第1章 三角形（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册优选题练习卷（新教材）

2025-2026学年苏科版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第1章 三角形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【规范解答】解：过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（本题2分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，，交于点．则下列说法中，不一定正确的是（    ）    A． B．若，则 C．的面积的面积 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形全等的性质和判定，角平分线的定义，三角形的中线，等角对等边．A、根据三角形内角和定理可得，然后根据、分别平分、，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；B、延长至G，使，连接，根据证明，则可得，，然后根据等角对等边可得，再根据等腰三角形三线合一即可进行判断；C、当是的中线时，的面积的面积，进而可以进行判断；D、如图，作的平分线交于点G，易得，，通过证明，，得出，，即可解答；熟练掌握相关知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：A、中，， ， ∵、分别平分、， ， ． 故A选项正确，不符合题意； B、如图，延长至G，使，连接，    又，， ， ， 又， ， ， 又， ， ， 故B选项正确，不符合题意： C、当是的中线时，的面积的面积，题干所给条件无法证明， 故C选项不一定正确，符合题意； D、如图，作的平分线交于点G，由A选项得，   ，， ， ，， ，， ，， ， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C 3．（本题2分）（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（    ） A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知，①正确；由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，⑤正确；同理得：，即可得出②正确；根据，，可知，可知④错误；利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知③正确． 【规范解答】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，①正确； ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，⑤正确； 同理得：， ∴，②正确； ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； 综上，正确的有①②③⑤； 故选：A． 4．（本题2分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，，由线段的数量关系可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作于， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 5．（本题2分）（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【规范解答】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 6．（本题2分）（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，，点在射线ON上，点在射线OM上，、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的判定定理得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【规范解答】解：如图，    ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， 同理可得：， ∴， 同理：， ， ， …， 以此类推：， 故选：B． 7．（本题2分）（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【思路引导】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 8．（本题2分）（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，三条角平分线交于点O，交于点H，两个外角角平分线交于点M，延长线交反向延长线于点N．则下列结论中：①平分；②当时，；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数有（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【思路引导】假设是的平分线，用反证法即可证明①不正确；当时，在上截取，连接，证明，可得，即得，从而证明，有，可得，判断②正确；由，，进而可判断③正确；由平分∠ABC，平分，可得，故；同理，即得，即，得，判断④正确；因O到，的距离都等于，故，判断⑤正确；过O作于K，于T，由，而，，，可得，判断⑥正确． 【规范解答】解：若是的平分线， 则， ∵是的平分线， ∴. ∵，， ∴, ∵分别是的角平分线， ∴, ∴，这与与不一定相等矛盾， ∴不一定是的平分线，故①不正确； 当时，在上截取，连接，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，    ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 如图：    ∵于H， ∴， ∴， ∵， ∴ ，故③正确； ∵平分，平分， ∴， ∴； 同理可得， ∴， ∴， 而， ∴， ∴，故④正确； ∵三条角平分线交于点O，， ∴O到的距离都等于， ∴ ，故⑤正确； 过O作于K，于T，如图：    ∵， ∴， ∴， 由角的对称性可知，， ∴， ∴，故⑥正确； ∴正确的有：②③④⑤⑥，共5个； 故选：C． 【考点剖析】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的性质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题． 9．（本题2分）（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，以的边向两侧做等边与等边，连接交于点M，连接，①；②；③平分；④；则以上结论正确的有（）个．      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】由三角形与三角形都为等边三角形，得到，利用全等三角形，①正确；利用全等三角形的对应角相等得到，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出②正确；作于于，根据全等三角形对应高线相等得出，证出平分，得出③正确；在上截取，在上截取，得出为等边三角形，证明，即可证出，即可得出④正确． 【规范解答】∵和都为等边三角形， 在和中，， ∴ ，故①正确； ∴， ∴，故②正确； 作于于，如图所示：    ∵ ∴， ∴平分，故③正确； ， ∴， 在上截取，在上截取， 为等边三角形， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴ ∴，故④正确； 故选：D． 【考点剖析】此题考查了等边三角形的性质“等边三角形三个角都是，三个边都相等”，全等三角形的判定与性质，全等三角形常见判定方法“”，角平分线的判定，三角形内角和的定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键． 10．（本题2分）（19-20八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形中，，为上一动点，连接交于，过作于，过作于．则以下结论：①；②；③；④的周长为．其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH； ②由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°； 作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据△AOF≌△FGH，③可证OA=GF，故可证BD=2FG； ④作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则IL=HC，可证AL=HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CE=IM，故△CEH的周长为边AM的长． 