2.4圆周角（第1课时圆周角定理）（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 2.4.1 圆周角 ——圆周角定理 第二章 对称图形——圆 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解圆周角的概念，并与圆心角的概念进行区分 掌握圆周角定理及其推论，并灵活地运用定理和推论解决有关问题 知识回顾 圆心角的概念？ 顶点在圆心的角叫做圆心角。 O B A 新知探究 思 考 1. 如图，∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C有什么共同特征？ 顶点都在圆上 O A1 A2 A3 B C 新知探究 思 考 2. 如图，说说∠DEF、∠GHI与∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C的联系与区别？ O A1 A2 A3 B C D H G F E I 解：联系：顶点都在圆上； 区别：∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C的两边都与圆相交，而∠DEF、∠GHI并没有。 新知探究 圆周角： 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 eg：如图，∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C都是O中所对的圆周角。 知识要点 O A1 A2 A3 B C 新知探究 讨 论 1. 为什么圆周角强调“两边都与圆相交”，而圆心角却没有？ 解：因为顶点在圆心的角，两边必然与圆相交。 O 新知探究 讨 论 2. 如下图，所对的圆心角可以画多少个？所对的圆周角可以画多少个？ 圆心角可以画1个 O B C 圆周角可以画无数个 新知探究 圆心角与圆周角： 知识要点 圆心角 圆周角 定义 顶点在圆心 ①顶点在圆上 ②两边都与圆相交 一条弧所对的角的个数 只有一个 无数个 典例分析 典例1 下面图形中的角，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． C 方法技巧 解题关键： 紧抓两个要点： ①顶点在圆上； ②两边都与圆相交。 新知探究 思 考 1. 如图，∠BOC = 90°，所对的圆周角都为多少度？ ( 请用量角器度量 ) O B C 经度量可得：所对的圆周角都为45°。 新知探究 思 考 2. 如图，∠BOC = 60°，所对的圆周角都为多少度？ ( 请用量角器度量 ) O B C 经度量可得：所对的圆周角都为30°。 【猜想】 ( 1 ) 同弧所对的圆周角相等； ( 2 ) 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 新知探究 论 证 1. 先研究圆心在圆周角的一边上的情形。 证明：∵OC = OA， ∴∠OCA = ∠OAC， 又∵∠BOC = ∠OCA+∠OAC， ∴∠BOC = 2∠OAC， 即∠BAC = ∠BOC。 O B C A 新知探究 论 证 2. 再研究圆心在圆周角内部的情形。 证明：如图，延长AO交于O点D， ∵OB = OA，∴∠OBA = ∠OAB， 同理：∠OCA = ∠OAC， 又∵∠BOD = ∠OBA + ∠OAB = 2∠OAB， ∠COD = ∠OCA + ∠OAC = 2∠OAC， ∴∠BOC = ∠BOD + ∠COD = 2∠OAB + 2∠OAC = 2∠BAC， 即∠BAC = ∠BOC。 O B C A D 新知探究 论 证 3. 最后研究圆心在圆周角外部的情形。 证明：如图，作直径AD， ∵OB = OA，∴∠OBA = ∠OAB， 同理：∠OCA = ∠OAC， 又∵∠BOD = ∠OBA + ∠OAB = 2∠OAB， ∠COD = ∠OCA + ∠OAC = 2∠OAC， ∴∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 2∠OAB - 2∠OAC = 2∠BAC， 即∠BAC = ∠BOC。 D O B C A 新知探究 知识要点 圆周角定理： ① 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 如图，∠BAC = ∠BOC。 O B C A O B C A O B C A 新知探究 知识要点 ∵圆心角的度数 = 它所对的弧的度数， ∴我们也可以说，圆周角的度数 = 它所对的弧的度数的一半。 关系简记： 圆周角的度数 = 圆心角的度数的一半 = 所对的弧的度数的一半。 新知探究 知识要点 圆周角定理： ② 同弧或等弧所对的圆周角相等； 如图，∠BAC = ∠BMC = ∠BNC。 O B C M N A 典例分析 典例1 如图，点A，B，C在O上，∠AOB = 70°，则∠ACB等于（　　）​ A．