专题02 有理数数轴上的动点问题8大题型（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题02 有理数数轴上的动点问题（8大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、单动点问题（简单运动类） 1 题型二、单动点问题（规律变化类） 2 题型三、双动点问题（匀速运动类） 3 题型四、双动点问题（变速运动类） 5 题型五、多动点问题 6 题型六、动点中的定值、无关问题 8 题型七、几何图形在数轴上的运动问题 8 题型八、数轴上掉头运动问题 8 B综合攻坚・能力跃升 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 题型一：单动点问题（简单运动类） 1．在数轴上有一个动点从原点出发，每次向正方向或负方向移2个单位长度，经过4次移动后，动点落在表示数4的点上，则动点的不同运动方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 3．数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 4．已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 5．如图，在一条不完整的数轴上一动点向左移动6个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点．    (1)①若点表示的数为0，则点点表示的数分别为：_________、_________； ②若点表示的数为1，则点、点表示的数分别为：_________、_________； (2)如果点表示的数互为相反数，则点表示的数为_________． (3)若点表示原点，则距离点三个单位长度的点表示的有理数是_________． 题型二：单动点问题（规律变化类） 6．如图，已知数轴上的点 A表示的为 6，点B表示的是4的相反数，点 C到点A、点B的距离相等，动点P从点 B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右速运动，设运动时间为t（t>0）秒． (1)点B表示的数是___________；A、B两点之间的距离为___________；点 C表示的数是___________． (2)当等于多少秒时，P、C之间的距离为 2个单位长度？ 7．如图，已知、、是数轴上的三点，点表示的数是6，点与点之间的距离是4，点与点的距离是12，点为数轴上一动点． (1)数轴上点表示的数为_______，点表示的数为_______； (2)数轴上是否存在一点，使点到点、点的距离和为16，若存在，请求出此时点所表示的数；若不存在，请说明理由． 8．如图，从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．（用1个单位长度表示） (1)请你在题中所给的数轴上表示出A、、三点的位置； (2)把点到点的距离记为，则__________． (3)一动点从点出发沿数轴正方向移动，且速度保持不变，设点移动的时间为（单位：），当及时，分别求点到点的距离（用含的式子表示）． 9．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6 （1）求线段AB的长； （2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由． 10．点在数轴上所对应的数分别是，其中满足． （1）求的值； （2）数轴上有一点，使得，求点所对应的数； （3）点为中点，为原点，数轴上有一动点，求的最小值及点所对应的数的取值范围． 题型三：双动点问题（匀速运动类） 11．已知数轴上有、、三点，分别对应有理数、、，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，同时，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设点的移动时间为秒． (1)当秒时，数轴上点对应的数为______，点对应的数为______，、两点间的距离为______，用含t的代数式表示数轴上点对应的数为______． (2)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），请用含的代数式表示、两点间的距离． (3)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），求当为何值时？ 12．数轴上有不同两点，，点表示的数为，点表示的数为．    (1)若点表示的数的相反数是，求点表示的数． (2)若点与点之间的距离为6，且点在点的右侧，求的值． (3)在（1）的条件下，在数轴上有两动点，，若动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，经过2秒相遇；若动点从点出发向点运动，同时，动点从点出发与点同向运动，经过6秒相遇，求点与点的运动速度． 13．如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒． (1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）； (2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值； (3)当线段的长为7时，直接写出t的值． 14．在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题： (1)若，则=_____； (2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示； (3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值． 15．如图．点A、C、B在数轴上表示的数分别是，1、5．动点P、Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿A→B→A运动．回到点A时停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿C→B向终点B运动，设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P到达点B时，点Q表示的数为___________； (2)当时，求点P、Q之间的距离； (3)当点P沿A→B运动时，用含t的式子表示点P、Q之间的距离； (4)当点P沿B→A运动时，若点P、B之间的距离是2，直接写出点Q、B之间的距离． 题型四：双动点问题（变速运动类） 16．如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满． (1) ______， ______， ______； (2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值． 17．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出A、B两点之间的距离______； (2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； (3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值． 18．已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______； (2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，是否存在某个时刻（秒），使得两点的距离为5，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 19．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 20．如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．    (1)a的值为 ，的值为 ； (2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x． ①若点P，Q在点B处相遇，求m的值； ②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值． 题型五：多动点问题 21．在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 22．如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 23．阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    24．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 25．如图：在数轴上点表示数点表示数点表示数是最大的负整数，在左边两个单位长度处，在右边个单位处 ； _； _； 若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_ __表示的点重合； 点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为，则_ _，_ _，__ _；（用含的代数式表示） 请问:的值是否随着时间的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    题型六：动点中的定值、无关问题 26．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长 (单位长度)，慢车长 (单位长度，设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点0为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c.若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且a、c分别是多项式的二次项系数和常数项.    (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度? (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距8个单位长度? (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的乘客——明德少年P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值(即为定值).你认为明德少年P发现的这一结论是否正确?若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由. 27．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 28．如图，数轴上点、分别对应数、，其中，． (1)当，时，线段的中点对应的数是_________． (2)若该数轴上另有一点对应着数． ①当，，且时，求代数式的值； ②．