AD=DC， ∴∠C=∠DAC∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C， ∴∠C=∠ADB=37.5°．∴∠B=75°，∠C=37.5°． 二、等腰三角形与平行线性质 1.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（　　） A.40° B.45° C.60° D.70° 【答案】A 【解析】∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选A． 2.如图，在△ABC中，AB=AC，若AB∥CD，∠BCD=30°，则∠ACD的度数为（　　） A.30° B.60° C.75° D.120° 【答案】B 【解析】∵AB∥CD，∠BCD=30°， ∴∠B=∠BCD=30°． ∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=30°， ∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=30°+30°=60°．故选B． 3.如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（　　） A.55° B.45° C.35° D.65° 【答案】A 【解析】∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC， ∴∠B=∠ADE=55°，∠C=∠B， ∴∠C=55°．故选A． 4.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为            ． 【答案】32° 【解析】∵CD=CE，∴∠D=∠DEC，∵∠D=74°，∴∠C=180°﹣74°×2=32°，∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°．故答案为：32°． 5.已知：如图，△ABC中，AB=AC，BE∥AC，∠BDE=100°，∠BAD=70°，则∠E=            ． 【答案】50° 【解析】∵∠BDE=∠ABC+∠BAD，∴∠ABC=∠BDE﹣∠BAD=100°﹣70°=30°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=120°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣70°=50°，∵BE∥AC，∴∠E=∠CAD=50°．故答案是50°． 6.如图，AB=AC=AD． （1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论； （2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论． 【答案】解 （1）∠C=2∠D，证明：∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC，又∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∴∠ABC=2∠D，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2∠D． （2）AD∥BC，证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠D，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠D，∴∠DBC=∠D，∴AD∥BC． 7.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF． 【答案】证明 过点D作DM∥AC交BC于M，∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵BD=CE，∴MD=CE，在△DMF和△ECF中，∠MDF=∠E，∠MFD=∠CFE，MD=CE，∴△DMF≌△ECF（AAS），∴DF=EF． 三、等腰三角形的三线合一 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，则∠B等于（　　） A.70° B.50° C.20° D.40° 【答案】B 【解析】∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的角平分线和中线， ∵∠BAC=80°，∴∠BAD=40°， ∴∠B=90°﹣∠BAD=50°．故选B. 2.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是（        ） A. △ABD≌△ACD B. AD为△ABC的高线 C. AD为△ABC的角平分线 D. △ABC是等边三角形 【答案】D 【解析】∵∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD， 即AD是△ABC的高，AD为△ABC的角平分线， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADC=∠ADB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD， 即选项A，B，C都正确， 根据已知只能推出AC=AB，不能推出AC，AB和BC的关系， 即不能得出△ABC是等边三角形，选项D错误．故选D． 3.如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，则下列结论中：①AD⊥BC；②AD=BC；③∠B=∠C；④BD=CD．正确的有（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】①∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD平分∠CAB，∴AD⊥BC，故本小题正确； ②∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C，∵∠B与∠BAC的大小不能确定，∴AD与BC的长度无法比较，故本小题错误； ③∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C，故本小题正确； ④∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD平分∠CAB，∴BD=CD，故本小题正确．故选D． 4.如图是一个三角形测平架，已知AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤DE，让其自然下垂，调整架身，使点A恰好在重锤线上，这时AD和BC的位置关系为         ． 【答案】垂直 【解析】∵D是BC的中点，∴BD=DC．又∵AB=AC，∴AD⊥BC．故答案为：垂直． 5.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是_______． 【答案】60° 【解析】∵△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠BAC=×120°=60°．故答案为：60°． 6.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC. (1)若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长； (2)若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数． 【答案】解 (1)∵AD是△ABC的中线，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∵△ABC的面积是20，且BC＝4， ∴BC·AD＝20， ∴×4×AD＝20， ∴AD＝10. (2)∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°， ∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝ (180°－∠CAB)＝70°. ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠ACB＝35°. 7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD． 【答案】证明 ∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD． 四、定义法判定等腰三角形 1.在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点的个数为（　　） A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】C 【解析】如图，①若BA=BC，则符合要求的有C1，C2共2个点；②若AB=AC，则符合要求的有C3，C4共2个点；③若CA=CB，则符合要求的有C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．∴这样的C点有10个．故选：C． 2.如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【答案】D 【解析】∵△ADB≌△ADC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．故选D． 3.已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A.5条 B.4条 C.3条 D.2条 【答案】B 【解析】如图所示，当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合题意的等腰三角形．故选B． 4.在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有       个． 【答案】3 【解析】第一图，由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确． 第二图，由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误． 第三图，由作图可知BA=BD可推出BD=CD=AD，即△ADC是等腰三角形，故正确． 第四图，由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确． 故答案为3 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　     　个． 【答案】6 【解析】如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC 于点P2； ②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2（此时AB=AP）； ③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）． 故符合条件的点有6个．故答案为6． 6.如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC. 求证：AB＝AD. 【答案】证明 ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD. 7.已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.求证：AB＝AC. 【答案】证明 ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)． 而已知∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC(等角对等边)． 五、等腰三角形的判定与三角形内角和 1.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍．这个三角形是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【答案】C 2.要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（　　） A.∠A=50°，∠B=60° B.∠A=50°，∠B=100° C.∠A+∠B=90° D.∠A+∠B=90° 【答案】D 【解析】A.若∠A是顶角时，则50°+120°＜180°，所以此种情况组不成等腰三角形；若∠B是顶角时，在50°+50°+60°＜180°，所以此种情况组不成等腰三角形；总之，本组数据不能使得△ABC是等腰三角形；故本选项错误； B.若∠A是顶角时，则50°+200°＞180°，所以此种情况组不成等腰三角形；若∠B是顶角时，在100°+100°＞180°，所以此种情况组不成等腰三角形；总之，本组数据不能使得△ABC是等腰三角形；故本选项错误； C.当∠A+∠B=90°时，∠C=90°；但∠A=10°，∠B=80°时，三角形ABC的三个内角中，没有两个相等的角，所以构不成等腰三角形；故本选项错误； D.当∠B是顶角时，则2∠A+∠B=180°，∴∠A+∠B=90°；故本选项正确．故选D． 3.如图所示，等腰三角形共有（　　） A.4个 B.5个 C.3个 D.2个 【答案】B 【解析】根据三角形的内角和定理，得∠ABO=∠DCO=36°， 根据三角形的外角的性质，得 ∠AOB=∠COD=72°． 再根据等角对等边，得 等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC． 故选：B． 4.如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________.　 【答案】3 【解析】∠ACB=180°-∠BAC-∠B=40°，∠CAD=∠ACB-∠D=20°，所以∠ACB=∠B=40°，∠CAD=∠D=20°，所以CD=AC，AC=AB，故CD=AB=3. 5.如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是___________三角形． 【答案】等腰 【解析】三角形有两个角分别为80°，50°，那么第三个角为180°-80°-50°=50°，所以有两个角相等，这个三角形是等腰三角形. 6.如图，AE=AD，∠ABC=∠ACB，BE=4，AD=5，求AC的长度． 【答案】解 ∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AE=AD， ∴BE=CD，∵AD=5，BE=4，∴CD=BE=4， ∴AC=AD+CD=5+4=9． 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 【答案】证明 ∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠EAC+∠CEF=90°， ∵CD是AB边上的高，∴∠BAE+∠DFA=90°， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE=∠EAC， ∴∠CEF=∠DFA，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF， ∴△CEF是等腰三角形． 六、等腰三角形判定与角平线、平行线综合 1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AF交CD于E，则△CEF必为（　　） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】B 【解析】如图，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4，∵∠5=∠4（对顶角相等），∴∠3=∠5，∴CE=CF，∴△CEF是等腰三角形．