21.2.2公式法（培优教学课件）数学人教版九年级上册

人教版·九年级上册 第21.2.2 公式法 第二十一章 一元二次方程 1. 会用公式法解一元二次方程. 2. 理解用根的判别式判别根的情况. 3. 通过推导求根公式的过程,极强推理能力的训练，进一步发展逻辑思维能力，体验类比、转化、降次的数学思想. 学 习 目 标 同学们还记得怎么用配方法解一元二次方程吗？ (1)移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； (2)二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数； (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； (4)将原方程变成(x＋n)2=p的形式； (5)判断右边代数式的符号，若p≥0，可以利用直接开平方法求解；若p＜0，原方程无实数根. 复习引入 用配方法解下列方程：x2-4x-12=0. 解：移项，得 x2-4x=12, 配方，得 x2-2x+22=12+22 , 即 (x-2)2=16 由此可得 x-2=±4 x1=-2,x2=6. 复习引入 分析：配方法进行配方. 解：移项，得 ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得 x2+x=- 配方，得 x2+x+()2=- +()2 即 (x+)2= ① 探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).你能用配方法解这个方程吗？ 这是一个什么数呢？ 互动新授 ∵a≠0,4a2＞0，式子b2-4ac的值有以下三种情况： （1）b2-4ac＞0时， 这时，由①得x+=± ， 方程有两个不等的实数根 互动新授 （2）b2-4ac=0时， 这时=0，由①可得，x+ =0 方程有两个相等的实数根 x1=x2=-； （3）b2-4ac＜0时， 这时＜0，由①可得，(x+)2＜0，而x取任何实数都不能使(x+)2＜0，因此方程无实数根. 互动新授 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac. 当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. Δ＞0 方程有两个不等的实数根； Δ＝0 方程有两个相等的实数根； Δ＜0 方程无实数根. 总结归纳 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 总结归纳 2x2-3x-5=0 -3x2+2x-8=0 x2-4x+8=0 Δ的值 根的情况 1.按要求完成下列表格： 49 0 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 -92 小试牛刀 例2 用公式法解下列方程： (1)x2-4x-7=0 (2)2x2-2x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x 解：(1) a=1，b=-4，c=-7. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0 方程有两个不等的实数根 = 即x1=,x2= . (2) a=2，b=-2，c=1. Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0 方程有两个相等的实数根 = 即x1=x2= . 分析：先将方程化为一般式，再计算Δ的值判断根的情况，最后用求根公式求解. 有几个根呢？ 典例精析 解：(3) 方程化为5x2-4x-1=0. a=5，b=-4，c=-1. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0 方程有两个不等的实数根 = 即x1=,x2=-. (4) 方程化为x2-8x+17=0. a=1，b=-8，c=17. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0 方程无实数根 . 例2 用公式法解下列方程： (1)x2-4x-7=0 (2)2x2-2x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x 有几个根呢？ 典例精析 1.一元二次方程 x2-5x＋7＝0 的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个实数根 A 解：要判断方程是否有根，首先要判断Δ， 因为 Δ= (-5)2-4×1×7= -3<0， 所以此方程没有实数根.故选A. 小试牛刀 1.不解方程，判别下列方程的根的情况. (1)-x2-6x+1=0 (2)x2-x+2=0 (3)x2-4x+4=0 (4)(x-3)2+5=0 解：(1)Δ=(-6)2-4×(-1)×1=40＞0∴方程有两个不相等的实数根. (2)Δ=(-1)2-4×1×2=-7＜0∴方程无实数根. (3)Δ=(-4)2-4×1×4=0∴方程有两个相等的实数根. (4)原方程可化为(x-3)2=-5＜0∴方程无实数根. 课堂检测 2.若关于x的一元二次方程x2-4x＋5=a有实数根，则a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 解：因为关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋5＝a有实数根， 方程转化为（x-2) 2+1= a ，要使方程成立，即a-1≥0， 解得a≥1 ，所以a的取值范围为 a≥1 ． D 课堂检测 3.用公式法解下列方程： (1)3x2+x-4=0 (2)-2x2-2x=-4 解：(1) a=3，b=1，c=-4. Δ=b2-4ac=12-4×3×(-4)=49＞0 方程有两个不等的实数根 = 即x1=-,x2=. (2)方程化为-2x2-2x+4=0. a=-2，b=-2，c=4. Δ=b2-4ac=(-2)2-4×(-2)×4=36＞0 方程有两个不等的实数根 = 即x1=,x2=. 课堂检测 1.关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 分析：对Δ的应用，由方程有实数根可得Δ≥0. 解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，解得：m≤1， ∵m为正整数，∴m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0，解得：x1=x2=1． 不要忽略等于0的情况 拓展训练 1.由配方法解一般的一元二次方程 若b2-4ac≥0得 求根公式 :. 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤： (1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0. (2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号. (3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解. (4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果. 课堂小结 1.先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式的a、b、c： （1）方程2x2+x-6=0中，a= ，b= ，c= ； b2-4ac= . （2）方程5x2－4x=12中，a= ，b= ，c= ；b2-4ac= . （3）方程4x2－4x+1=0中，a= ，b= ，c= ；b2-4ac= . -4 1 -6 49 5 -4 -12 236 4 2 1 0 课后作业 1.关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 解(1)， ∵无论m取何值时，，∴此方程总有两个实数根． (2)，． ． ∵此方程有一个根小于1，且．． ． 培优作业 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$