专题2.1 有理数的加法和减法（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题2.1 有理数的加法和减法 教学目标 1. 学生能够熟练掌握有理数加法和减法的运算法则，包括同号两数相加、异号两数相加、一个数与 0 相加的法则，以及有理数减法转化为加法的法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）。 2. 能够准确、快速地进行有理数的加法和减法运算，能正确处理含有多个有理数相加或相减的混合运算问题。 3. 理解有理数加减法运算的几何意义，如在数轴上表示有理数的加减过程，加深对运算本质的认识。 教学重难点 1.重点 （1）有理数加法法则的理解和应用，特别是异号两数相加的法则，要让学生明确如何确定和的符号以及绝对值的计算方法。 （2）有理数减法法则的掌握，即 “减去一个数等于加上这个数的相反数”，并能熟练地将减法运算转化为加法运算进行计算。 （3）有理数加减混合运算的顺序和方法，能正确处理符号问题，确保运算结果的正确性。 2.难点 （1）异号两数相加法则的理解，学生容易在确定和的符号以及绝对值的相减顺序上出现混淆，需要通过大量实例和练习帮助学生突破。 （2）有理数减法转化为加法时符号的变化，尤其是当减数是负数时，学生容易忽略符号的改变，导致计算错误。 （3）多个有理数进行加减混合运算时，如何合理运用运算律简化运算，以及处理复杂符号问题时的准确性，这需要学生具备较强的综合运算能力和细心程度 知识点01 有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【即学即练】 1．计算 (1) (2) 知识点02 有理数的加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【即学即练】 1．小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律D．无法判断 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点03 有理数的减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【即学即练】 1．计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． 题型01 有理数的加法运算 【典例1】计算： 【变式1】计算：； 【变式2】用运算律简便计算： (1)； (2)． 题型02有理数加法中的符号问题 【典例2】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型03有理数加法运算律 【典例3】以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【变式1】是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．以上均不对 【变式2】计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 【变式3】小磊解题时，将式子先变成，再计算，他运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 题型04有理数加法在生活中的应用 【典例4】外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，则从出发点开始所走的路程为，，，，，(单位：) (1)当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？ (2)若该电动车充满电可行驶，取完外卖后，该电动车还可行驶多少千米？ 【变式1】为了丰富孩子们的校园生活，西宁市第二中学积极开展多种形式的社团课程．某周三在机器人社团活动中，高一学生小华通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行7趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子妈蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)若电子蚂蚁共用了20秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【变式2】一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：．问：守门员最后是否回到了球门线的位置？ 【变式3】“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ (2)上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 题型05有理数的减法运算 【典例5】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算下列各题： (1)； (2)． 【变式2】计算． (1)； (2)． 题型06省略加法和括号的形式 【典例6】把式子改写成省略括号的和的形式 ． 【变式1】将算式“”写成省略加号的形式为 ． 【变式2】把写成省略加号的形式是（    ） A．B． C． D． 【变式3】把写成省略加号和括号的和的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型07有理数减法的实际应用 【典例7】我县某天的最高气温是，最低气温是，则这天的日温差是（　　） A． B．6 C．2 D． 【变式1】湖南省某中学地理兴趣小组开展气温观测活动发现1月某日受强冷空气影响，白昼阳光充足时最高气温达，而夜间辐射降温显著，最低气温降至．该日娄底最高气温比最低气温高（      ） A．1℃ B．5 ℃ C． D． 【变式2】年月日，搭载着我国首颗探月卫星“嫦娥一号”的“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心三号塔架发射成功，技术人员对“嫦娥一号”进行了月球环境适应性设计，这是因为月球表面的昼夜温差可达，白天阳光垂直照射的地方可达，那么夜晚的温度降至（    ） A． B． C． D． 【变式3】在一次数学测验中，把高出平均分的部分记为正数，小明考了98分记作分，若小强成绩记作分，则他的考试分数为（    ） A．90分 B．88分 C．84分 D．82分 题型08有理数的加减混合运算 【典例8】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 题型09有理数加减中的简便运算 【典例9】计算：． 