故选B． 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°，DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】∵AB=BA，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=(180°-108°)÷2=36°，∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=180°﹣36°﹣72°=72°=∠ADB，∴AB=BD，∴△ADB是等腰三角形，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°=∠C，∴CD=AD，∴△ACD是等腰三角形，∵DE平分∠ADB，∴∠BDE=∠ADE=36°=∠B，∴BE=ED，∴△EBD是等腰三角形，∠AED=180°﹣72°﹣36°=72°=∠EAD，∴ED=AD，∴△AED是等腰三角形，∴共有5个等腰三角形．故选C． 3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD，CF都是高，相交于点P，角平分线BE分别交AD，CF于Q，S，则图中的等腰三角形个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD，CF都是高，∴∠DAC=45°，∴CD=AD，∴△ADC为等腰直角三角形， ∴∠BAD=30°，∴∠APF=60°，∵∠ABC=60°，且BE是∠ABC的角平分线， ∴∠QBD=30°，∴∠BQD=60°，∴SP=SQ， ∴△QSP为等腰三角形，∵∠BAD=EBA=30°， ∴△QAB是等腰三角形，∵∠ABE=30°，∠AEB=∠EBC+∠ACD=30°+45°=75°， ∴∠BAC=180°﹣30°﹣75°=75°，∴∠BAC=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形， ∵∠SBC=∠SCB=30°， ∴△SBC是等腰三角形．故选D． 4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________． 【答案】9 5.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝________. 【答案】3 6.如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由． 【答案】解 △ADE是等腰三角形． 理由如下：∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， ∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一定理）， ∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等）， ∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE， ∴△ADE是等腰三角形． 7.已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且△ABD与△ADC面积相等，求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】解 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵S△ABD=AB×DE，S△ADC=AC×DF，又∵△ABD与△ADC面积相等，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形． 七、等边三角形的三个角都等于60° 1.已知如图，等边△ABC中，D是AB上一点，∠EDF=60°，则∠AED等于（　　） A. ∠B B. ∠BFD C. ∠ADE D. ∠BDF 【答案】D 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵∠EDF+∠BDF+ADE=180°，∠B+∠BDF+∠BFD=180°， ∴60°+∠BDF+∠ADE=60°+∠BDF+∠BFD， ∴∠ADE=∠BFD， ∵∠A+∠ADE+∠AED=∠B+∠BFD+∠BDF=180°，∵∠A=∠B=60°， ∴∠AED=∠BDF．故选D． 2.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　） A.25° B.60° C.85° D.95° 【答案】D 【解析】∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°．故选D． 3.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE交AD于点F，则∠DFE的度数为 （ ） A.45° B.55° C.60° D.75° 【答案】D 【解析】∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠BAE=90°+60°=150°，∵AB=AE， ∴∠AEB=×（180°-150°）=15°， ∴∠DFE=∠AEB+∠EAF=15°+60°=75°．故选D． 4.三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=　       　°． 【答案】140 【解析】∵图中是三个等边三角形，∠3=40°，∴∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴80°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，∴∠1+∠2=140°．故答案为：140 5.如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=　       　度． 【答案】120 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，则∠ABD=120°．故答案为：120． 6.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 【答案】解 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 7.如图，△ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，∠BQM等于多少度？ 【答案】解 ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 在△AMB和△BNC中， ∴△AMB≌△BNC(SAS)， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°. 八、等边三角形中的三线合一 1.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是(　　) A.10° B.15° C.20° D.25° 【答案】B 2.等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为（　　） A.75° B.60° C.45° D.30° 【答案】B 【解析】如图，∵等边三角形ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角的平分线，交于点F，∴∠1=∠2=∠ABC=30°，∴∠3=∠1+∠2=60°．故选B． 3.等边三角形对称轴的条数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】等边三角形三线合一，所以等边三角形每条边的垂直平分线均为对称轴，等边三角形三边的垂直平分线共有3条，故对称轴的条数是3条．