1.2矩形的性质与判定第2课时（教学设计）数学北师大版九年级上册

1.2 矩形的性质与判定（第2课时） 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》九年级上册第一章“特殊平行四边形”第二节矩形的性质与判定第2课时，内容包括：探索并证明矩形的判定定理，并能灵活运用判定定理进行证明和计算。 2.内容解析 本节课处于初中几何知识体系的关键节点。矩形作为特殊平行四边形，一方面，它是对平行四边形知识的进一步细化与拓展，将平行四边形一般性的边、角、对角线性质，在矩形这一特殊情境下深化理解，比如平行四边形对角相等，矩形在此基础上四个角都为直角。另一方面，矩形判定定理的探究过程，为后续学习菱形、正方形的判定提供了范例，从矩形开始，学生逐渐掌握从边、角、对角线等不同角度去探索特殊平行四边形判定条件的方法，构建起完整的特殊平行四边形知识架构，是后续学习更复杂几何图形的基石。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索矩形判定条件的过程，以及合理、准确地运用判定定理解决问题。 1.教学目标 （1）通过观察生活实例、操作平行四边形活动框架，能归纳并理解矩形的两个判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形、三个角是直角的四边形是矩形），发展直观想象和数学抽象核心素养。​ （2）通过参与 “猜想 — 验证 — 证明” 的探究过程，能运用矩形的判定定理进行简单的证明和计算，发展逻辑推理和数学运算核心素养。​ （3）通过小组合作解决与矩形判定相关的实际问题，能清晰表达自己的解题思路和结论，发展数学建模和数据分析核心素养，同时培养合作交流能力。 2.目标解析 （1）在面对不同的平行四边形或四边形图形时，能依据定理判断其是否为矩形，表明学生已具备从具体事物中抽象出数学定理的能力，直观想象和数学抽象核心素养得到发展，能将抽象的定理与具体图形建立联系。​ （2）学生参与 “猜想 — 验证 — 证明” 的探究过程后，能独立或在小组协作下，运用矩形的判定定理完成简单的证明题，如证明一个平行四边形是矩形；也能运用定理进行相关的计算，如根据对角线长度或角的度数计算矩形的边长等。这体现学生已掌握定理的推理和应用方法，逻辑推理能力和数学运算能力得到提升，能清晰地展现推理过程和计算步骤。​ （3）学生在小组合作解决与矩形判定相关的实际问题（如设计矩形广告牌、判断建筑框架是否为矩形等）后，能向他人清晰阐述自己的解题思路、使用的判定定理及得出结论的依据。这表明学生已具备将数学知识应用于实际生活的能力，数学建模和数据分析核心素养得到发展，同时在合作交流中能倾听他人意见、完善自己的想法，合作交流能力显著提高。 九年级学生在知识上已掌握平行四边形的性质与判定，以及矩形的定义和性质，为探究矩形判定定理奠定基础，但部分学生综合运用知识能力较弱；能力方面具备一定观察、分析、归纳和初步推理能力，却在提出合理猜想、严谨证明及灵活选择判定方法上存在不足；学习特点上好奇心强、有探究与合作意识，不过注意力易分散，对抽象推理易生畏难情绪，教学需结合这些特点采用多元手段引导。 1.针对学生知识基础上综合运用能力弱的问题，可设计分层练习，基础题巩固单个知识点应用，如直接用定义判定矩形；综合题则串联多个知识，如结合平行四边形性质与矩形判定定理解题，且在讲解时梳理知识关联，帮学生构建知识网络。 2.对于能力水平方面的不足，通过 “猜想 — 验证 — 证明” 模式训练，先让学生基于观察提出猜想，再引导用已有知识验证，最后规范证明，还可展示多种证明思路拓展思维，同时总结判定方法适用场景，通过对比练习加深理解。 3.考虑到学生的学习特点，采用情境化教学，将矩形判定融入生活实例，利用多媒体动态演示定理推导，开展小组竞赛等活动，集中学生注意力，缓解畏难情绪，提升学习兴趣。​ 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：探索矩形判定条件的过程，以及合理、准确地运用判定定理解决问题。 1.复习回顾 提问：同学们，之前我们学习了平行四边形和菱形的相关知识，回忆一下，我们主要从哪几个方面来研究它们的呢？​ （设计意图：通过回顾平行四边形和菱形的研究方向，如边、角、对角线等，引导学生用类似的方法思考矩形，为探究矩形的判定定理做铺垫，让学生建立起知识之间的联系，体会研究几何图形的一般方法。） （教学建议：鼓励学生积极回答，对于回答不完整的同学，引导其他同学补充，教师最后进行总结和梳理，强化从多个维度研究几何图形的思路。） 回顾：上节课我们学习了矩形的定义和性质，哪位同学能说一说矩形的定义是什么？它有哪些特殊性质？ （设计意图：复习矩形的定义和性质，为引出矩形的判定定理做准备，让学生意识到判定定理与定义、性质之间的内在联系，以旧知带动新知的学习。） （教学建议：找学生回答，若有遗忘，可让其他同学补充，教师借助图形，直观展示矩形的性质，帮助学生回忆。） 2.情景引入 老师：小华同学想亲手制作一个矩形相框，作为生日礼物送给妈妈。他找来了两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条，通过拼接制成了一个四边形框架，从边的特征看，这显然是一个平行四边形框架。 可小华犯愁了，怎样才能确定这个框架是矩形呢？大家开动脑筋想一想，有没有什么办法来验证？？ （此时，教师稍作停顿，给学生留出思考时间，然后引导学生分组讨论）​ 大家先在小组内交流一下自己的想法，想想怎样通过测量数据来判断这个框架是否为矩形。每个小组推选一名代表，一会儿来分享你们讨论出的检测方法。​ （学生分组讨论，教师巡视各小组，倾听学生的想法，并适时给予一些引导和启发）​ 好啦，时间到。哪个小组先来分享你们的检测方案？​ 第一小组代表：我们觉得可以测量其中一个角，如果这个角是直角，根据矩形的定义，就可以判定它是矩形了。​ 老师：非常好，利用矩形定义来判定，思路很清晰。那有没有不用测量角的方法呢？毕竟有时候测量角可能不太方便。​ 第四小组代表：我们想的是测量框架的两条对角线长度，如果这两条对角线长度相等，我们猜测这个平行四边形框架就是矩形。​ 老师：这个想法很新颖。那为什么你们会认为对角线相等就能判定它是矩形呢？这有什么依据吗？​ 第四小组代表：我们是联想到上节课学的矩形性质，矩形的对角线是相等的，所以反过来，如果一个平行四边形的对角线相等，那它可能就是矩形。​ 老师：大家觉得这个小组的猜想有道理吗？那是不是所有对角线相等的平行四边形就一定是矩形呢？这就是我们今天要深入探讨和验证的问题 —— 矩形的判定方法。 （设计意图：该情景导入以生活场景为切入点，既让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣，又通过问题引导学生调动已有知识思考检测方法，在小组讨论的思维碰撞中自然引出对矩形判定方法的探究，为后续学习明确目标，同时培养学生的合作交流与创新思维能力。） （教学建议：教师需在学生思考讨论时适时引导其从矩形定义和性质出发，从边、角、对角线角度探索检测方法，鼓励学生大胆表达猜想；在学生分享方案时，认真点评并总结，强调定义的基础作用，引导思考对角线猜想的合理性，为后续证明矩形判定定理做好铺垫，营造积极宽松的课堂氛围。） 探究点　矩形的判定 1.定义判定​ 引导学生明确，矩形的定义 “有一个角是直角的平行四边形是矩形” 本身就是一种判定方法。​ 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形. （设计意图：让学生清晰地认识到矩形定义的双重性，既是矩形的本质特征，也是一种判定依据，为后续探究其他判定定理奠定基础。）​ （教学建议；结合图形，用数学语言表述定义判定：在平行四边形ABCD中，若∠A = 90°，则平行四边形ABCD是矩形。强调条件的完整性和平行四边形这个前提。） 2.做一做 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化． (1)随着∠α的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化? 当∠α 逐渐增大时，其中一条对角线逐渐变长，另一条对角线逐渐变短。 (2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想? 当两条对角线长度相等时，平行四边形的四个角都变成直角。 由此可猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 验证猜想： 已知：在□ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC， 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥DC, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC =∠DCB =× 180°= 90°, ∴□ABCD是矩形（矩形的定义）. 归纳总结： 矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD, ∴ □ABCD是矩形. （设计意图：通过实际操作，让学生直观感受对角线的变化对平行四边形形状的影响，从而提出猜想，再通过证明猜想，培养学生的合情推理和演绎推理能力，使学生深刻理解判定定理的来源和依据。） （教学建议：操作过程中，引导学生仔细观察，鼓励学生大胆发言，表达自己的发现和猜想。在证明环节，若学生遇到困难，教师可从证明目标（证明一个角是直角）出发，引导学生分析已知条件，寻找证明思路，如通过三角形全等证明角相等。） 练一练 1.如图，在□ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定□ABCD是矩形的是（　A　） A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD 3.想一想 我们知道，矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流. 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 验证猜想： 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 归纳总结： 矩形的判定定理2： 几何语言：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴ □ABCD是矩形. （设计意图：培通过对矩形角的性质的逆向思考，引导学生探究四边形成为矩形的角的条件，培养学生的逆向思维能力和探究精神，进一步提高学生的推理能力。） （教学建议：在学生思考和讨论过程中，教师可适当提示学生从平行四边形的判定入手，通过角的关系推出边的平行关系，进而证明四边形是平行四边形，再结合直角得出是矩形。对于板演的学生，教师要及时给予肯定和鼓励，对证明过程中的问题进行详细讲解。） 4.议一议 你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流. 参考答案： 方法一：测量三个角 操作：使用量角器测量门框的三个角。 依据：矩形判定定理为有三个角是直角的四边形是矩形。若测量的三个角都为 90°，依据此定理可判定该门框是矩形。 方法二：测量两组对边及对角线 操作：先用卷尺测量门框的两组对边，看它们是否分别相等；若两组对边分别相等，再测量两条对角线的长度。 依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，在此基础上，如果对角线相等，根据 “对角线相等的平行四边形是矩形” 这一判定定理，可判定该门框是矩形。 若仅有一根较长绳子时的方法： 操作：用绳子依次测量出门框的两组对边长度并做好标记，判断两组对边是否分别相等；若两组对边分别相等，再用绳子测量门框的两条对角线长度。 依据：当两组对边分别相等，说明门框是平行四边形。在此前提下，若两条对角线长度相等，依据 “对角线相等的平行四边形是矩形”，能够判定该门框是矩形。 练一练 2.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　D　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 典例分析 例1：如图，如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB = 4，求这个□ABCD的面积. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OB=OC=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8. ∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC=90°（矩形的四个角是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2=AC2, ∴BC=. ∴S□ABCD=AB·BC=4×=. 