【变式1】简便计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】计算． 【变式3】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型10有理数加减混合运算的应用 【典例10】下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【变式1】正值中秋佳节，小梦和妈妈一块去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计8枚．小梦将8枚月饼的质量称重后统计表如下（单位：克）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 56 55 54.8 56.2 55.3 55.3 54.7 54.3 (1)小梦为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，小梦把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）．请根据表格计算这个标准质量_______克，下面表格中第3枚月饼的质量是________克； 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 ________ ________ ________ ________ ________ (2)当小梦看到说明书上标记的总质量为克时，小梦妈妈买的月饼在总质量上是否合格？请你通过计算说明为什么． 【变式2】某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量是______；本周产量最少的一天生产工艺品的数量是______； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； 【变式3】老师倡导同学们要多帮助家长做家务，养成热爱劳动的好习惯，下面是小军对于自己的寒假假期的计划，他计划每天做家务一个小时，但放假期间，由于每天的不定因素，小军实际每天做家务的时间和计划有所出入，下面是放假后第一周小军做家务的时间（增加记为，减少记为） 星期 一 二 三 四 五 六 日（天） 增减/分钟 问： (1)做家务时间最长的一天比最短的一天多多少分钟? (2)实际情况较计划时间是较长还是较短，长（/短）了多少分钟? (3)根据记录的数据，小军这周做家务总时长是多少小时? 【变式4】人工智能（）和民用无人机的迅速发展，大大提高了人们的生产效率．我区某草莓采摘园引进新设备改进工作流程，利用无人机监控草莓生长情况．无人机以监控中心为原点，在东西方向往返巡查，若规定向东为正方向，记录该无人机的10次巡查飞行数据如下（单位：米）： ． 根据以上信息回答问题： (1)无人机在这10次巡查中一共飞行了多少米？ (2)已知无人机飞行一段时间以后需要回到监控中心更换电池，在第10次飞行结束以后，无人机是否回到监控中心？如果不是，该无人机还需要向哪个方向飞行多少米才能回到监控中心？ 一、单选题 1．计算（   ） A． B． C．-3 D．3 2．如图，将数轴上表示的点向右平移3个单位，得到点，则点表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D． 3．某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（    ） A． B． C． D． 4．若且，则的值是（    ） A．2 B． C． D．或 5．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 6．火星赤道夏季白天最高温度可达，晚上最低温度可达，则火星赤道最高气温和最低气温相差为（    ） A． B． C． D． 7．如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再依据三个密码按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘即可解锁．已知顺时针方向转动个小格记为“”，逆时针方向转动个小格记为“”．若密码为“，，”，则顺利开锁时，标记线对准的刻度线表示的数是（   ） A． B． C． D． 8．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 9．已知：，且，则的值为（　　） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 10．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的是的计算过程（白色为正，灰色为负），则图2表示的计算过程是（   ） A． B． C． D． 11．如果，且，那么p，q，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12．若a与b互为相反数，则 ． 13．若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 14．在虚拟环境中，输入“”可以让虚拟机器人向右走2格，输入“”可以让虚拟机器人向左走2格，如图，虚拟机器人在起点O处，若先输入“”，再输入“”，则虚拟机器人会走到数字 的位置上． 15．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 ． 4 红 色 基 因 7 8 1 6 16．把算式写成省略括号和加号的形式为 ． 17．已知，数轴上点表示的数是，存在一点使得点到点的距离为，则点表示的数为 ． 三、解答题 18．计算： (1)； (2)． 19．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 有理数的加法和减法 教学目标 1. 学生能够熟练掌握有理数加法和减法的运算法则，包括同号两数相加、异号两数相加、一个数与 0 相加的法则，以及有理数减法转化为加法的法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）。 2. 能够准确、快速地进行有理数的加法和减法运算，能正确处理含有多个有理数相加或相减的混合运算问题。 3. 理解有理数加减法运算的几何意义，如在数轴上表示有理数的加减过程，加深对运算本质的认识。 教学重难点 1.重点 （1）有理数加法法则的理解和应用，特别是异号两数相加的法则，要让学生明确如何确定和的符号以及绝对值的计算方法。 （2）有理数减法法则的掌握，即 “减去一个数等于加上这个数的相反数”，并能熟练地将减法运算转化为加法运算进行计算。 （3）有理数加减混合运算的顺序和方法，能正确处理符号问题，确保运算结果的正确性。 2.难点 （1）异号两数相加法则的理解，学生容易在确定和的符号以及绝对值的相减顺序上出现混淆，需要通过大量实例和练习帮助学生突破。 （2）有理数减法转化为加法时符号的变化，尤其是当减数是负数时，学生容易忽略符号的改变，导致计算错误。 （3）多个有理数进行加减混合运算时，如何合理运用运算律简化运算，以及处理复杂符号问题时的准确性，这需要学生具备较强的综合运算能力和细心程度 知识点01 有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【即学即练】 1．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的加法，加法结合律的运用． （1）运用加法的结合律，将同符号的两数相加，再进一步进行计算即可； （2）运用加法的结合律，将再分母的两数相加，再进一步进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点02 有理数的加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【即学即练】 1．小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，根据加法交换律和加法结合律即可求解，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 【详解】解：将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律， 故选：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)14 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）做带分数加法时，可将带分数化为整数和分数两部分，然后分别相加，再把结果相加，但要注意分开的整数部分和分数部分都要保留原带分数的符号； （2）正数和正数相加，负数和负数相加，再算异号两数； （3）根据加法交换率和加法结合律简便计算； （4）根据加法交换率和加法结合律简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 知识点03 有理数的减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【即学即练】 1．计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 题型01 有理数的加法运算 【典例1】计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数加法的运算法则，即同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．本题根据有理数加法的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算：； 【答案】-12 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键．去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式2】用运算律简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）利用有理数的加法交换律将和交换位置，进而求解即可； （2）利用有理数的加法交换律将和交换位置，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型02有理数加法中的符号问题 【典例2】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【变式1】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是省略加号的和的形式，将各选项中的算式通过有理数加减法则转换为省略括号和加号的形式，逐一对比即可确定正确选项． 【详解】解：A． 转换为：，不符合题意． B． 转换为：，不符合题意． C． 转换为：，不符合题意． D． 转换为：，与题目目标一致． 故选D． 【变式2】如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 题型03有理数加法运算律 【典例3】以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题主要考查了加法运算律，掌握加法交换律、结合律成为解题的关键． 根据加法运算律的定义即可解答． 【详解】解：由题意可得：①加法交换律②加法结合律． 故选A． 【变式1】是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数加法的运算律进行判断即可． 【详解】解：由题，可知，计算运用了加法交换律与加法结合律； 故选：C． 【变式2】计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了加法运算律，解题关键是掌握加法交换律、加法结合律．根据加法交换律和加法结合律进行分析，即可得到答案． 【详解】解：，这个运算应用了加法交换律和结合律， 故选：C． 【变式3】小磊解题时，将式子先变成，再计算，他运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键．根据加法交换律和加法结合律的特点，结合题意即可求解． 【详解】解：将式子先变成，再计算，则小磊运用了加法结合律． 故选：C． 题型04有理数加法在生活中的应用 【典例4】外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，则从出发点开始所走的路程为，，，，，(单位：) (1)当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？ (2)若该电动车充满电可行驶，取完外卖后，该电动车还可行驶多少千米？ 【答案】(1)离出发点3千米，在出发点正东方向 (2)4千米 【分析】本题主要考查了有理数加法的运用，熟练掌握有理数的加法是解答此题的关键． （1）将所行驶的路程全部加起来，若为正，则在东边，若为负，则在西边，结果的绝对值即为距离出发点的距离； （2）用减去所行驶路程的绝对值之和则为还能行驶的路程． 