故选C． 4.如图所示，在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=3，则∠1的度数为　        　，AB=　       　． 【答案】30°　6 【解析】∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴BD=CD=3，∴AB=6．故答案为30°，6． 5.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=         　°． 【答案】30 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案为：30． 6.如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD． 【答案】证明 ∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线， ∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线， 即∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠BAE=∠BAD=30°， 在△ABE和△ABD中，AE=AD，∠BAE=∠BAD，AB=AB， ∴△ABE≌△ABD（SAS）， ∴BE=BD． 7.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE. 【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°. 又CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED. 又∠BCD＝∠CDE＋∠CED， ∴∠CDE＝∠CED＝30°. ∴∠DBC＝∠DEC. ∴BD＝DE(等角对等边)． 九、等边三角形的性质综合 1.如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　） A.60° B.45° C.40° D.30° 【答案】A 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，∴AB=BC=AC，在△ABD和△CAE中，BD=AE，∠ABD=∠CAE，AB=AC，∴△ABD≌△CAE，∴∠BAD=∠ACE，又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，∴∠ACE+∠DAC=60°，∵∠ACE+∠DAC+∠AFC=180°，∴∠AFC=120°，∵∠AFC+∠DFC=180°，∴∠DFC=60°．故选A． 2.下面选项对于等边三角形不成立的是（　　） A.三边相等 B.三角相等 C.是等腰三角形 D.有一条对称轴 【答案】D 【解析】等边三角形各边长相等、各内角为60°，故A、B选项错误；∵等边三角形各边长均相等，故等边三角形是特殊的等腰三角形，故C选项错误，等边三角形的三边的垂直平分线均为对称轴，故对称轴有3条，故D选项正确，故选 D． 3.如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（　　） A.15° B.30° C.45° D.60° 【答案】D 【解析】在△ABD和△BCE中，AB=BC，∠ABC=∠ACB，BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠1=∠CBE，∵∠2=∠1+∠ABE，∴∠2=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°．故选D． 4.如图，△ABE和△ACD都是等边三角形，若BO+OC=m，OE+OD=n，则BD的长为　      　．（用含m，n的式子表示） 【答案】（m+n） 【解析】∵△ABE和△ACD都是等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，∴∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，EA=BA，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴EC=BD，∵BO+OC=m，OE+OD=n，∴BO+OC+OE+OD=m+n，∴EC+BD=m+n，∴BD=（m+n）． 5.如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为　　． 【答案】a+b 【解析】∵△ABC与△DEF为等边三角形，∴∠A=∠B，EF=DF，∵∠BFD+∠BDF=120°，∠BFD+∠AFE=120°，∴∠BDF=∠AFE，∴△AEF≌△BFD（AAS），∴AF=BD，AE=BF，∴△AEF的周长=AF+AE+EF=AF+BF+EF=AB+EF=a+b． 6.如图1，在等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明你的理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 【答案】解   (1)△DBC和△EAC全等． 理由： ∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝60°－∠ACD， ∠ACE＝60°－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC和△EAC中， ∴△DBC≌△EAC(SAS)． (2)∵△DBC≌△EAC， ∴∠EAC＝∠B＝60°， 又∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC. (3)结论：AE∥BC. 理由： ∵△ABC，△EDC为等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝CE， ∠BCA＝∠DCE＝60°. ∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC和△EAC中， ∴△DBC≌△EAC(SAS)． ∴∠EAC＝∠B＝60°. 又∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝∠ACB. ∴AE∥BC. 7.如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上． 求证：（1）CE=AC+DC； （2）∠ECD=60°． 【答案】证明 （1）∵△ABC，△ADE是等边三角形， ∴AE=AD，BC=AC=AB，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE，∴BD=EC， ∵BD=BC+CD=AC+CD， ∴CE=BD=AC+DC． （2）由（1）知△BAD≌△CAE， ∴∠ACE=∠ABD=60°， ∴∠ECD=180°﹣∠ACB﹣∠ACE=60°． 十、定义判定等边三角形 1.用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　） A.39 B.27 C.24 D.25 【答案】B 【解析】设增加x个小木棒时拼成13个等边三角形．1+=13，x=24，24+3=27．故选B． 2.三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】C 【解析】如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF．∵AD是中线，∴BD=CD．∴Rt△BDE≌Rt△CDF．∴∠B=∠C．∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形，所以等边三角形中任意一角的平分线都是这角所对边上的中线．故选：C． 3.