且时，小明通过演算发现代数式是一个定值，老师点评：小明同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小明的演算发现”是不完整的？ 29．如图，线段和在数轴上运动，开始时，点与原点重合，且. (1)若，且为线段的中点，求点在数轴上表示的数. (2)在(1)的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为个单位/秒，线段的速度为个单位/秒，经过秒恰好有，求的值. (3)若线段和同时开始向左运动，且线段的速度大于线段的速度，在点和之间有一点(不与点重合)，且有，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.    30．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 题型七：几何图形在数轴上的运动问题 31．如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 32．如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点． 【理解定义】                                             （1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ； 【解决问题】 如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置． （2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度； （3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值． 33．如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．    【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？ （2）图中点表示的数为____，点表示的数为___； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题； 一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 34．【新知理解】 如图①，点C在线段上，若，则称点C是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段． （1）若，则______； （2）若点D也是图①中线段的圆周率点（不同于点C），则_____；（填“”或“”） 【解决问题】 （3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．若点M、N是线段的圆周率点，则的长_______； （4）图②中，若点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数． 题型八：数轴上掉头运动问题 36．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 37．已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______； (2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，是否存在某个时刻（秒），使得两点的距离为5，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 38．已知数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c，，且表示最小的正整数．请回答以下问题： (1)______；______；______； (2)有一动点P从点C出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，点P到A、B、C三点的距离和为14个单位？ (3)在（2）的条件下，当点P移动到点O时立即掉头，速度不变，同时点M和点N分别从点A和点B出发，向左运动，点M的速度5个单位/秒，点N的速度6个单位/秒．若Q为的中点，且设点P、M、N、Q所对应的数分别是、、、，点M出发的时间为t秒，当时，求的值． 39．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 40．已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 1．（2025·河北唐山·一模）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 2．（2025·江西南昌·一模）如图，正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形在数轴上绕着顶点顺时针连续无滑动翻转，翻转次后，点在数轴上所对应的数为．在正方形连续翻转的过程中，下列说法错误的是（   ） A．翻转次后，点与在数轴上表示“”的点重合 B．翻转次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“”和“” C．在翻转过程中，顶点可与数轴上表示“”的点重合 D．连续翻转次后，数轴上数“”所对应的点是 3．（2025·河北石家庄·一模）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2025·浙江宁波·一模）已知，如图所示，是数轴上的两个点，点A所表示的数为，点B表示的数为7，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向右运动，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ． 5．（2025·安徽亳州·一模）如图，C为射线上一点，，比的多5，两点分别从两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线上沿方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为（s），M为的中点，N为的中点，以下结论：①；②；③当时；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号） 6．（2025·甘肃兰州·一模）如图数轴上有两个点、，分别表示的数是，．请回答以下问题：    (1)与之间距离为________，，中点对应的数为________． (2)若点对应的数为，只移动点，要使得，，其中一点到另两点之间的距离相等，请思考出所有的移动方法，并直接写出移动后对应的数________． (3)若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点从出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，，同时运动： ①当点运动多少秒时，点和点重合？ ②当点运动多少秒时，，之间的距离为个单位长度？ 7．（2025·宁夏银川·一模）预备知识：在数学中，把点与点之间的距离用表示 如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数，已知数是最小的正整数，且满足．    (1) ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，运动秒钟后，求三点在数轴上所表示的数（用含的式子表示），若在此过程中，的值保持不变，求的值． (3)在此数轴有上一动点对应的数为，求的最小值． 8．（2025·广东广州·一模）如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点．    (1)请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ； (2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒； ① 当时，求t的值； ② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 9．（2025·江苏无锡·一模）如图，在数轴上点A表示的数是，点B在点的右侧，且到点的距离是18；点在点与点之间，且到点的距离是到点距离的2倍． (1)点表示的数是______；点表示的数是______； (2)若点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为8？ (3)在（2）的条件下，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数：若不存在，请说明理由． 10．（2025·山东聊城·一模）已知：如图，点A、点B为数轴上两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，a与b满足．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，若在点B处放一挡板（挡板厚度忽略不计），点P在碰到挡板后立即返回，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，到点A停止，设点P运动的时间为t（秒）（t＞0）． (1)直接写出a、b的值，______，______； (2)点P碰到挡板时，t的值为______； (3)当时，点P表示的有理数为______；当时，点P表示的有理数为______； (4)试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时t的值；若不能，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数数轴上的动点问题（8大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、单动点问题（简单运动类） 1 题型二、单动点问题（规律变化类） 2 题型三、双动点问题（匀速运动类） 3 题型四、双动点问题（变速运动类） 5 题型五、多动点问题 6 题型六、动点中的定值、无关问题 8 题型七、几何图形在数轴上的运动问题 8 题型八、数轴上掉头运动问题 8 B综合攻坚・能力跃升 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 题型一：单动点问题（简单运动类） 1．在数轴上有一个动点从原点出发，每次向正方向或负方向移2个单位长度，经过4次移动后，动点落在表示数4的点上，则动点的不同运动方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】根据数轴的特点找出几种不同的路线即可．本题考查的是数轴，熟知有理数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键． 【详解】解：动点的运动方案有： ； ； ； ；共4种． 故选：C 2．如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用运动周期找出规律，解题关键是抓住运动周期5秒．一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，可知该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位，，即可求解． 