【详解】（1）解： （千米）； 答：当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点3千米，在出发点正东方向； （2）解： （千米）． 答：取完外卖后该电动自行车还可行驶4千米． 【变式1】为了丰富孩子们的校园生活，西宁市第二中学积极开展多种形式的社团课程．某周三在机器人社团活动中，高一学生小华通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行7趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子妈蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)若电子蚂蚁共用了20秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【答案】(1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧，距起点8厘米． (2)厘米/秒 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加法应用，有理数的除法应用，根据题意正确的列式计算是解题的关键； （1）各数据相加即可求解； （2）计算出电子蚂蚁爬行的总路程，再除以时间即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴电子蚂蚁最后位于起点的右侧，距起点8厘米． （2）∵， ∴（厘米/秒）． 答：电子蚂蚁的速度（厘米/秒）． 【变式2】一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：．问：守门员最后是否回到了球门线的位置？ 【答案】守门员最后回到了球门线的位置 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，把守门员折返跑的记录相加，若结果为0，则守门员回到球门线位置，若不为0，则没有回到球门线位置，据此列式求解即可． 【详解】解： ， 答：守门员最后回到了球门线的位置． 【变式3】“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ (2)上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 【答案】(1)沈师傅距离第一批乘客出发地的东面，距离千米 (2)千米小时 【分析】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用，绝对值，熟练掌握正负数的意义是解题的关键； （1）根据题意，列式计算即可求解； （2）计算沈师傅每段行驶路程的绝对值之和，进而求解速度即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可得：（千米）； 答：将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面，距离千米； （2）解：由题意得：（千米）， 上午沈师傅开车的时间为小时分钟， ， 故沈师傅开车的时间为小时， （千米小时）； 上午沈师傅开车的平均速度是千米小时； 题型05有理数的减法运算 【典例5】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8； (2)0； (3)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算； （2）根据有理数的减法运算法则计算； （3）根据有理数的减法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)67 (2) 【分析】本题考查了有理数的减法运算． （1）先去掉括号，根据有理数的加减运算法则从左到右进行计算； （2）先算中括号里面的减法，再算括号外面的减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用减法法则变形，计算即可得到结果； （2）利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） 题型06省略加法和括号的形式 【典例6】把式子改写成省略括号的和的形式 ． 【答案】21减6减15加7或正21、负6、负15、正7的和 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式即可． 【详解】解：， 所以把式子改写成省略括号的和的形式为21减6减15加7或正21、负6、负15、正7的和． 故答案为：21减6减15加7或正21、负6、负15、正7的和． 【变式1】将算式“”写成省略加号的形式为 ． 【答案】 【分析】根据有理数的加法和减法的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 【点睛】本题考查有理数的加减运算．熟练掌握加减的符号法则，正确的去括号，是解题的关键． 【变式2】把写成省略加号的形式是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】观察所给的式子，要写成省略加号的形式，即是将式子中的括号去掉即可． 【详解】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号的法则：括号前是正号，去括号时，括号里面的各项都不改变符号；括号前是负号，去括号时，括号里面的各项都要改变符号是解题的关键． 【变式3】把写成省略加号和括号的和的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加减法法则解答即可． 【详解】解：． 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数加减运算法则，掌握去括号和添括号法则成为解答本题的关键． 题型07有理数减法的实际应用 【典例7】我县某天的最高气温是，最低气温是，则这天的日温差是（　　） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，根据题意，日温差等于最高气温减去最低气温，利用有理数减法法则进行计算即可； 【详解】解：； 因此，这天的日温差是6℃， 故选：B 【变式1】湖南省某中学地理兴趣小组开展气温观测活动发现1月某日受强冷空气影响，白昼阳光充足时最高气温达，而夜间辐射降温显著，最低气温降至．该日娄底最高气温比最低气温高（      ） A．