第09讲线段的垂直平分线的性质（3大知识点+3大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（人教版2024）

第09讲线段的垂直平分线的性质（3大知识点+3大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 线段垂直平分线的定义及性质 典型例题二 线段垂直平分线的判定 典型例题三 作已知线段的垂直平分线 知识点一：线段垂直平分线的定义及性质 1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）的周长是 ． 知识点二： 线段垂直平分线的判定 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 【即时训练】 1．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点 、 在线段 的垂直平分线上． 知识点三：作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为 ． 【典型例题一 线段垂直平分线的定义及性质】 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 2．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本图形：作边的垂直平分线，与边交于点，与边交于点；（保留作图痕迹，不写作法与结论） (2)推理填空： 已知：在（1）所作的图形中，，，垂直平分，证明：． 证明：是边的垂直平分线， ①______°． （②______）； ③______（等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． ④______（等量代换）． （⑤______）． 1．（23-24八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（24-25八年级上·云南迪庆·期中）2024年10月23日至24日，第三届“一带一路”能源部长会议在山东举行，提出了未来5年“一带一路”能源合作伙伴成员国的七方面计划．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（   ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边高线的交点 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点的周长是，则的长为        4．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．若的周长为18，求的长． 【典型例题二 线段垂直平分线的判定】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点新增选项 2．（23-24八年级上·北京房山·期末）王宇同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半． 下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程（保留作图痕迹）． 已知一条线段AB，分别以点A、B为圆心，以线段AB的长为半径画弧，两弧交于点C（点C在线段AB上方），作的角平分线交AB与D． 由作图可知 ∴是______三角形 ∴（______） ∵CD平分 ∴CD垂直平分AB（______） ∴， 又∵ 即在中，，，则． 1．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，则点O是（    ）    A．三条边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 3．（23-24八年级上·全国·课前预习）经过线段 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 ． 4．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【典型例题三 作已知线段的垂直平分线】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（    ） A．A处             B．B处             C．C处             D．D处 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，点C在射线上，请用尺规作图法作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，是中边的垂直平分线，交于点D，交于点E，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·四川遂宁·期中）如图，在△ABC中，AB的中垂线交AB于点E，交BC于点D，若△ADC的周长为16cm，AC＝4cm，则BC的长为（   ） A．22cm B．12cm C．10cm D．7cm 3．（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 4.（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A．平分 B． C． D． 2．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（    ） A．36 B．18 C．32 D．不能确定 3．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 4．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，若的周长为17，且边的垂直平分线分别交于，则对的周长描述正确的是（    ） A．周长为17 B．周长为11 C．周长为11或17 D．周长不可求 5．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 7．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图是的折纸示意图，则折痕是的（    ） A．中垂线 B．中线 C．角平分线 D．高线 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．17 B．19 C．20 D．21 10．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（   ） A．14 B．15 C．17 D．23 11．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．若的周长为，则的周长为 ． 12．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，．若，则 ． 13．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为 ． 14．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图中，，，是的中点，交于点，连接，，的周长是，那么的长是 ． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，的周长是 ．    16．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）操作题：如图，图1是8×8的方格纸、图2是6×9的方格纸，其中每个小正方形的边长为1cm，每个小正方形的顶点称为格点． （1）请在图1的方格纸中，利用网格线和三角尺画图，在上找一点，使得到、的距离相等； （2）在图2的四边形内找一点，使，． 17．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 18．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 19．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知一块草地，现要在边上修建一处凉亭，使凉亭到点的距离和凉亭到点的距离相等．请你利用尺规作图法在边上找出凉亭P所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（24-25七年级下·上海宝山·期中）尺规作图：在图中画出边上的中线、及的平分线 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲线段的垂直平分线的性质（3大知识点+3大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 线段垂直平分线的定义及性质 典型例题二 线段垂直平分线的判定 典型例题三 作已知线段的垂直平分线 知识点一：线段垂直平分线的定义及性质 1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到，得到，即，求出，即可得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长等于， ， ，即， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：18． 知识点二： 线段垂直平分线的判定 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 【即时训练】 1．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理． 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点 、 在线段 的垂直平分线上． 【答案】 M N 【分析】根据到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可得点M、N都在AB的垂直平分线上． 【详解】解：∵ ∴点M在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点N在线段的垂直平分线上，即点M、N在线段的垂直平分线上． 故填M、N、AB． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线定理，掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解答本题的关键． 知识点三：作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段的垂直平分线．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：当点D在线段的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段垂直平分线的是C中的图形． 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，根据作图可知垂直平分，垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，最后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：根据作图可知：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为：， 故答案为：9． 【典型例题一 线段垂直平分线的定义及性质】 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本图形：作边的垂直平分线，与边交于点，与边交于点；（保留作图痕迹，不写作法与结论） (2)推理填空： 已知：在（1）所作的图形中，，，垂直平分，证明：． 