【详解】解：一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒， 该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位， ， 该点运动到2025秒时对应的数为， 故选：A． 3．数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴，画出数轴，然后确定出点C的位置，再向左移动3个单位确定出点B，向右移动2个单位确定出A，即可得解，逆向思维确定出各点的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 【详解】解：如图所示： 点表示的数为4， 故答案为：． 4．已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出点B表示的数是0，点C表示的数是再在表示数轴表示各个数，最后比较大小，即可作答． （2）依题意，点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是即可满足到点A和点B的距离相等． 【详解】（1）解：∵点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数， ∴点B表示的数是0，点C表示的数是 ∵点A表示的数是， 则三点在数轴上表示如图所示． 根据数轴上左边的数小于右边的数可知，． （2）解：∵点B表示的数是0，点C表示的数是点A表示的数是 ∴点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是可以使它到点A和点B的距离相等． 5．如图，在一条不完整的数轴上一动点向左移动6个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点．    (1)①若点表示的数为0，则点点表示的数分别为：_________、_________； ②若点表示的数为1，则点、点表示的数分别为：_________、_________； (2)如果点表示的数互为相反数，则点表示的数为_________． (3)若点表示原点，则距离点三个单位长度的点表示的有理数是_________． 【答案】(1)①，4；② (2) (3)或 【分析】（1）①根据数轴上点移动的规律：左减右加即可得到点B，C表示的数；②根据数轴上点移动的规律：左减右加即可得到点B，A表示的数； （2）设点A表示的数是a，表示出点表示的数，根据相反数的意义得到，求出a，再根据点移动的规律得到点表示的数； （3）先求出点B表示的数，再根据数轴上点移动的规律得到答案． 【详解】（1）①∵点A示的数为0，点A左移动6个单位长度到达点， ∴点B表示的数是， ∵点向右移动10个单位长度到达点． ∴点C表示的数是 故答案为：，4； ②∵点表示的数为1，点向右移动10个单位长度到达点． ∴点B表示的数是， ∵点A左移动6个单位长度到达点， ∴点A表示的数是， 故答案为：； （2）设点A表示的数是a， ∵点向左移动6个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点． ∴点表示的数是， ∵点表示的数互为相反数， ∴，得， 即点A表示的数是， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）∵点表示原点，点A左移动6个单位长度到达点， ∴点表示的数是， ∴距离点三个单位长度的点表示的有理数是或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了数轴上点移动的规律：左减右加，熟练掌握点移动的规律是解题的关键． 题型二：单动点问题（规律变化类） 6．如图，已知数轴上的点 A表示的为 6，点B表示的是4的相反数，点 C到点A、点B的距离相等，动点P从点 B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右速运动，设运动时间为t（t>0）秒． (1)点B表示的数是___________；A、B两点之间的距离为___________；点 C表示的数是___________． (2)当等于多少秒时，P、C之间的距离为 2个单位长度？ 【答案】(1)；； (2)或秒 【分析】（1）分析数轴直接求解即可． （2）分类讨论点P的位置，直接列关系式求解． 【详解】（1）B表示的数为， A、B两点之间的距离为， C为的中点． （2）由（1）可知，， 当点P在点C的左边时，，则； 当点P在点C的右边时，，则． 综上所述，当t等于1.5或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度． 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是点的坐标直接看数轴对应的数，解题技巧是分类讨论点的不同位置． 7．如图，已知、、是数轴上的三点，点表示的数是6，点与点之间的距离是4，点与点的距离是12，点为数轴上一动点． (1)数轴上点表示的数为_______，点表示的数为_______； (2)数轴上是否存在一点，使点到点、点的距离和为16，若存在，请求出此时点所表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2)存在，或4 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）由题意可知点和点都在点的左边，且点小于0， 则由题意可得数轴上点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：、2； （2）存在； ∵， ∴不可能在线段上， 所以分两种情况： ①如图1，当点在的延长线上时，， 　　　　　　　　　　　图1 ∴， ， ， 则点表示的数为； ②如图2，当点在的延长线上时，同理得， 　　　　　　　　　　　　图2 则点表示的数为4； 综上，点表示的数为或4． 【点睛】本题考查数轴和动点问题，解题的关键是掌握数轴上的有理数的性质，注意分类讨论． 8．如图，从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．（用1个单位长度表示） (1)请你在题中所给的数轴上表示出A、、三点的位置； (2)把点到点的距离记为，则__________． (3)一动点从点出发沿数轴正方向移动，且速度保持不变，设点移动的时间为（单位：），当及时，分别求点到点的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)， 【分析】（1）根据题意，在数轴上画出点A、B、C即可． （2）用C点表示的数减去A点表示的数，即可求解； （3）先将点P表示的数表示出来，再根据点P和点C的位置关系，即可进行解答． 【详解】（1）解：如图： （2）解：； 故答案为：6． （3）解：由于移动的速度为，时间为，所以点走过的路程为， 当时，点在点左侧，所以点到点的距离为； 当时，点在点右侧，所以点到点的距离为． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是正确理解题意，得出各点表示的数，明白数轴上的点表示的数，左边小于右边． 9．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6 （1）求线段AB的长； （2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由． 【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4． 【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差； （2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案． 【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8， 答：AB的长为8； （2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下： 如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点， 所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB， 所以MN＝NP﹣MP ＝PB﹣PA ＝（PB﹣PA） ＝AB ＝×8 ＝4． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键． 10．点在数轴上所对应的数分别是，其中满足． （1）求的值； （2）数轴上有一点，使得，求点所对应的数； （3）点为中点，为原点，数轴上有一动点，求的最小值及点所对应的数的取值范围． 【答案】（1）；（2）点所对应的数为或；（3）设点P所表示的数为p，当-6≤p≤-1时，最小，且最小值为9 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性即可求出a、b的值； （2）先求出AB的值，设点C表示的数为c，然后根据点C的位置分类讨论，分别画出图形，利用含c的式子表示出AC和BC，列出对应的方程即可求出； （3）根据中点公式求出点D所表示的数，设点P所表示的数为p，根据点P与点O的相对位置分类讨论，画出相关的图形，分析每种情况下取最小值时，点P的位置即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ 解得：； （2）由（1）可得：AB=4－（-6）=10 设点C表示的数为c ①当点C在点B左侧时，如下图所示 ∴AC=4－c，BC=-6－c ∵ ∴ 解得：c=； ②当点C在线段AB上时，如下图所示： 此时AC＋BC=AB 故不成立； ③当点C在点A右侧时，如下图所示 ∴AC=c－4，BC= c －（-6）=c＋6 ∵ ∴ 解得：c=； 综上所述：点所对应的数为或； （3）∵点D为AB的中点 所以点D表示的数为 设点P所表示的数为p ①当点P在点O左侧时，如以下三个图所示，此时PA－PO=AO=4 ∴ 即当取最小值时，也最小 由以下三个图可知：当点P在线段BD上时，最小，此时 ∴此时 即当-6≤p≤-1时，最小，且最小值为9； ②当点P在点O右侧时，如以下两个图所示，此时PB－PO=OB=6 ∴ 即当取最小值时，也最小 由以下两个图可知：当点P在线段OA上时，最小，此时 ∴此时 即当0≤p≤4时，最小，且最小值为11； 综上所述：当-6≤p≤-1时，最小，且最小值为9． 【点睛】此题考查的是数轴与动点问题、非负性的应用和数轴的中点公式，掌握数轴上两点的距离公式、绝对值和平方的非负性、数轴的中点公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 题型三：双动点问题（匀速运动类） 11．已知数轴上有、、三点，分别对应有理数、、，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，同时，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设点的移动时间为秒． (1)当秒时，数轴上点对应的数为______，点对应的数为______，、两点间的距离为______，用含t的代数式表示数轴上点对应的数为______． (2)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），请用含的代数式表示、两点间的距离． (3)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），求当为何值时？ 