第1章 三角形（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册优选题练习卷（新教材）

2025-2026学年苏科版数学八年级上册章节复习检测中等卷（新教材） 第1章 三角形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，，．如果的面积．那么的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．作于M，于N，证明得到，根据三角形的面积公式可求得得． 【规范解答】解：作于M，于N，如图， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A． 2．（本题2分）（24-25六年级下·山东济宁·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意求出，继而得到，推出，即可得到答案． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（本题2分）（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【思路引导】本题考查了角平分线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，根据已知条件得到，利用全等三角形的判定即可． 【规范解答】令和的交点为． 都是的角平分线 是和的公共角 故选：B． 4．（本题2分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知和均为等边三角形，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查三角形全等的判定方法，等边三角形的性质，因为和均为等边三角形，由等边三角形的性质得到，，，再利用角与角之间的关系求得，则，故可求． 【规范解答】解：∵ 和均为等边三角形， ∴ ，，， ∵ ，， ∴ 在和中 ∴ ∴ 故选：B． 5．（本题2分）（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【规范解答】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或1.5， 故选：C． 6．（本题2分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知中．，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【规范解答】解：中．，， ∴， 故选：D． 7．（本题2分）（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【规范解答】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【考点剖析】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示． 8．（本题2分）（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，和都是等边三角形且点，，在一条直线上，，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则①；②；③；④平分．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【思路引导】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 根据全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，结合角平分线依次判断即可． 【规范解答】解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； ． 又， ，故②正确； ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，故③正确； 过点分别作，于点，两点， 如图所示： ，， ， 在和中， ， ， ， 又在的内部， 平分， 故④错误； 故选：C． 9．（本题2分）（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出． 【规范解答】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：． 10．（本题2分）（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先证明是等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，证明，同理可证，同理可证，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【规范解答】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则 ， 故③正确； ④，， ，， ， ④错误； 正确结论为①②③． 故选：C． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °． 【答案】55 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知． 【规范解答】解：如图： 由的三角尺可知， ∴． 由平行线的性质可知． 故答案为：55． 12．（本题2分）（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向，若，则点C在点E的南偏西 方向． 【答案】 【思路引导】本题考查了方位角的概念，平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握平行线的性质． 先利用平行线的性质证得，再利用平行线的性质证得，从而可得，求得，再利用求得，从而可得，再求得即可． 【规范解答】解：如图， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ， ∴点C在点E的南偏西方向． 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图， 过点作于点，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【规范解答】解：过点作于点， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：。 14．（本题2分）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，中线和中线相交于点，若的面积为36，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出，得出，再由中线的性质得出即可求解． 【规范解答】解：∵、是的中线， ∴， ∵，， ∴， 连接并延长交于点K，如图所示： ∴为中线， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵的面积为36， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：12． 15．（本题2分）（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 【答案】/69度 【思路引导】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，然后由角的和差关系可得答案． 【规范解答】解：由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 16．（本题2分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 【答案】 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作的平行线，交的延长线于点，证得后即可证得，然后利用等边三角形的性质可得，即可求得的长，解题的关键是正确的作出辅助线． 【规范解答】解：过点作的平行线，交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、都是等边三角形， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（本题2分）（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图为一盏可调节台灯及其示意图，固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变，现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查了平行线的性质，延长交于，延长交于，根据平行线的性质推出，再推出，进而可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：延长交于，延长交于，如图： ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（本题2分）如图，在中，，为上一点，且为等边三角形，．点是边上的一个动点，连结，以为边在左侧作一个等边，连结．在整个运动过程中，的最小值是 ． 【答案】1 【思路引导】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，理解题意，作出辅助线，确定运动轨迹是解题关键． 连接，证明，可得，由此得出在整个运动过程中，最小时，最小，根据点到直线，垂线段最短，可知，当时，最短，进一步证明当时，、、三点共线，求出此时，，即最小值为1，由此即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接，    ∴，即， ∵、为等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴在整个运动过程中，最小时，最小， 根据点到直线，垂线段最短， 当时，最短，如图3所示，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴当时，、、三点共线， ∵， ∴， ∴，即最小值为1，故最小值为1． 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，，求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，则，再通过等角的余角相等得出． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（本题6分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【规范解答】证明： 与分别为，边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 21．