例2：如图,矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD（矩形的对角线相等)， AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）， ∵ AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形. （设计意图：通过例题的讲解，让学生学会运用矩形的判定解决实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，同时让学生熟悉解题的规范和步骤。） （教学建议：在例题讲解过程中，注重启发式教学，引导学生逐步分析问题，培养学生的逻辑思维能力。讲解完例题后，可以对题目进行适当的变形，让学生再次思考解答，巩固所学知识和解题方法。） 1.下列说法正确的是(　　) (1)对角线相等的四边形是矩形; (2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形; (3)有一个角是直角的四边形是矩形; (4)有三个角是直角的四边形是矩形; (5)四个角都相等的四边形是矩形; (6)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形. A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5) C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(6) 2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF，MN于A，C两点,AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA， ∠ ACN，∠CAF的平分线,则四边形ABCD是（ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 3.如图所示,工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行: ① ② ③ ④ (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图①所示,即AB＝CD,EF＝GH. (2)摆放成如图②的四边形，这时窗框的形状是　　　　　　 , 根据的数学道理是　　　　 .  (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格.这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是 . 4.如图所示,在ABCD中,AB＝6,BC＝8,AC＝10,求证：四边形ABCD是矩形. 5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON＝OB，再延长OC到点M，使 CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形. 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形. 参考答案 1.B　 2.C 3.(2)平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (3)矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 4.证明: ∵ 在△ABC中, AB＝6,BC＝8,AC＝10, ∴ AC2＝AB2+BC2, ∴ ∠ABC＝90°. ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ 四边形ABCD是矩形. 5.证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ AO＝OC，OD＝OB. ∵ AN＝CM，ON＝OB， ∴ ON＝OM＝OD＝OB， ∴ 四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD， ∴ 平行四边形NDMB为矩形. 6.证明：∵ AB＝AC，AD⊥BC， ∴ ∠B＝∠ACB，BD＝DC. ∵ AE是△BAC的外角平分线， ∴ ∠FAE＝∠EAC. ∵ ∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC， ∴ ∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC， ∴ AE∥BD. 又∵ DE∥AB， ∴ 四边形AEDB是平行四边形， ∴ AE＝BD. 又∵ BD＝DC， ∴ AE＝DC， ∴ 四边形ADCE是平行四边形. 又∵ ∠ADC＝90°， ∴ 平行四边形ADCE是矩形. （设计意图：通过课堂练习，及时巩固学生对矩形判定定理的掌握情况，让学生在练习中进一步熟悉判定定理的应用，提高解题能力，同时发现学生存在的问题，及时进行指导和反馈。） （教学建议：让学生独立完成练习，教师巡视，观察学生的解题情况，对于遇到困难的学生给予个别指导。练习完成后，找学生展示答案，其他同学进行评价和补充，教师总结解题的关键思路和易错点。） (设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识体系，强化对矩形判定定理的理解和记忆，总结数学思想方法，培养学生的归纳总结能力和反思意识，同时让教师了解学生的学习情况，以便进行后续教学的调整和改进。) (教学建议：在知识梳理环节，可借助图形，直观展示各种判定方法的条件和结论。在学生分享时，鼓励学生积极发言，认真倾听其他同学的分享，教师给予肯定和鼓励，营造良好的学习氛围。) 1.必做题：习题1.5第1-2题。 2.探究性作业：习题1.5第3题。 1.2矩形的性质与判定第2课时 1. 矩形的判定：（1）定义法；（2）判定定理 2.矩形判定定理的应用 3. 例题区：（学生板演区域） 本节课围绕矩形判定定理的探究与应用展开，基本达成教学目标，多数学生能理解并运用相关定理；教学中注重知识生成过程，通过生活情境和小组讨论激发了学生兴趣，但存在部分学生证明思路形成困难、课堂练习时间紧张、评价方式单一等问题，后续需加强分层指导、优化时间分配并引入多元评价，以提升教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$