【规范解答】解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1， ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB=∠CDF=45°． ∵AD=CD，DF=DF， ∴△ADF≌△CDF（SAS）． ∴FC=AF，∠ECF=∠DAF． ∵∠ALH+∠LAF=90°， ∴∠LHC+∠DAF=90°． ∵∠ECF=∠DAF， ∴∠FHC=∠FCH， ∴FH=FC． ∴FH=AF． ②∵FH⊥AE，FH=AF， ∴∠HAE=45°． ③连接AC交BD于点O，如图2，可知：BD=2OA， ∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH， ∴∠AFO=∠GHF． ∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°， ∴△AOF≌△FGH（ASA）． ∴OA=GF． ∵BD=2OA， ∴BD=2FG． ④连接EM，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，如图3，则：LI=HC， ∵HL⊥AE，CI∥HL， ∴AE⊥CI， ∴∠DIC+∠EAD=90°， ∵∠EAD+∠AED=90°， ∴∠DIC=∠AED， ∵ED⊥AM，AD=DM， ∴EA=EM， ∴∠AED=∠MED， ∴∠DIC=∠DEM， ∴∠CIM=∠CEM， ∵CM=MC，∠ECM=∠CMI=45°， ∴△MEC≌△CIM（AAS），可得：CE=IM， 同理，可得：AL=HE， ∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8． ∴△CEH的周长为8． 故①②③④结论都正确． 故选：D． 【考点剖析】此题考查正方形的性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 【答案】 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作的平行线，交的延长线于点，证得后即可证得，然后利用等边三角形的性质可得，即可求得的长，解题的关键是正确的作出辅助线． 【规范解答】解：过点作的平行线，交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、都是等边三角形， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（本题2分）（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 【答案】64 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 【规范解答】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进一步求解即可． 【规范解答】解： 为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 14．（本题2分）（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 【答案】16 【思路引导】此题重点考查等腰三角形的性质三线合一、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点F，根据题意证明，得，即可求得答案． 【规范解答】解：作交的延长线于点F， 是的角平分线， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：16． 15．（本题2分）（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到，再根据图形面积之间的关系可得，设点P到线段和线段的距离分别为，连接，根据三角形面积计算公式可得，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大25， ∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点到线段和线段的距离之和为， 故答案为：． 16．（本题2分）（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序 ． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，①利用三角形的中线，可知和是等底同高的两个三角形，即可判断；②根据同角的余角相等证明即可判断根据等角的补角相等先证明，再利用外角的性质即可判断；③；④根据和的关系，即可判断． 【规范解答】解：∵是边的中线， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 所以，上面说法中正确的①②③， 故答案为：①②③． 17．（本题2分）（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵ ， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（本题2分）（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【思路引导】证明即可判断①，证明即可判断②；过作于点，根据角平分线的性质得，结合，可得，又可得，即可判断③，证明、，可判断④． 【规范解答】解：①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和△FBD中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③如图所示，过作于点， ∵是边的中点，， ∴，即， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ④∵， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 即、都为等腰三角形，故④正确， ∴正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【考点剖析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定性质，等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识点的综合运用，第三个问题难度比较大，添加辅助线是解题的关键． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了余角的性质，直角三角形两锐角互余：根据，可得，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等即可求证． 【规范解答】证明：， ， ， ， ， ． 20．（本题6分）（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图—作垂线及等腰三角形的判定， （1）过点B作的垂线即可； （2）先证明，进而证明，即可证明结论； 【规范解答】（1）解：下图即为所求作． （2）解：为等腰三角形． 理由：在中，， ∴． ∵分别为边上的高线， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． 21．（本题8分）（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点在上，且，连接，的平分线交于点，点在上，连接，且． 【问题提出】 （1）如图1，与全等吗？为什么？ 【问题探究】 （2）如图2，连接交于点，请判断与是否相互垂直，并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得到，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）先根据全等三角形的性质得到，再证明得到，进而得到即可求解． 【规范解答】解：（1），理由如下： 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 在利中， ， 所以． （2），理由如下： 因为， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 22．（本题8分）（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，结合已知和即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 23．（本题8分）（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，．点为上的一点，连接，且为边上一动点（不与点重合），以点为直角顶点、以射线为一边作，另一条直角边与边交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若的面积为10，四边形的面积是否会随着点的位置不同而发生变化？若不会发生变化，请直接写出四边形的面积；若会发生变化，请说明理由． 【答案】(1)等腰直角三角形，证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，三角形中线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． （1）根据等腰直角三角形性质和判定，证明，结合全等三角形的性质可得结论， （2）求解，再结合，即可解题． 【规范解答】（1）解：在中，， ． ， ， ，，， ∵， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形； （2）解：点 D 为 的中点， ∴， 由（1）得：∵， ， 四边形的面积. 24．