30° B．35° C．40° D．45° B O B A C 解：∠ACB = ∠AOB= × 70° = 35°。 方法技巧 解题关键： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 典例分析 典例2 如图，在O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB = 40°，∠ABD = 30°， 则∠APD的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．70° O B C D A P 解：∵ = ， ∴∠D = ∠CAB = 40°， ∴∠APD = ∠D + ∠ABD = 40° + 30° = 70°。 D 方法技巧 解题关键： 同弧或等弧所对的圆周角相等。 新知探究 思 考 1. 如图，BC是O的直径，圆周角∠BAC、∠BDC为多少度？为什么？ O C B A D ∠BAC = ∠BDC = ∠BOC = × 180° = 90°。 【总结】直径所对的圆周角是90°。 新知探究 思 考 2. 如图，圆周角∠BAC = 90°，若连接BC，则BC过圆心O吗？为什么？ ∵∠BOC = 2∠BAC = 2 × 90° = 180°， ∴BC过圆心O，BC是O的直径。 【总结】90°的圆周角所对的弦是直径。 O C B A 新知探究 知识要点 圆周角定理的推论： 直径所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径； 如图，∠BAC = 90°，BC是直径。 O C B A 典例分析 典例3 如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD。若∠BAC = 28°， 则∠D的度数是（　　） A．56° B．58° C．60° D．62° 解：如图，连接BC， ∵AB是O的直径，∴∠ACB = 90°， ∴∠ABC = 90° - ∠BAC = 90° - 28° = 62°， ∵ = ，∴∠B = ∠D = 62°。 D 方法技巧 解题关键： 直径所对的圆周角是90°。 O B C D A E 题型探究 圆周角定理的应用 题型一 【例1】如图，AB、AC 是 ⊙O 的弦，D 是 CA 延长线上的一个点，AD = AB，∠ADB = 27°，则 ∠BOC 的度数为（　　） A．100° B．104° C．108° D．112° C 解：∵AD = AB，∠ADB = 27°， ∴∠ADB = ∠ABD = 27°， ∴∠BAC = ∠ADB + ∠ABD = 54°， ∴∠BOC = 2∠BAC = 2 × 54° = 108°。 题型探究 圆周角定理的应用 题型一 【例2】如图，O中，OA是半径，OA⊥BC，∠AOB = 48°， 则∠ADC的度数为（　　） A．48° B．42° C．36° D．24° 解：如图，连接BD， O中，OA是半径，OA⊥BC， ∴ = ， ∴∠ADC =∠ADB = ∠AOB = × 48° = 24°。 O B C D A D 题型探究 圆周角定理的推论的应用 题型二 【例3】如图，AB为O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC = CD，DB的延长线交O于点E，连接CE。 ( 1 ) 求证：∠A = ∠D； ( 2 ) 若的度数为108°，求∠E的度数。 ( 1 ) 证明：连接BC， ∵AB为O的直径， ∴∠ACB = 90°，即AD⊥BC， 又∵AC = CD， ∴AB = BD，∴∠A = ∠D； O A C D B E 题型探究 圆周角定理的推论的应用 题型二 ( 2 )解：∵的度数为108°， ∴∠EBA = 54°， 又∵∠EBA = ∠A + ∠D，∠A = ∠D， ∴∠A = ∠EBA = 27°， 又∵ = ，∴∠E = ∠A = 27°。 【例3】如图，AB为O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC = CD，DB的延长线交O于点E，连接CE。 ( 1 ) 求证：∠A = ∠D； ( 2 ) 若的度数为108°，求∠E的度数。 O A C D B E 课堂小结 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆心角 圆周角 定义 顶点在圆心 ①顶点在圆上 ②两边都与圆相交 一条弧所对的角的个数 只有一个 无数个 圆周角定理： ① 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； ② 同弧或等弧所对的圆周角相等。 圆周角定理的推论： 直径所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径。 感谢聆听! $$