【答案】(1)，，， (2)或或 (3)当时， 【分析】本题考查了数轴，代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离，对进行分类讨论． （1）根据题意，可以计算出当秒时，点和点对应的数，然后用大数减去小数就是两点间的距离，用点对应的数加上点移动的距离即可表示数轴上点对应的数； （2）先计算、相遇的时间，点到达终点的时间，点到达终点的时间，然后分类写出、两点间的距离； （3）分为、相遇前和相遇后进行讨论，用含有的式子分别表示出、相遇前、后的、，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：当秒时， 数轴上点对应的数为：， 点对应的数为：， 、两点间的距离为：， 用含t的代数式表示数轴上点对应的数为：， 故答案为：，，，； （2）设点追上点所用的时间为， ， 解得：， 点到达终点的时间为：（秒）， 点到达终点的时间为：（秒）， 当时，， 当时，， 当时，， 或或； （3）①、相遇前， ， ，即， 解得：，不符合题意，舍去； ②、相遇后， ，， ，即， 解得：， 综上所述，当时，． 12．数轴上有不同两点，，点表示的数为，点表示的数为．    (1)若点表示的数的相反数是，求点表示的数． (2)若点与点之间的距离为6，且点在点的右侧，求的值． (3)在（1）的条件下，在数轴上有两动点，，若动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，经过2秒相遇；若动点从点出发向点运动，同时，动点从点出发与点同向运动，经过6秒相遇，求点与点的运动速度． 【答案】(1)1 (2)1 (3)； 【分析】（1）根据题意求出点表示的数，再求出的值，即可得到点表示的数； （2）列出一元一次方程求解即可； （3）设点的运动速度为单位长度/秒，点的运动速度为单位长度/秒，根据题意列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数的相反数是， ∴点表示的数是8， 又∵点表示的数为， ∴， 解得：， ∴点表示的数为； （2）解：∵点与点之间的距离为6，且点在点的右侧， 根据题意得，， 解得：； （3）解：在（1）的条件下，点与点之间的距离为7， 设点的运动速度为单位长度/秒，点的运动速度为单位长度/秒， 根据题意得：， 解得：， ∴点的运动速度为单位长度/秒，点的运动速度为单位长度/秒． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 13．如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒． (1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）； (2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值； (3)当线段的长为7时，直接写出t的值． 【答案】(1)4，3 (2) (3)8或9 【分析】（1）分别求出当时，当点M和点N表示的数，然后利用数轴上两点距离公式求解即可； （2）先判断出当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，由此表示出运动t秒后点M和点N表示的数，再根据二者重合建立方程求解即可； （3）分当点N向点A运动的过程时，当点N在点A停留时，点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到点B前，当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后，表示出点N和点M表示的数，再根据的长为7建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，点M表示的数为，点N表示的数为， ∴； 当时，点N表示的数为，点N表示的数为， ∴； 故答案为：4，3； （2）解：由题意得，当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，此时运动t秒后，点N表示的数为，点M表示的数为， ∴， 解得； （3）解：当点N向点A运动的过程时，由题意得， 解得，不符合题意； 当点N在点A停留时，由题意得，， 解得，不符合题意； 当点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，由题意得，， 解得，不符合题意； 当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到达点B前，由题意得，， 解得； 当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后停止运动，由题意得，， 解得； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点距离公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 14．在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题： (1)若，则=_____； (2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示； (3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值． 【答案】(1)10或-4； (2)或； (3)，或，或，． 【分析】（1）根据距离公式进行求解即可； （2）分向左和向右两种情况进行讨论，根据左减右加进行求解即可； （3）分、、分别为线段的中点进行分类讨论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在数轴上，表示数的点与数的点之间的距离为， 或， 解得或． 故答案为：或； （2）解：∵圆的半径为， 此圆的周长， 当圆向左滚动时点表示的数是； 当圆向右滚动时点表示的数是． 故答案为：或； （3）解：∵， ∴在数轴上，点与点之间的距离为，且点在点的右侧． ①当点为线段的中点时， ． 点表示的数为， ，． ②当点为线段的中点时， ． 点表示的数为， ，． ③当点为线段的中点时， ． 点表示的数为， ，． 综上所述，，或，或，． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离问题．熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 15．如图．点A、C、B在数轴上表示的数分别是，1、5．动点P、Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿A→B→A运动．回到点A时停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿C→B向终点B运动，设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P到达点B时，点Q表示的数为___________； (2)当时，求点P、Q之间的距离； (3)当点P沿A→B运动时，用含t的式子表示点P、Q之间的距离； (4)当点P沿B→A运动时，若点P、B之间的距离是2，直接写出点Q、B之间的距离． 【答案】(1)3 (2)1 (3) (4)1.5 【分析】（1）先计算运动时间后算出Q的运动长度即可． （2）算出P和Q表示的数即可． （3）利用行程问题表示出P和Q两点表示的数即可． （4）先算出运送时间，再算出距离即可． 【详解】（1）解：点P的运动时间为：秒， 故点Q的运动长度为，表示的数为3． （2）解：当时，点P表示的数是， 点Q表示的数是，所以点P、Q之间的距离是1． （3）解：当点P沿A→B运动时，若点P、Q重合前，则点Q表示的数大于点P表示的数，所以，所以点P、Q之间的距离为； 当点P、Q重合时，点P、Q之间的距离是0；当点P超过点Q时，则点P表示的数大于点Q表示的数，所以，所以点P、Q之间的距离为． （4）解：当点P沿B→A运动时，若点P、B之间的距离是2时，运动时间为：秒，则点Q的运动长度为：秒，． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点，利用行程问题解数轴动点问题是解题的关键． 题型四：双动点问题（变速运动类） 16．如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满． (1) ______， ______， ______； (2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程数轴上的点的运动问题，涉及绝对值方程、一元一次方程以及点的运动规律．需要通过解析方程和运动状态求解点的位置与时间关系． （1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0 成为解题的关键； （2）由题意可知，，结合两点距离公式求解绝对值方程即可，注意检验点P在点C左侧； （3）根据C到达O点前，以及C到达O点后进行分类讨论，注意转折点对方程产生的影响． 【详解】（1）因为，所以，， 又因为点B为中点，所以． 故答案为：． （2）由题意可得 ，， 因为， 所以， 解得：或． 检验，当时，，满足条件， 当时，，也满足条件， 综上或． （3）由题意，可得： C到达O点前，有： ①当M在O左侧时，此时， 解得； ②当M在O右侧、B左侧时，此时， 解得无解； ③当M在B右侧时，此时， 解得无解； C到达O点后，有： ④当M在B右侧时，此时， 解得； 综上或． 17．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出A、B两点之间的距离______； (2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； (3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或或 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴两点间的距离，绝对值方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，得出，即可作答． （2）进行分类讨论，则点C在B点的右边；当点C在A点与B点的之间，当点C在A点的左边，分别运用数轴两点间的距离进行列式计算，即可作答． （3）考虑，则点P表示的数是，列式，解得或，点P第一次从点往点移动时，则点P表示的数是，得，解得或；当点P第二次从出发，列式，解得．据此即可作答． 【详解】（1）解：∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． ∴ ∴A、B两点之间的距离为； （2）解：设点C在数轴上表示有理数c， 点C在B点的右边，则结合数轴，， 不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去； 当点C在A点与B点的之间， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， 则 解得， 当点C在A点的左边， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， 则 解得， ∴点C表示的数为或； （3）解：依题意，时间为t， 点Q表示的数是， ∵， ∴， ∴则点P表示的数是， ∵， ∴， 即， ∴或， 解得或， 当点P表示的数去到点，且点P第一次从点往点移动时， 则， ∴则点P表示的数是， ∵， ∴， ， 即或， 此时或， 当点P刚好回到，此时点Q表示的数是， ∵， ∴， ∵， ∴当点P第二次从A出发，， 则点P表示的数是， ∵， ∴， ∴， 综上或，或或． 