一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【答案】D 【解析】∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，即三角形任意一边上的高与中线重合，∴这个三角形的三边都相等，∴这个三角形必为等边三角形．故选D． 4.如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出______个． 【答案】2 【解析】最多可作2个位置不同的等边三角形，如图． 5.在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为　            　． 【答案】8 【解析】连接相邻的点，图中等边三角形有△ABD，△BCE，△BDE，△DFG，△DEG，△EGH， △BFH，△ACG，共8个，故答案为8． 6.如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形． 【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°． ∵AB=BC=CA，AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA， ∴AF=BD=CE． 又∵AE=BF=CD，∴△AEF≌△BFD≌△DCE． ∴EF=FD=DE．即△DEF是等边三角形． 7.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论． 【答案】解 △BCE是等边三角形， 理由如下：∵AB =AC，AD⊥BC，∴BD=DC， ∵AD⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°， 又∵ED为公共边， ∴△BDE≌△CDE，∴BE=CE， ∵BC=BE，∴BC=CE=BE， ∴△BCE是等边三角形． 十一、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 1.若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 【答案】C 【解析】因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．故选C． 2.P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，P关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON定是（　　） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】A 【解析】根据题意画出草图，∵P关于OA，OB的对称点分别为M，N，∴AO⊥MP，PO=OM，BO⊥PN，OP=ON，∴△POM为等腰三角形，△PON为等腰三角形， ∴∠MOE=∠POE，∠POF=∠FON，OM=OP=ON，又∵∠AOB=30°， ∴∠POE+∠POF=30°，∴∠MOE+∠FON=30°，∴∠MON=60°，又∵MO=ON， ∴△MON为等边三角形．故选A． 3.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　） A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 【答案】C 【解析】①120°的角为顶角的外角，则顶角为180°﹣120°=60°，底角为（180°﹣60°）÷2=60°，三角形为等边三角形； ②120°的角为底角的外角，则底角为180°﹣120°=60°，顶角为180°﹣60°×2=60°，三角形为等边三角形．故选C． 4.如图，AD是等腰直角三角形ABC斜边上的中线，P是DA的延长线上的一点，当∠PBA=_____________时，△PBC是等边三角形． 【答案】15° 【解析】当∠PBA=15°时，△PBC是等边三角形，理由如下：∵AD是等腰直角三角形ABC斜边上的中线，∴∠ABC=45°，BD=DC，AD⊥BC，∴PB=PC，∵∠PBA=15°，∴∠PBC=60°，∴△PBC是等边三角形，故答案为：15°. 5.在△ABC中，∠A=60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是　        　． 【答案】(此题答案不唯一) AB=AC或AB=BC或AC=BC 6.已知，如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC于点D，且DE=DB，试判断△CEB的形状，并说明理由． 【答案】解 △CEB是等边三角形． 证明：∵AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC，∴∠CBE=∠ABE=60°．又DE=DB，BE⊥AC，∴CB=CE．∴△CEB是等边三角形． 7.已知，如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形． 【答案】证明 ∵DF平分∠CDE，∠CDE=120°， ∴∠CDF=∠EDF=∠CDE=60°， ∵DF∥BA， ∴∠ABC=∠CDF=60°， ∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形． 十二、等边三角形和等腰三角的性质 1.已知等腰三角形的周长为40cm，以一腰为边作等边三角形，其周长为45cm，则等腰三角形的底边长是（　　） A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm 【答案】B 【解析】∵等边三角形的周长为45cm，∴其边长为15cm，∵等腰三角形的周长为40cm，∴其底边长=40﹣（15×2）=10(cm)．故选B． 2.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC等于（　　） A.30° B.20° C.25° D.15° 【答案】D 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，∵AD是△ABC的中线，∴∠DAC=∠BAC=30°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．故选D． 3.如图，△ABC中，AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（　　） A.75° B.80° C.70° D.85° 【答案】B 【解析】∵AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，∴∠ABC=∠ACB，AE=AD，∠AEB=∠ADC=60°，∠3=∠4=60°，∵∠EDC=40°，∴∠1=∠2=40°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠ABC=360°，∴2∠ABC=360°﹣40°﹣40°﹣60°﹣60°=160°，∴∠ABC的度数为80°．故选：B． 4.如图，△ABC为等边三角形，以AC为直角边作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，则∠CBD=____________°． 【答案】15 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，∵△ACD是等腰直角三角形，∴AC=CD，∴BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=150°，∴∠CBD=15°．故答案为：15． 5.如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为　          ． 【答案】120° 【解析】∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，∴BD=DE=EC=AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=120°．