（本题8分）（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）根据作一个角等于已知角的的作法画出射线，即可求解； （2）先作，连接，再作，即可求解； （3）证明，可得，即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，点D，E即为所求； （3）解：由作法得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（本题8分）（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，结合已知和即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 23．（本题8分）（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 【答案】(1)见解析 (2)图中4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的性质是解决问题的关键． （1）根据垂直定义得，根据，得，进而可依据“”判定和全等； （2）①，先由（1）的结论得，，进而可依据“”判定和全等；②，先由得，，再证明，，进而可依据“”判定和全等；③，根据，，，可依据“”判定和全等；④和，先根据垂直定义得，再根据，，可依据“”判定和全等，综上所述即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵于G，于F， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①，证明如下： 由（1）可知：， ∴，， 在和中， ， ∴， ②，证明如下： 由①可知：， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ③，证明如下： 在和中， ， ∴， ④和，证明如下： ∵于G，于F， ∴， 在和中，， ∴， 图中4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 24．（本题8分）（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【规范解答】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 25．（本题10分）（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若N是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)∠ (3)见解析 【思路引导】（1）依据题意，，，又，，可得，进而可以判断得解； （2）过点D作，交于点H，则，即．证明，得到，即可证明，从而； （3）依据题意，延长交于点T，连接，，先证，再证，得，，即可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得到答案即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：过点D作，交于点H， 则， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：延长交于点T，连接，，如图： ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴． ∵， ∴ ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质定理． 26．（本题10分）（24-25七年级下·四川成都·期中）【尝试初探】在继续研究直角三角形时，发现在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：已知在中，，，求证：． 以下是两位同学不同的证明思路： 小明采用“截长法”（如图1）在上截取，连接… 小丽采用“补短法”（如图2）延长到点D，使得，连接… （1）请你任选其中一位同学的方法完成证明； 【深入探究】 （2）如图3，在平行四边形中，，，，，点P从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作于E，作交直线于点F，交直线于点Q，点P运动时间为t（秒）．求t为何值时，与全等，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）或，理由见解析 【思路引导】（1）小明方法，在上截取，连接，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，得到，求得；小丽方法，延长到D使，连接，则，则，得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，推出是等边三角形，得到，求得． （2）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在的延长线上时，分别求解即可． 【规范解答】（1）证明：小明方法， 在上截取，连接，如图1， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，； 小丽方法， 如图2，延长到D使，连接，则， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：当点Q在线段上时，如图3 ∵，， ∴， ∵与全等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点Q在的延长线上时，如图， ∵与全等， ∴， 同理得，， ∴， 综上：或4时，与全等． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，综合运用这些知识是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年苏科版数学八年级上册章节复习检测中等卷（新教材） 第1章 三角形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，，．如果的面积．那么的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（24-25六年级下·山东济宁·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（本题2分）（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 4．（本题2分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知和均为等边三角形，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 6．（本题2分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知中．，，则（   ） A． B． C． D． 7．（本题2分）（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．（本题2分）（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，和都是等边三角形且点，，在一条直线上，，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则①；②；③；④平分．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 9．（本题2分）（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 10．（本题2分）（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °． 12．（本题2分）（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向，若，则点C在点E的南偏西 方向． 13．（本题2分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 14．（本题2分）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，中线和中线相交于点，若的面积为36，则四边形的面积为 ． 15．（本题2分）（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 16．（本题2分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 17．（本题2分）（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图为一盏可调节台灯及其示意图，固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变，现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ． 18．（本题2分）（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为上一点，且为等边三角形，．点是边上的一个动点，连结，以为边在左侧作一个等边，连结．在整个运动过程中，的最小值是 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，，求证：． 20．（本题6分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 21．（本题8分）（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 22．（本题8分）（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 23．（本题8分）（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 24．（本题8分）（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 25．（本题10分）（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若N是的中点，求证：． 26．（本题10分）（24-25七年级下·四川成都·期中）【尝试初探】在继续研究直角三角形时，发现在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：已知在中，，，求证：． 以下是两位同学不同的证明思路： 小明采用“截长法”（如图1）在上截取，连接… 小丽采用“补短法”（如图2）延长到点D，使得，连接… （1）请你任选其中一位同学的方法完成证明； 【深入探究】 （2）如图3，在平行四边形中，，，，，点P从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作于E，作交直线于点F，交直线于点Q，点P运动时间为t（秒）．求t为何值时，与全等，并说明理由． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$