18．已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______； (2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，是否存在某个时刻（秒），使得两点的距离为5，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 【答案】(1)11或 (2)的值为2或6； (3)动点运动的速度为；动点的原速为或 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上点的特征，相反数的意义，一元一次方程的应用，依据题意列出方程是解题的关键． （1）利用相反数的意义和分类讨论的思想方法解答即可； （2）利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论； （3）由题意求得点的运动时间为5秒，运动距离为10，则点的速度可求；设动点的原速为，利用代数式表示出，的长度，利用列出方程解答即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． 设点表示的数为， 点表示的数是，且， ， 或． 故答案为：11或； （2）解：在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6．理由： 当点、位于原点的同侧时， ，． 设动点的速度为，则动点的速度是， 秒后两动点相遇， ， ． ，两点运动（秒）后，使得，两点的距离为5， 或， 解得：或6． 在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6； （3）解：动点比动点晚出发1秒，当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇， ，两点在点处相遇，此时点的运动时间为5秒，距离为10， 运动的速度为； 设动点的原速为，则，， 由题意得：， ， 或． 动点的原速为或． 19．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． （1）根据时间路程速度，即可求解； （2）由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：． 20．如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．    (1)a的值为 ，的值为 ； (2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x． ①若点P，Q在点B处相遇，求m的值； ②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值． 【答案】(1) (2)①  ②或 【分析】根据两点间的距离为且两点表示的数互为相反数即可求； 再根据绝对值为非负数求出，从而得出结论； ①根据相遇时走的路程是，根据速度时间路程列方程求出的值；②根据点的路程之差的绝对值等于列出方程，解方程即可. 【详解】（1）∵, ∴, ∵, 互为相反数, ∴, ∴, 故答案为: ； （2）①∵点的速度是每秒个单位长度，点在点处相遇, , ∴点从点运动到点所用时间为秒， ∵, ∴, 解得 ②设运动时间为秒， 根据题意：, 解得或 或 ∴或 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，两点间距离公式的应用，进行分类讨论是解题的关键. 题型五：多动点问题 21．在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)-2，1，7； (2)3，9，6； (3)点A与点B之间的距离为3t+3，点A与点C之间的距离为5t+9，点B与点C之间的距离为2t+6； (4)不变，12． 【分析】本题考查数轴、列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意，直接写出点A、B、C表示的数即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （3）用含t的代数式写出点A、B、C表示的数，再分别表示出这三个点两两之间的距离即可； （4）将和分别代入并化简，根据其结果是否含有t即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得点A、B、C表示的数分别是：，1，7． 故答案为：，1，7． （2）解：点A与点B之间的距离为，点A与点C之间的距离为，点B与点C之间的距离为． 故答案为：3，9，6． （3）解：t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴t秒后，点A与B之间的距离为，点A与C之间的距离为，点B与C之间的距离为． （4）解：∵， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为12． 22．如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，或 (3)存在， 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴动点问题． （1）根据绝对值和平方的非负性，相反数，即可求出a，b，c的值； （2）先求出折点为，即可求出与点A重合的数，由三等分点的定义得出或，即可求出点D表示的数； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， 的相反数为， ， 故答案为：，，； （2）解：与重合，即，重合， 折点为， 与点重合的点是， 由三等分点得或， ∴表示的数为或． 故答案为：；或； （3）解：存在， ∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 为定值， 的值与无关， ， ∴． 23．阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    【答案】(1)①②或5 (2) (3)①，，②不变，2 【分析】（1）①根据两点之间的距离公式可得； ②根据距离公式得出关于的绝对值方程，求解即可； （2）的最小值，意思是到的距离与到2的距离之和最小，那么应在和2之间的线段上； （3）①先根据是最大的负整数，求出，再根据，即可求出；②先求出，，从而得出． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是； ②如果，即， ∴， ∴或． 故答案为：①；②或5； （2）∵， ∴即为数轴上某点到的距离与该点到2的距离之和，如下图，   的最小值，即表示某点到的距离与到2的距离之和最小， 所以，当时，最小值是3． 故答案为：； （3）①∵是最大的负整数， ∴， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，，； ②的值不随着时间的变化而改变，其值是2． 理由如下： ∵点都以每秒1个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了绝对值方程、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 24．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1 (2)或4 (3)点P所经过的总路程是个单位长度 【分析】（1）若点P对应的数与、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等． （2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程． 【详解】（1）∵，2的绝对值是2， ，的绝对值是2， ∴点P对应的数是1． （2）当P在之间，（不可能有） 当P在A的左侧，，得 当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得： ， 解得． 则． 答：点P所经过的总路程是个单位长度． 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是正确表示点和点直接的距离，以及根据数量关系列方程求解． 25．如图：在数轴上点表示数点表示数点表示数是最大的负整数，在左边两个单位长度处，在右边个单位处 ； _； _； 若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_ __表示的点重合； 点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为，则_ _，_ _，__ _；（用含的代数式表示） 请问:的值是否随着时间的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    【答案】（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21． 【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据在左边两个单位长度处，在右边个单位处即可得出a、c的值； （2）根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点B重合的数； （3）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用数轴上两点间的距离即可求出AB、AC、BC的值； （4））将（3）的结论代入中，可得出的值不会随着时间的变化而变化，即为定值，此题得解． 【详解】（1）b是最大的负整数， 在左边两个单位长度处，在右边个单位处 ， （2）将数轴折叠，使得点与点重合 （3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动 t秒钟过后，根据得：，， 又，， 点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为， ，，； （4）由（3）可知： ， 的值为定值21． 故答案为：（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21． 【点睛】本题考查了数轴及两点间的距离，根据点运动的方向和速度找出点A、B、C运动后代表的数是解题的关键． 题型六：动点中的定值、无关问题 26．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长 (单位长度)，慢车长 (单位长度，设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点0为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c.