1℃ B．5 ℃ C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，直接用最高气温减去最低气温即可得到答案． 【详解】解：， ∴这天的最高气温比最低气温高， 故选：D． 【变式2】年月日，搭载着我国首颗探月卫星“嫦娥一号”的“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心三号塔架发射成功，技术人员对“嫦娥一号”进行了月球环境适应性设计，这是因为月球表面的昼夜温差可达，白天阳光垂直照射的地方可达，那么夜晚的温度降至（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，解题关键是列出算式求解． 先根据题意列出算式，再计算． 【详解】解：因为月球表面的昼夜温差可达，白天阳光垂直照射的地方可达， 那么夜晚的温度降至（） 故选：D． 【变式3】在一次数学测验中，把高出平均分的部分记为正数，小明考了98分记作分，若小强成绩记作分，则他的考试分数为（    ） A．90分 B．88分 C．84分 D．82分 【答案】D 【分析】本题考查了正数与负数，弄清题意是解题的关键．把高出平均分的成绩记为正数，小郑考了98分，记作分，由此求出平均成绩，再根据低于平均分的成绩记为负数，结合已知条件即可得出小强的考试分数． 【详解】解：由题意得，平均成绩为（分， 小强成绩记作分， 他的考试分数为（分， 故选：D． 题型08有理数的加减混合运算 【典例8】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、加法运算律等知识点，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先进行绝对值运算，再运用有理数加减法运算法则求解即可； （4）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2)2 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握去括号法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据去括号，有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）去括号，根据加法交换律，结合律，有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．有理数的加减法和运算律的应用，注意简便运算． （1）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 题型09有理数加减中的简便运算 【典例9】计算：． 【答案】10 【分析】本题考查了有理数加减运算的简便计算，利用交换律和结合律是解题的关键． 利用交换律和结合律进行有理数的加减法计算． 【详解】解：原式 ． 【变式1】简便计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算法则，掌握有理数的运算律，简便计算是解题的关键．根据有理数的运算律，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 【变式2】计算． 【答案】1011 【分析】首先根据规律可得是这一组数中的第个数，把这一组数两两分组可得组，每组数的和都是，所以可得原式，经过计算即可求出结果． 【详解】解：设是第个数， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 解得：， 每两个数分为一组，共有组， ． 【变式3】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律及简便运算等知识，掌握运算法则是解题的关键；常见的加减法简便方法有：相加得整数的先相加，正数与负数分别相加，同分母或易于通分的先相加等； （1）第一、四项相加，第二、三项相加，最后再相加即可； （2）正数与负数分别相加，即可求解； （3）同分母的分数分别相加即可求解； （4）两个小数、两个分数分别相加即可，最后再相加； （5）互为相反数的两个数、同分母两个数及两个小数分别结合相加，最后再相加即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． 题型10有理数加减混合运算的应用 【典例10】下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【答案】(1)五；39 (2)见解析 (3)米，下降了，下降了0.8米 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）找到表格中数据的最大数据，进行判断和求解即可； （2）根据题意，列出算式，填表即可； （3）利用周一的实际水位减去变化量求出上一星期日的水位，求出图（2）表格中数据的和，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，该水库这星期水位最高的一天是星期五，这一天的实际水位是米 （2），，， 填表如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （3）上一星期日的水位为（米）． （米）， 所以与上一星期日相比，这一星期日该水库水位是下降了，下降了0.8米． 【变式1】正值中秋佳节，小梦和妈妈一块去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计8枚．小梦将8枚月饼的质量称重后统计表如下（单位：克）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 56 55 54.8 56.2 55.3 55.3 54.7 54.3 (1)小梦为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，小梦把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）．请根据表格计算这个标准质量_______克，下面表格中第3枚月饼的质量是________克； 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 ________ ________ ________ ________ ________ (2)当小梦看到说明书上标记的总质量为克时，小梦妈妈买的月饼在总质量上是否合格？请你通过计算说明为什么． 