精品解析：上海市桃浦中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

桃浦中学高一期末数学试卷 一．填空题 1. ______． 【答案】i 【解析】 【分析】利用复数单位的整数次幂运算法则计算得解. 【详解】. 故答案为： 2. 设，向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行向量的坐标运算即可得出答案. 【详解】因为向量，，若， 所以，解得：. 故答案为： 3. 已知当，则______； 【答案】 【解析】 【分析】直接根据复数乘法运算以及复数模的定义即可得到答案. 【详解】，. 故答案为：. 4. 设函数，其中，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数公式计算即可得答案. 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 5. 已知a是实数，并且是实数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数除法计算，再利用复数类型列式求解. 【详解】依题意，， 由是实数，得，所以. 故答案为： 6. 已知函数，.当时，则的最大值为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】应用正弦型函数的性质求区间最大值即可. 【详解】由，则，故， 所以的最大值为2. 故答案为：2 7. 已知复数是关于的实系数方程的一个根，则__________． 【答案】26 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理可得方程的另一个根，再由根与系数的关系求解. 【详解】由题意，是方程的一个根，则是其另一个根， 所以. 故答案为：26. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 9. 已知，，与的夹角为，则在上的数量投影为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的定义及运算律，求出数量投影. 【详解】由，，与的夹角为，得， 则， 所以在上的数量投影为. 故答案为： 10. 在锐角中，分别为三内角的对边，若，则b的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再根据锐角三角形求角B的取值范围，即可得结果. 【详解】由正弦定理可得， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 所以b的取值范围是. 故答案为：. 11. 若等边边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出，再利用数量积的运算律求解即得. 【详解】由AB上一点M满足：，得，而， 则，当且仅当，即时取等号， 因此当取得最小值时，，，而， 由等边的边长为3，得， 所以 . 故答案为： 12. 已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当,，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】一个对称中心是， ，，即，， ，当时，，即， 将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像， 即， 由，得， 设，则不等式等价为当时，， 即若对任意,，为增函数． ， 当,时，,，所以,， 因为对任意,，为增函数， 所以，所以，所以， 即的最大值为． 故答案为：． 二．选择题 13. “复数是实数”的充分不必要条件为（ ） A. B. C. 实数 D. 是实数 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的概念和性质逐一判断． 【详解】对A：由可知必为实数，但由为实数不一定得出，如，此时， 故“”是“为实数”的充分不必要条件； 对B：是“为实数”的充要条件； 对C：是实数不能推出复数是实数，如，此时是实数，但复数不是实数； 对D：是实数不能推出复数是实数，如，此时是实数，但复数不是实数； 故选：A． 【点睛】本题考查复数的概念和性质，充分利用反例来解决判断题，是基础题． 14. 在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据满足条件的有两个，可得出，求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为，，，且满足条件的有两个， 则，即，解得 故选：B. 15. 平面向量，，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出与的夹角为，利用向量垂直得到方程，得到，求出夹角. 【详解】设与的夹角为， 则，即， 解得， 因为，所以. 故选：D 16. 若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角. 【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， ，，， ，，三者直接各自的夹角都为锐角， ，，， ，，即在上的投影为1，在上的投影为3， ，，如图 ， 即，且 则， 由基本不等式得， ， 与的夹角为锐角， ， 由余弦函数可得：与夹角的取值范围是， 故选：C. 三．解答题 17. 已知曲线． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1） （2）极大值2，极小值 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数求出函数的单调性，进而求出极值. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程：，即. 【小问2详解】 函数的定义域为R，， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值. 18. 已知关于x的实系数一元二次方程. （1）若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； （2）记方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】（1）－2 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用，结合韦达定理可求解. （2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解. 【小问1详解】 解：因为，所以，因为，所以， 所以，由韦达定理可得，所以； 【小问2详解】 解：若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或 19. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，的角平分线交BC于M，求线段AM的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简，再解析方程即得. （2）根据，结合面积公式列式求解. 【小问1详解】 由，得， 又在中，， 则，整理得， 而，，解得，所以． 【小问2详解】 在中，由是的角平分线，得， 由，得， 即，所以. 20. 如图，三地在以O为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，， 是圆形区域外一景点，，. （1）求向量在方向上的数量投影和投影向量； （2）、相距多少公里？（精确到小数点后两位） （3）若一汽车从处出发，以每小时公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 【答案】（1）数量投影为，投影向量为. （2）15.28公里 （3）1.25 小时 【解析】 【分析】（1）由数量投影和投影向量公式直接计算； （2）在中，由余弦定理计算BC，再由正弦定理计算三角形外接圆半径； （3）由正余弦定理计算，再计算行驶时间． 【小问1详解】 向量在方向上的数量投影为， 向量在方向上的投影向量. 【小问2详解】 在中，由余弦定理， ， ∴， ∴（公里）， 所以、相距约15.28公里． 【小问3详解】 中， ， 中，由正弦定理， ， 即 ∴， ∴ ， ∴ 在中，由余弦定理， ， ∴（公里），∴所需时间为小时 所以从行驶到约需要1.25 小时 21. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【小问1详解】 设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． 【小问2详解】 ， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． 【小问3详解】 ，设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 桃浦中学高一期末数学试卷 一．填空题 1. ______． 2. 设，向量，，若，则______． 3. 已知当，则______； 4. 设函数，其中，则_________． 5. 已知a是实数，并且是实数，则______． 6. 已知函数，.当时，则的最大值为_____. 7. 已知复数是关于的实系数方程的一个根，则__________． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 9. 已知，，与夹角为，则在上的数量投影为______． 10. 在锐角中，分别为三内角对边，若，则b的取值范围是______. 11. 若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时，______． 12. 已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为____________. 二．选择题 13. “复数是实数”的充分不必要条件为（ ） A. B. C. 是实数 D. 是实数 14. 在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　） A. B. C. D. 15. 平面向量，，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 16. 若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三．解答题 17. 已知曲线． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的极值． 18. 已知关于x的实系数一元二次方程. （1）若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； （2）记方程的两根为和，若，求m的值. 19. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求角A大小； （2）若，，角平分线交BC于M，求线段AM的长． 20. 如图，三地在以O为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，， 是圆形区域外一景点，，. （1）求向量在方向上数量投影和投影向量； （2）、相距多少公里？（精确到小数点后两位） （3）若一汽车从处出发，以每小时公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 21. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$