若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且a、c分别是多项式的二次项系数和常数项.    (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度? (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距8个单位长度? (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的乘客——明德少年P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值(即为定值).你认为明德少年P发现的这一结论是否正确?若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由. 【答案】(1)24个单位长度 (2)在行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位 (3)正确，这个时间为0.5秒，定值为6个单位长度 【分析】（1）根据题意，得到的值，再利用数轴上两点之间的距离公式，即可解答； （2）分类讨论，即相遇之前，相距8个单位；相遇之后，相距8个单位，分情况讨论即可解答； （3）根据，在之间时，是一个定值，求出这个定值和此时的时间即可。 【详解】（1）解：由题可知：      所以此刻快车头与慢车头之间的相距 （单位长度） 答：快车头与慢车头之间的相距个单位长度 （2）解：本题有两种可能， 第一种，相遇之前，相距8个单位 则列出算式：           第二种，相遇之后，相距8个单位 则列出算式： 答：在行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位 （3）解：正确，理由如下： 因为人坐在快车上，所以， 单位长度 当在之间时，（单位长度），此时                    此时，单位长度 答：正确，这个时间为0.5秒，定值为6个单位长度 【点睛】本题考查了两点之间的距离，数轴，绝对值，知道数轴上任意两点的距离等于右边的数减去左边的数的差，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想解决问题。 27．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可； （2）由题意知，，即，计算求解即可； （3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在之间，则，， ∴， 解得，， ∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即，或， 解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 28．如图，数轴上点、分别对应数、，其中，． (1)当，时，线段的中点对应的数是_________． (2)若该数轴上另有一点对应着数． ①当，，且时，求代数式的值； ②．且时，小明通过演算发现代数式是一个定值，老师点评：小明同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小明的演算发现”是不完整的？ 【答案】(1)2 (2)①2021；②见解析 【分析】（1）根据数轴上两点之间中点的表示方法，直接列式计算即可； （2）①用含a、b的代数式表示AM、BM，根据AM＝2BM列式求出a＋2b＝9即可解决问题； ②分两种情况进行解答，一种是m＜b时，另一种是m＞b时，分别根据AM＝3BM列式整理，即可得出答案． 【详解】（1）解：线段的中点对应的数是：， 故答案为：2； （2）①由m＝3，b＞3，且AM＝2BM， 可得3−a＝2（b−3）， 整理得：a＋2b＝9， 所以，a＋2b＋2012＝9＋2012＝2021； ②当a＝−3，且AM＝3BM时，需要分两种情形： Ⅰ：当m＜b时，则m−（−3）＝3（b−m）， 整理得：3b−4m＝3； Ⅱ：当m＞b时，则m−（−3）＝3（m−b）， 整理得：2m−3b＝3； 综上，小明的演算发现并不完整． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，根据数轴上的点表示的数，求两点间的距离和中点所表示的数等，当不知道点所在位置的时候，要注意分情况讨论，避免漏解． 29．如图，线段和在数轴上运动，开始时，点与原点重合，且. (1)若，且为线段的中点，求点在数轴上表示的数. (2)在(1)的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为个单位/秒，线段的速度为个单位/秒，经过秒恰好有，求的值. (3)若线段和同时开始向左运动，且线段的速度大于线段的速度，在点和之间有一点(不与点重合)，且有，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.    【答案】（1）在数轴上表示的数为38；（2）t=11或35；（3）BP=1,为定值 【分析】（1）根据，AB=8,求出CD的长，再有B为线段AC的中点，求出AC的长，即可求点在数轴上表示的数； （2）经过t秒，点A为3t, 点B为8+3t, 点C为16+2t,点D为38+2t,写出AC,BD的长，代入AC+BD=24解方程即可； （3）由，在点和之间有一点，得到AC=AP+PC,DP=CP+CD=CP+3AB-2,化简即可得到结论. 【详解】解：（1）∵，AB=8, ∴CD=3×8-2=22, ∵B为线段AC的中点, ∴AC=16, ∴AD=16+22=38, ∴点在数轴上表示的数为38； （2）由题意知，经过t秒，点A为3t, 点B为8+3t, 点C为16+2t,点D为38+2t, ∴AC= = ,BD==, ∵AC+BD=24 ∴+=24 当0≤t﹤16时，-t+16-t+30=24,解得，t=11, 当16≤t﹤30时, t-16-t+30=24,方程无解， 当30≤t时, t-16+t-30=24,解得t=35, ∴t=11或35； （3）∵，在点和之间有一点， ∴AC=AP+PC,DP=CP+CD=CP+3AB-2， ∵AB+AP+AC=DP, ∴AB+AP+AP+PC=CP+3AB-2, ∴2AP=2AB-2, ∴AP=AB-1, ∴BP=1,为定值. 【点睛】此题主要考查了线段动点问题，熟练地掌握直线动点知识及解一元一次方程是解决问题的关键. 30．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为； （）；当时，存在定值，为． 【分析】（）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （）求出点表示的数为，点表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （）依题意可得出对应的数； 由（）可知：点所表示的数为，点表示的数为，再求出点所表示的数为，点所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：（）， ∴，， ∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得， 当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为， 故答案为：； 由题意，得点表示的数为，点所表示的数为， ∴，， ∴， ∴当时，，不是定值； 当时，，是定值； 当时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 题型七：几何图形在数轴上的运动问题 31．如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、两点之间的距离： （1）根据长方形得，点表示的数为，则，再利用三角形的面积公式即可求解； （2）由得，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系即可求解； （3）设经过秒后，，则点C表示的数为，点P表示的数为，，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系求得的值，进而可求解； 熟练掌握两点之间的距离公式及利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：是长方形，长为3，宽为2，点B与表示的点重合， ，，点表示的数为， 点P表示的数为， ， ． （2）是长方形，宽为2， ，， ， ， 即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 综上所述：点所表示的数为或． （3）设经过秒后，， 长方形各个点都向左移动了个单位长度， 则点C表示的数为， 点P向右移动了个单位长度， 则点P表示的数为， ，即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为， 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为，     综上所述：点P表示的数为或． 32．如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点． 【理解定义】                                             （1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ； 【解决问题】 如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置． （2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度； （3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值． 【答案】（1）4；（2）；（3）， ，， 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程， 对于（1），先设，则，根据题意得出方程，求出解即可； 对于（2），先求出点D表示的数，可得，再根据新定义得，，最后根据得出答案； 对于（3），设当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 再分两种情况：当点D是线段的“分”点时，当点P是线段的“分”点时，列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）设，则，根据题意，得 ， 解得， ∴； 故答案为：4； （2）∵点D表示的数是， ∴. ∵不重合的两点M，N均为线段的“分”点，假设点M在点N的左边， ∴，， ∴； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 当点D是线段的“分”点时， 或， 解得或； 当点P是线段的“分”点时， 或， 解得或. 所以，t的值为或或得或. 33．如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．    【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？ （2）图中点表示的数为____，点表示的数为___； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题； 一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【答案】（1）；（2）；；（3）岁 【分析】本题考查数轴，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离， （1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则可得出此木棒的长； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，则可知爷爷比小红大，由此可求出爷爷的年龄； 利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是：， ∵ ∴木棒的长为； （2）图中点所表示的数为：，点所表示的数为：， 故答案为：；； （3）如图，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，      爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为， 小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为， ∴爷爷比小红大：， ∴爷爷的年龄为（岁）， 答：爷爷现在的年龄是岁． 34．【新知理解】 如图①，点C在线段上，若，则称点C是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段． （1）若，则______； （2）若点D也是图①中线段的圆周率点（不同于点C），则_____；（填“”或“”） 【解决问题】 （3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．若点M、N是线段的圆周率点，则的长_______； （4）图②中，若点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）点D所表示的数为或或或． 【分析】（1）本题考查对圆周率伴侣线段的理解，以及线段的和差，根据题意算出，再利用，即可解题． （2）本题考查对圆周率伴侣线段的理解，以及线段的和差，根据线段的和差得到、，再结合等量代换，即可解题． （3）本题考查数轴上两点之间的距离，以及对圆周率伴侣线段的理解，利用圆的周长公式以及轴上两点之间的距离，算出，根据点M、N是线段的圆周率点，分情况讨论，①当点M、N重合时，②当点M、N不重合时，结合（2）问中的数量关系，以及线段的和差，进行分析，即可解题． （4）本题考查数轴上两点之间的距离，线段的和差，以及对圆周率伴侣线段的理解，根据点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，分以下两种情况讨论，①点D在点左侧，有或，②点D在点右侧，有或，根据以上情况进行分析，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：． （2）解：点D也是图①中线段的圆周率点（不同于点C），、 ， ， ， ， 同理可得， ， 故答案为：． （3）解：圆片的直径为1个单位长度， ， 若点M、N是线段的圆周率点， ①当点M、N重合时，， ②当点M、N不重合时， 有，（或点M、N交换位置，但的长不变）， 由（2）同理可得， ，解得， 同理可得， ， 综上所述，的长为或； 故答案为：或． （4）解：点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段， ①点D在点左侧， 或， 当时，由（2）同理可得， ， 点D所表示的数为， 当时，由（2）同理可得， ， 点D所表示的数为， ②点D在点右侧， 或， 当时，， ， ， 点D所表示的数为， 当时， ， ， 点D所表示的数为， 综上所述，点D所表示的数为或或或． 题型八：数轴上掉头运动问题 36．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 37．已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______； (2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，是否存在某个时刻（秒），使得两点的距离为5，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 【答案】(1)11或 (2)的值为2或6； (3)动点运动的速度为；动点的原速为或 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上点的特征，相反数的意义，一元一次方程的应用，依据题意列出方程是解题的关键． （1）利用相反数的意义和分类讨论的思想方法解答即可； （2）利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论； （3）由题意求得点的运动时间为5秒，运动距离为10，则点的速度可求；设动点的原速为，利用代数式表示出，的长度，利用列出方程解答即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． 设点表示的数为， 点表示的数是，且， ， 或． 故答案为：11或； （2）解：在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6．理由： 当点、位于原点的同侧时， ，． 设动点的速度为，则动点的速度是， 秒后两动点相遇， ， ． ，两点运动（秒）后，使得，两点的距离为5， 或， 解得：或6． 在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6； （3）解：动点比动点晚出发1秒，当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇， ，两点在点处相遇，此时点的运动时间为5秒，距离为10， 运动的速度为； 设动点的原速为，则，， 由题意得：， ， 或． 动点的原速为或． 38．已知数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c，，且表示最小的正整数．请回答以下问题： (1)______；______；______； (2)有一动点P从点C出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，点P到A、B、C三点的距离和为14个单位？ (3)在（2）的条件下，当点P移动到点O时立即掉头，速度不变，同时点M和点N分别从点A和点B出发，向左运动，点M的速度5个单位/秒，点N的速度6个单位/秒．若Q为的中点，且设点P、M、N、Q所对应的数分别是、、、，点M出发的时间为t秒，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】根据题意可得,,,解题即可； 分三种情形，分别构建方程即可解决问题； 根据题意先确定表示的数，根据时间确定这四点从左到右的位置，根据两点的距离可得结论. 【详解】（1）由题意可得,,, ∴ ,， 故答案为: ； （2）根据题意得：点在数轴上表示的数为：, ①当点在线段上时，, 即，解得； ②当点在线段上时，, 即，解得； ③当点在点的右边时，, 即 解得 (舍) ； ∴或时,到的距离和为个单位; （3）由题意得：点表示的数为点表示的数为点表示的数为， ∵为的中点, 当与重合时, , ， 解得: , 当与重合时,, 解得: , ∴当时, 点从左到右的顺序为:, . 【点睛】本题考查多项式、绝对值、 数轴、 一元一次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型. 39．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 40．已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)，，，． 【分析】（）根据题意求得时，点的位置，进而求得两点距离； （）先表示出点的位置表示的数，进而求得两点距离； （）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可； （）分点到达点之前，和点到达点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可； 此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒， ∴时，点表示的数为， ∴当点运动秒时，，，， 故答案为：，，； （2）依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ∴，， 故答案为：，，； （3）∵， ∴， 即或， 解得：， ∴点表示的数为； （4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒） 当点未到达点，    此时，，则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得：或， ∴点表示的数为或； 当点从点返回后，    此时，， 则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得或， ∴点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为，，，． 1．（2025·河北唐山·一模）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 2．（2025·江西南昌·一模）如图，正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形在数轴上绕着顶点顺时针连续无滑动翻转，翻转次后，点在数轴上所对应的数为．在正方形连续翻转的过程中，下列说法错误的是（   ） A．翻转次后，点与在数轴上表示“”的点重合 B．翻转次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“”和“” C．在翻转过程中，顶点可与数轴上表示“”的点重合 D．连续翻转次后，数轴上数“”所对应的点是 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键．根据翻转得到规律，进而分析即可得解． 【详解】解：实际操作可得每翻转次，正方形相对于数轴的方位与未翻转时一致， 翻转次后，点落在数轴上表示“”的点处，故项说法正确； 翻转次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“”和“”，故说法正确； 在翻转过程中，顶点落在数轴上时，其表示的数依次是，，，，．…，点落在数轴上时所表示的数不会是，故说法错误； 因为每次翻转为一个循环组，所以，所以数轴上数“”所对应的点是，故说法正确， 故选：． 3．（2025·河北石家庄·一模）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的数的运算．根据点在线段上和线段上以及的取值范围分别判断出的取值范围，即可求得的最大值和最小值，计算即可． 【详解】解：点在线段上， ， ； 点在线段上， ， ， ， 综上： ∴最大值为，最小值为， ∴， 故选：B． 4．