【答案】(1)55； (2)合格，理由见详解 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的加减混合运算，正确理解本题中正数和负数的意义是解答本题的关键． （1）根据题意可知，标准质量为55克，据此可得结果； （2）求出8次记录的数的和，判断其是否在至之间即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得标准质量为55克，； 故答案为：55；； （2）解：由题意得：， ，即， 这盒月饼在总质量上是合格的． 【变式2】某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量是______；本周产量最少的一天生产工艺品的数量是______； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； 【答案】(1)305个；290个 (2)26个 (3)2110个 【分析】本题主要考查正负数的应用，掌握相反数与实际问题结合的运用，有理数的加减法等知识是解题的关键． （1）根据正负数与实际运用的意义即可求解； （2）分别找出产量最多的一天，产量最少的一天，由此即可求解； （3）计算出本周的实际产量，由此即可求解． 【详解】（1）解：平均每天生产300个，超产记为正，减产记为负， ∴该厂星期一生产工艺品的数量为（个）， 本周产量最少的一天生产工艺品的数量是（个） 故答案为：305个；290个； （2）解：根据题意可得，周五的产量最少，比计划产量少10（个），周六的产量最多，比计划产量多16（个）， （个） ∴产量中最多的一天比最少的一天多26个； （3）解：∵（个）， ∴超额完成任务，比计划多生产10个，即本周总的生产了个． 【变式3】老师倡导同学们要多帮助家长做家务，养成热爱劳动的好习惯，下面是小军对于自己的寒假假期的计划，他计划每天做家务一个小时，但放假期间，由于每天的不定因素，小军实际每天做家务的时间和计划有所出入，下面是放假后第一周小军做家务的时间（增加记为，减少记为） 星期 一 二 三 四 五 六 日（天） 增减/分钟 问： (1)做家务时间最长的一天比最短的一天多多少分钟? (2)实际情况较计划时间是较长还是较短，长（/短）了多少分钟? (3)根据记录的数据，小军这周做家务总时长是多少小时? 【答案】(1)14分钟 (2)长了6分钟 (3) 【分析】本题主要考查了正、负数、有理数的加、减法在实际生活中的应用，利用有理数的加法和减法法则计算是解答本题的关键． （1）根据表格找出家务时间最多的一天和最少的一天，再利用有理数的减法求解即可； （2）根据表格中数据列出算式求出结果，再进行判断即可； （2）根据正、负数的意义，运用有理数的加法即可求出该周做家务总时长． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：做家务时间最长的一天比最短的一天多14分钟； （2）解：（分钟）， 答：实际情况较计划时间，长了6分钟． （3）解：（小时）， 答：小军这周做家务总时长是小时． 【变式4】人工智能（）和民用无人机的迅速发展，大大提高了人们的生产效率．我区某草莓采摘园引进新设备改进工作流程，利用无人机监控草莓生长情况．无人机以监控中心为原点，在东西方向往返巡查，若规定向东为正方向，记录该无人机的10次巡查飞行数据如下（单位：米）： ． 根据以上信息回答问题： (1)无人机在这10次巡查中一共飞行了多少米？ (2)已知无人机飞行一段时间以后需要回到监控中心更换电池，在第10次飞行结束以后，无人机是否回到监控中心？如果不是，该无人机还需要向哪个方向飞行多少米才能回到监控中心？ 【答案】(1)1700米 (2)没有回到监控中心，需要向西飞行200米回到监控中心 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）要求无人机一共飞行的距离，只需要将每次飞行的距离的绝对值相加即可； （2）将所有飞行数据相加，若结果为0，则回到监控中心，若结果为正，则在东方，若结果为负，则在西方，其绝对值就是距离监控中心的距离． 【详解】（1）解：由题意得（米）， 答：无人机在这10次巡查中一共飞行了1700米； （2）解：（米）， 答：无人机在监控中心东边200米处，没有回到监控中心，需要向西飞行200米回到监控中心． 一、单选题 1．计算（   ） A． B． C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算．根据异号两数相加的法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，进行计算即可． 【详解】解：； 故选 ：D． 2．如图，将数轴上表示的点向右平移3个单位，得到点，则点表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，利用了数轴上的点右移加，左移减．根据数轴上的点平移特点，即可求解． 【详解】解：将数轴上表示的点向右平移3个单位，则， ∴点表示的数是1， 故选：A． 3．某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减法的实际应用．求出的值，确定筷子中合格的长度，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴零件的尺寸标准在之间， 故四双筷子中合格的长度是． 故选：B． 4．若且，则的值是（    ） A．2 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的减法运算，根据绝对值的意义，结合，求出的值，再根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∴或； 故选D． 5．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的加减法，先化简绝对值，然后根据有理数的加减法则计算，最后逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算正确，但不符合题意； B．，故原计算正确，但不符合题意； C．，故原计算正确，但不符合题意； D．，故原计算错误，符合题意； 故选：D． 6．火星赤道夏季白天最高温度可达，晚上最低温度可达，则火星赤道最高气温和最低气温相差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法运算，解题的关键是掌握有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 求最高气温和最低气温的差值，用最高气温减去最低气温，再根据有理数减法法则计算． 