（本题8分）（24-25七年级下·四川成都·期中）【尝试初探】在继续研究直角三角形时，发现在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：已知在中，，，求证：． 以下是两位同学不同的证明思路： 小明采用“截长法”（如图1）在上截取，连接… 小丽采用“补短法”（如图2）延长到点D，使得，连接… （1）请你任选其中一位同学的方法完成证明； 【深入探究】 （2）如图3，在平行四边形中，，，，，点P从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作于E，作交直线于点F，交直线于点Q，点P运动时间为t（秒）．求t为何值时，与全等，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）或，理由见解析 【思路引导】（1）小明方法，在上截取，连接，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，得到，求得；小丽方法，延长到D使，连接，则，则，得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，推出是等边三角形，得到，求得． （2）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在的延长线上时，分别求解即可． 【规范解答】（1）证明：小明方法， 在上截取，连接，如图1， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，； 小丽方法， 如图2，延长到D使，连接，则， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：当点Q在线段上时，如图3 ∵，， ∴， ∵与全等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点Q在的延长线上时，如图， ∵与全等， ∴， 同理得，， ∴， 综上：或4时，与全等． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，综合运用这些知识是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 25．（本题10分）（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【规范解答】解：（1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 26．（本题10分）（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作的垂线段，分别交于点，证明即可解答； （2）过点作的垂线段，交的延长线于点，可得，证明，可得，即可解答； （3）过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，同（2）中原理可得平分，可得即可解答。 【规范解答】（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点， ，是的角平分线， ， 点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）； （2），理由如下： 如图，过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点， 根据（2）中原理可得， 是的平分线， ， ， 平分，，， ． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年苏科版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第1章 三角形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 2．（本题2分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，，交于点．则下列说法中，不一定正确的是（    ）    A． B．若，则 C．的面积的面积 D． 3．（本题2分）（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（    ） A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 4．（本题2分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，，点在射线ON上，点在射线OM上，、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推．若，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题2分）（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 8．（本题2分）（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，三条角平分线交于点O，交于点H，两个外角角平分线交于点M，延长线交反向延长线于点N．则下列结论中：①平分；②当时，；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数有（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．（本题2分）（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，以的边向两侧做等边与等边，连接交于点M，连接，①；②；③平分；④；则以上结论正确的有（）个．      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（本题2分）（19-20八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形中，，为上一动点，连接交于，过作于，过作于．则以下结论：①；②；③；④的周长为．其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 12．（本题2分）（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 13．（本题2分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 14．（本题2分）（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 15．（本题2分）（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 16．（本题2分）（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序 ． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④． 17．（本题2分）（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ． 18．（本题2分）（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：． 20．（本题6分）（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 21．（本题8分）（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点在上，且，连接，的平分线交于点，点在上，连接，且． 【问题提出】 （1）如图1，与全等吗？为什么？ 【问题探究】 （2）如图2，连接交于点，请判断与是否相互垂直，并说明理由． 22．（本题8分）（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 23．（本题8分）（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，．点为上的一点，连接，且为边上一动点（不与点重合），以点为直角顶点、以射线为一边作，另一条直角边与边交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若的面积为10，四边形的面积是否会随着点的位置不同而发生变化？若不会发生变化，请直接写出四边形的面积；若会发生变化，请说明理由． 24．（本题8分）（24-25七年级下·四川成都·期中）【尝试初探】在继续研究直角三角形时，发现在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：已知在中，，，求证：． 以下是两位同学不同的证明思路： 小明采用“截长法”（如图1）在上截取，连接… 小丽采用“补短法”（如图2）延长到点D，使得，连接… （1）请你任选其中一位同学的方法完成证明； 【深入探究】 （2） 如图3，在平行四边形中，，，，，点P从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作于E，作交直线于点F，交直线于点Q，点P运动时间为t（秒）．求t为何值时，与全等，并说明理由． 25．（本题10分）（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 26．（本题10分）（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$