（2025·浙江宁波·一模）已知，如图所示，是数轴上的两个点，点A所表示的数为，点B表示的数为7，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向右运动，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了数轴动点问题，求出AB的距离是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离的定义及数轴的定义得出距离，然后算出点P运动的时间，再根据点Q运动的速度求出运动的时间，根据数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离从而可得答案； 【详解】解：∵点A所表示的数为，点B表示的数为7， ∴， ∵点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动， ∴点P运动到点A需要（秒）， ∵点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向右运动， ∴点Q运动的距离为：， ∴点Q表示的数为：， 故答案为：1． 5．（2025·安徽亳州·一模）如图，C为射线上一点，，比的多5，两点分别从两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线上沿方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为（s），M为的中点，N为的中点，以下结论：①；②；③当时；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据线段中点的定义和线段的和差关系即可得到结论． 【详解】解：∵，比的多5， ∴，， ∴；故①正确； ∵P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度， ∴，， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，，， ∴；故②正确； ∵，，， ∴，解得：，故③正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值与t无关是定值， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想． 6．（2025·甘肃兰州·一模）如图数轴上有两个点、，分别表示的数是，．请回答以下问题：    (1)与之间距离为________，，中点对应的数为________． (2)若点对应的数为，只移动点，要使得，，其中一点到另两点之间的距离相等，请思考出所有的移动方法，并直接写出移动后对应的数________． (3)若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点从出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，，同时运动： ①当点运动多少秒时，点和点重合？ ②当点运动多少秒时，，之间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)， (2)，， (3)①秒；②秒或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴上两点间的距离以及数轴上的动点问题． （1）利用数轴上两点间距离的知识即可求解； （2）分情况讨论点的运动，再根据距离来判断符合题意的可能情况； （3）设点运动秒，应用一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：、分别表示的数是，， 与之间距离为， ，中点对应的数为， 故答案为：，； （2）设点移动后对应的数为， 当点在点的左侧时，， 即， 解得：； 当点在点和点之间时，， 即， 解得：； 当点在点的右侧时，， 即 解得：； 故答案为：，，； （3）①设点运动秒时，点和点重合， 根据题意得：， 解得:, 点运动秒时，点和点重合； ②设点运动秒时，，之间的距离为个单位长度， ， ， 解得：或， 点运动秒或秒时，，之间的距离为个单位长度． 7．（2025·宁夏银川·一模）预备知识：在数学中，把点与点之间的距离用表示 如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数，已知数是最小的正整数，且满足．    (1) ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，运动秒钟后，求三点在数轴上所表示的数（用含的式子表示），若在此过程中，的值保持不变，求的值． (3)在此数轴有上一动点对应的数为，求的最小值． 【答案】(1)，1，7 (2)点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为， (3)9 【分析】（1）根据数是最小的正整数，得出，根据绝对值和平方的非负性得出，即可得出a和c的值； （2）根数两点之间的距离表示方法，即可得出t秒后A、B、C三点表示的数，得出关于t的表达式，根据的值保持不变可知，的值与t无关，即可求出m的值． （3）根据绝对值的几何意义，可得表示点Q和的距离，表示点Q和7的距离，则当点Q在和7之间时，的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：∵数是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，7； （2）解：根据题意可得： ∵， ∴t秒中后，点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为， ∴，， ∴， ∵的值保持不变， ∴的值与t无关，即， 解得：； （3）解：∵， ∴表示点Q和的距离， ∵表示点Q和7的距离， ∴当点Q在和7之间时，的值最小， 此时． 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，绝对值的几何意义，数轴上两点之间距离的表示方法，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，以及数轴上两点之间距离的表示方法． 8．（2025·广东广州·一模）如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点．    (1)请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ； (2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒； ① 当时，求t的值； ② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1)，，4 (2)①或，②不会随着t的变化而改变，见解析 【分析】（1）根据点在数轴上的位置写出答案即可； （2）①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，得到，由得到，解方程即可得到答案； ②由点M到P、Q两点的距离始终保持相等得到点M表示的数是，，，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为4； 故答案为：，，4 （2）①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，   ∴， ∵， ∴， ∴或， ②不会随着t的变化而改变，理由如下： 由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，点C表示的数是4，点A表示的数是， ∵点M到P、Q两点的距离始终保持相等， ∴点M表示的数是，   ∵， ∴， 即为定值． 【点睛】此题考查了数轴上的点表示数、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识，读懂题意，正确列式计算是解题的关键． 9．（2025·江苏无锡·一模）如图，在数轴上点A表示的数是，点B在点的右侧，且到点的距离是18；点在点与点之间，且到点的距离是到点距离的2倍． (1)点表示的数是______；点表示的数是______； (2)若点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为8？ (3)在（2）的条件下，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)点表示的数为1或 【分析】（1）根据两点间的距离公式可求点表示的数；根据线段的倍分关系可求点表示的数； （2）根据题意，分点与点相遇前，点与点相遇后两种情况讨论即可求解； （3）分点在点左侧时，点在点右侧时两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数是；点表示的数是； （2）解：由题意可知，分两种情况： 点与点相遇前：，解得； ②点与点相遇后：，解得； 综上所述，当为或时，点与点之间的距离为8； （3）解：假设存在， 当点在点左侧时，，， ， ，解得， 此时点表示的数是-3+4×1=1； 当点在点右侧时，，， ， ，解得，此时点表示的数是， 综上所述，在运动过程中存在，此时点表示的数为1或． 【点睛】本题考查了数轴、两点间的距离，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在解决类似的问题时，要防止漏解． 10．（2025·山东聊城·一模）已知：如图，点A、点B为数轴上两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，a与b满足．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，若在点B处放一挡板（挡板厚度忽略不计），点P在碰到挡板后立即返回，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，到点A停止，设点P运动的时间为t（秒）（t＞0）． (1)直接写出a、b的值，______，______； (2)点P碰到挡板时，t的值为______； (3)当时，点P表示的有理数为______；当时，点P表示的有理数为______； (4)试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)6； (3)4，5； (4)或 ． 【分析】（1）由绝对值的非负性即可得出结论； （2）求出点A与点B之间的距离为，再根据，即可求解； （3）当时，点P表示的有理数为，当时，点P到达挡板后从B点出发运动了1秒，即点P表示的有理数为； （4）分两种情况讨论：当时， ，当时，点P表示的数是 ，则有，分别解方程即可 ． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2）解：点A表示的数为，点B表示的数为8， ， 点P碰到挡板时，t的值为， 故答案为：6； （3）解：当时，点P表示的有理数为， 当时，点P表示的有理数为； 故答案为：4，5； （4）解：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等，理由如下： 当时，点P表示的数为， ， 解得， 当时，点P表示的数是 ， 则有， 解得， 综上所述，t的值为或 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴上动点问题，解题的关键是能用含t的代数式正确的表示出点运动后所表示的数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$