【详解】已知火星赤道夏季白天最高温度是，晚上最低温度是，则温差为． 根据有理数减法法则，． 故选：D． 7．如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再依据三个密码按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘即可解锁．已知顺时针方向转动个小格记为“”，逆时针方向转动个小格记为“”．若密码为“，，”，则顺利开锁时，标记线对准的刻度线表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法运算的应用，根据题意列出算式，然后再进行计算即可． 【详解】解：， ∴顺利开锁时，标记线标记线按逆时针转了5个格， ∴标记线对准的刻度线表示的数是35 故选：D． 8．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，有理数的加法，数形结合是解答本题的关键． 直接观察数轴可得，，再根据有理数的加法运算法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A．观察数轴得：，故该选项原说法错误，不符合题意； B．观察数轴得：，，所以， ，故该选项原说法错误，不符合题意； C．观察数轴得：，，所以，，故该选项原说法正确，符合题意； D．观察数轴得：，，因此，所以，故该选项原说法错误，不符合题意； 故选：C． 9．已知：，且，则的值为（　　） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减法，根据绝对值的定义求出x，y的值，根据，分两种情况分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 当时，； 故选：D． 10．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的是的计算过程（白色为正，灰色为负），则图2表示的计算过程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数的加法运算，理解图中的含义是解题的关键．根据图中的含义写出算式即可． 【详解】解：根据题意，图2表示的计算过程是：， 故选：A． 11．如果，且，那么p，q，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，绝对值的含义，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则．根据题目条件分析出，，且，再进一步即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，，且， ∴，， ∴． 故选：D． 二、填空题 12．若a与b互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握互为相反数的两个数相加得0是解题的关键． 根据互为相反数的两个数相加得0计算即可． 【详解】解：若有理数a与b互为相反数，则， 故答案为：0． 13．若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的运算法则.直接根据题意计算即可. 【详解】∵公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，乘客变化为：，， ∴这时车上乘客人数为（人） 故答案为：12 14．在虚拟环境中，输入“”可以让虚拟机器人向右走2格，输入“”可以让虚拟机器人向左走2格，如图，虚拟机器人在起点O处，若先输入“”，再输入“”，则虚拟机器人会走到数字 的位置上． 【答案】 【分析】先确定每次输入指令后机器人的移动方向和格数，通过有理数的加法计算最终位置．本题主要考查有理数的加法在实际情境中的应用，理解正负数表示的移动方向，熟练进行有理数加法运算是解题的关键． 【详解】解：输入“”，机器人从原点O向右走格，此时位置是． 再输入“”，机器人从的位置向左走格，位置变为 ． 故答案为：． 15．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 ． 4 红 色 基 因 7 8 1 6 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出算式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴色， ∴红， 故答案为：9． 16．把算式写成省略括号和加号的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，根据加减运算中的符号法则，进行化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 17．已知，数轴上点表示的数是，存在一点使得点到点的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减法计算，点C在点A左边时用点A表示的数减去点A和点C的距离，点C在点A右边时用点A表示的数加上点A和点C的距离，据此可得答案． 【详解】解：当点C在点A左边时，则点C表示的数为， 当点C在点A左边时，则点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或， 故答案为：或． 三、解答题 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先去括号，再计算减法即可； （2）先去括号，再根据交换律分别计算，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 19．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)25米； (3)4次，理由见解析． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有； （2）求出每次离球门的距离即可得到答案； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）．                                ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）解：对方球员有4次挑射破门的机会，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$