故答案为：120°． 6.如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数． 【答案】解 ∵DE⊥AC，AD=AE，∠DAE=80°， ∴∠ADE=∠E=50°，∠DAF=∠EAF=40°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴∠BAD=60°﹣40°=20°， ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC， ∴60°+20°=50°+∠EDC， ∴∠EDC=30°． 7.问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． （1）特例探究： 如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D=　          　； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A=100°，其余条件不变，则∠D=　        　；这两个图中，∠D与∠A度数的比是　            ； （2）猜想证明： 如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【答案】解 （1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∠ACE=120°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．∴∠DBC=30°，∠DCE=60°，∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴∠D=30°；∵△ABC是等腰三角形，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∠ACE=140°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．∴∠DBC=20°，∠DCE=70°，∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴∠D=50°；∠D∶∠A=1∶2； （2）成立，如图1，在△ABC中，∠ACE=∠A+∠ABC，在△DBC中，∠DCE=∠D+∠DBC，∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，∴∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，又∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴2∠DCE=∠A+2∠DBC，∴2∠D+2∠DBC﹣（∠A+2∠DBC）=0，∴∠A=2∠D． 十三、等边三角形的性质和等腰三角形的判定 1.如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　） A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a 【答案】D 【解析】∵△ABC的周长为18，∴BC=AC=18÷3=6，∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴CD=AC=×6=3，∠CBD=×60°=30°，∵CE=CD，∴∠E=∠CDE=×60°=30°，∴∠CBD=∠E，∴BD=DE，∴△BDE的周长=6+3+a+a=9+2A．故选D． 2.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　） ①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，∴BD平分∠ABC，BD⊥AC；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC，∴DB=DE．∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°， ∴这四项都是正确的．故选：D． 3.如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B 【解析】根据已知条件易证△AOB，△AOC，△BOC，△BOD，△COE，△ODE均为等腰三角形．故答案选B． 4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　         ． 【答案】75° 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵BD=BC，∴AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵∠CBD=90°，∴∠ABD=90°+60°=150°，∴∠BDA=15°，∴∠1=90°-15°=75°．故答案为75°． 5.已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　            　；②　            　；③　                       ；④　            ． 【答案】①DB=DE　②BD⊥AC　③∠DBC=∠DEC=30°　④△ABD≌△CBD　⑤△DCE∽△BDE　⑥∠CDE=30°　⑦BD平分∠ABC（任写其中四个都可以） 6.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD． （1）求∠BAD和∠BDE的度数； （2）求证：AD=DE． 【答案】（1）解 ∵等边三角形三线合一， ∴BD为∠ABC的角平分线， ∴∠BAD=30°，∠ABD=60°， ∵BE=BD，∴∠BDE=∠BED， ∵∠BDE+∠BED=∠ABD， ∴∠BED=∠BDE=30°， ∴∠BAD=∠BDE=30°． （2）证明 ∵∠BAD=∠BDE=30°， ∴AD=DE. 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求BC的长． 【答案】解 ∵△ABD是等边三角形， ∴∠B=∠BAD=∠ADB=60°， ∵AB=2，∴BD=AD=2， ∵∠BAC=90°， ∴∠DAC=90°﹣60°=30°， ∵∠ADB=60°， ∴∠C=30°，∴AD=DC=2， ∴BC=BD+DC=2+2=4， ∴BC的长为4． 十四、含30°角的直角三角形与等腰三角形 1.等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ ） A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 【答案】C 【解析】①如图，∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD=AB，∴∠A=30°， ②如图，∵CD是△ABC边BA 上的高，DC=AC，∴∠DAC=30°， ∴∠BAC=180°﹣30°=150°， 综上所述，这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．故选C． 2.如图是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，则AB的长为(　　) A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m 【答案】B 【解析】AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠BAC＝60°，∠ADB＝90°， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AD＝7(m)． 3.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　) A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【解析】根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造AB的中垂线；②以B为圆心，BA长为半径作圆；③以A为圆心，AB长为半径作圆；他们与直线BC或射线AC的交点即是点P，故符合条件的点P有5个． 4.△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24，则BC=______． 【答案】72 【解析】根据题意画出图形，由已知得∠B=30°，所以BD=2AD=48，易知∠DAC=∠C=30°，所以CD=AD=24，所以BC=BD+CD=48+24=72. 5.一个等腰三角形的顶角是120º，底边上的高线长是1cm，则它的腰长是            cm． 【答案】2 【解析】∵等腰三角形的顶角是120°，∴等腰三角形的底角是30°，又∵底边上的高线长是1cm，∴它的腰长是2cm． 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点M在边BC上，AM=BM.求证：CM=2BM． 【答案】证明 ∵AB=AC，∴∠C=∠B， ∵∠BAC=120°， ∴∠C=∠B=30°， ∵BM=AM， ∴∠BAM=∠B=30°， ∴∠CAM=120°-30°=90°， ∵∠C=30°， ∴CM=2AM， ∵BM=AM， ∴CM=2BM． 7.如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？ 【答案】解 ∵∠ADB=30°，∠ACB=15°， ∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°， ∴∠ACB=∠CAD， ∴AD=CD=20米， 又∵∠ABD=90°， ∴AB=AD=10米， ∴树的高度为10米． 十五、含30°角的直角三角形与等边三角形 1.如图，在等边△ABC中，AB=8，E是BA延长线上一点，且EA=4，D是BC上一点，且ED=EC，则BD的长为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】过点E作EF⊥BC于F，如图所示，则∠BFE=90°，∵△ABC是等边三角形，∠B=60°，∴∠FEB=90°﹣60°=30°，∵BE=AB+AE=8+4=12，∴BF=BE=6，∴CF=BC﹣BF=2，∵ED=EC，EF⊥BC，∴DF=CF=2，∴BD=BF﹣DF=4．故选：B． 2.如图，在等边△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE等于（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形，AD是它的角平分线，∴BD=BC=×8=4，∠B=60°．∵DE⊥AB，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=2．故选C． 3.如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，DE⊥AC于E，则CE的长为（　　） A. a B. a C. a D.a 【答案】A 【解析】∵△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，∴CD=BC=a，∠C=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠EDC=30°，∴CE=CD=BC=A．故选A． 4.如图所示，AD和BE是等边三角形的两条高，其交点为O，若OD=4，则AD=______. 【答案】12 【解析】∵AD和BE是等边三角形的高，∴∠DBO=∠ABO=∠BAO=30°，在Rt△OBD中，∵OD=4，∴BO=2OD=2×4=8，BO=AO，∴AO=8，∴AD=AO+OD=8+4=12．故答案为：12． 5.如图，已知，等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．则线段BE的长为________． 【答案】 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠C=60°，AB=AC=4，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD=∠CEF=90°，∴∠ADF=∠CFE=30°，∴AF=AD，CE=CF，∵点D是AB的中点，∴AD=2，∴AF=1，CF=3，CE=，∴BE=．故答案为． 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC． （1）求证：DE=DB； （2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明    ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴BC⊥AE，∠CAB=60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAB=∠CAB=30°=∠ABC， ∴DA=DB， ∵CE=AC，∴BC是线段AE的垂直平分线， ∴DE=DA，∴DE=DB． （2）解    △ABE是等边三角形． 理由如下：∵BC是线段AE的垂直平分线， ∴BA=BE，即△ABE是等腰三角形， 又∵∠CAB=60°， ∴△ABE是等边三角形． 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC．求证：∠B=30°． 【答案】证明 取AB的中点D，连接CD，则CD=AB, ∵AC=AB=AD, ∴△ACD为等边三角形, ∴∠A=60°. ∵∠A＋∠B=90°， ∴∠B=30°. 十六、反证法 1.用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（　　） A.a＜b B.a≤b C.a=b D.a≥b 【答案】B 2.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b,c⊥b,则a∥c”时，首先应假设（　　） A.a∥b B.c∥b C.a与b相交 D.a与c相交 【答案】D 3.用反证法证明“若实数a,b满足ab=0，则a,b中至少有一个是0”时，应先假设（　　） A.a,b中至多有一个是0 B.a,b中至少有两个是0 C.a,b中没有一个是0 D.a,b都等于0 【答案】C 4.用反证法证明：“等腰三角形的底角必是锐角”的第一步反设是：           ． 【答案】等腰三角形的底角都是直角或钝角 5.用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设       ． 【答案】|a|≥2 6.用反证法证明下列问题： 如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分． 【答案】证明 连接DE，如图， 假设BD和CE互相平分， ∴四边形EBCD是平行四边形， ∴BE∥CD， ∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上， ∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即BD和CE不可能互相平分． 7.小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a,b,c在同一平面内，a∥c,b∥c, 求证：a∥b． 证明： 【答案】证明 假设a,b相交于点A， 则过A点有两条直线a,b都平行于c, 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 所以假设是错误的， 所以a∥b. 学科网（北京）股份有限公司 $$