证明：是边的垂直平分线， ①______°． （②______）； ③______（等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． ④______（等量代换）． （⑤______）． 【答案】(1)见解析 (2)①90；②三角形的内角和等于；③；④；⑤同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了基本作图，熟练掌握5种基本作图是此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，求得的度数，再利用平行线的判定定理证明． 【详解】（1）如图： （2）证明：是边的垂直平分线， ． （三角形的内角和等于）； （等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 1．（23-24八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由线段垂直平分线的性质可知，垂直平分，则.利用这一性质和已知的和的长度，可以计算出的长度. 【详解】解：因为垂直平分，， 所以， 因为， 所以， 解得. 故选：C. 2．（24-25八年级上·云南迪庆·期中）2024年10月23日至24日，第三届“一带一路”能源部长会议在山东举行，提出了未来5年“一带一路”能源合作伙伴成员国的七方面计划．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（   ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边高线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，正确理解线段垂直平分线的性质定理逆定理是解答本题的关键．线段垂直平分线的性质定理逆定理：和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据线段垂直平分线的性质定理逆定理进行推理，即可得到答案． 【详解】解：到北京和莫斯科距离相等的点在北京和莫斯科两地连线的垂直平分线上，到北京和雅典距离相等的点在北京和雅典两地连线的垂直平分线上，则中转仓的位置应选在的三边的垂直平分线的交点处． 故选：C． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点的周长是，则的长为        【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，理解垂直平分线的性质是解答关键． 根据垂直平分线的性质得到，再利用三角形的周长来求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ． ∵的周长是， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：4 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．若的周长为18，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：是边的垂直平分线，， ， 的周长为18， ， ， ． 【典型例题二 线段垂直平分线的判定】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点新增选项 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 2．（23-24八年级上·北京房山·期末）王宇同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半． 下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程（保留作图痕迹）． 已知一条线段AB，分别以点A、B为圆心，以线段AB的长为半径画弧，两弧交于点C（点C在线段AB上方），作的角平分线交AB与D． 由作图可知 ∴是______三角形 ∴（______） ∵CD平分 ∴CD垂直平分AB（______） ∴， 又∵ 即在中，，，则． 【答案】图见解析，等边；等边三角形每个角都是60°；等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合 【分析】根据题意作图即可解答． 【详解】解：如图所示： ∴是等边三角形， ∴（等边三角形每个角都是60°） ∵CD平分， ∴CD垂直平分AB（等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合）． 【点睛】本题考查作图，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解题关键是掌握等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定． 1．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，证明垂直平分线段可得结论． 【详解】解：连接，． 由作图可知，， 垂直平分线段， ， ． 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，则点O是（    ）    A．三条边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的判定定理得解 【详解】解：∵ ∴点O在的垂直平分线上．即为三条边垂直平分线的交点． 故选：A． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定，理解定理是解题的关键． 3．（23-24八年级上·全国·课前预习）经过线段 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 ． 【答案】 中点 垂直平分线 【解析】略 4．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上． 先由线段垂直平分线的性质得到，则，再由线段垂直平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵边的垂直平分线交于点P， ∴． ∴． ∴点P必在的垂直平分线上． 【典型例题三 作已知线段的垂直平分线】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（    ） A．A处             B．B处             C．C处             D．D处 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行求解即可． 【详解】由题意知，村庄P．Q连线的垂直平分线与公路的交点就是所求，即选在点B， 故选B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知性质是解题的关键． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，点C在射线上，请用尺规作图法作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，直线即为所求． 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，是中边的垂直平分线，交于点D，交于点E，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据线段的垂直平分线的性质得到AD=CD，进而BD-CD即可得出的长. 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD， ∵，， ∴. 故选：B. 【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等并进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 2．（23-24九年级下·四川遂宁·期中）如图，在△ABC中，AB的中垂线交AB于点E，交BC于点D，若△ADC的周长为16cm，AC＝4cm，则BC的长为（   ） A．22cm B．12cm C．10cm D．7cm 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质计算即可； 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴， ∵△ADC的周长为16cm， ∴， ∴， ∴， ∵AC＝4cm， ∴； 故答案选B 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键． 3．（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴的周长为:； 故答案为：14． 4.（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图---线段垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据作线段垂直平分线的步骤作图即可； （2）根据线段垂直平分线得到，则的周长转化为． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：连接， ∵线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长=, ∴的周长． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的任一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 由题中折叠可知，为线段的垂直平分线，可得到，即可求解． 【详解】解：由题中折叠可知，为线段的垂直平分线， ，故C正确，符合题意， 其余选项均不能证明，不符合题意， 故选：C． 2．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（    ） A．36 B．18 C．32 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F， ∴，， ∵， ∴的周长， 故选：A． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】D 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长为； 故选D． 4．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，若的周长为17，且边的垂直平分线分别交于，则对的周长描述正确的是（    ） A．周长为17 B．周长为11 C．周长为11或17 D．周长不可求 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．先求解，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，即可求出的周长． 【详解】解：的周长为17， ∴ 垂直平分， ， 的周长 故选：B． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 故选：A． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：A． 7．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图是的折纸示意图，则折痕是的（    ） A．中垂线 B．中线 C．角平分线 D．高线 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、中垂线定义以及三角形的角平分线、中线和高线，正确掌握相关定义，即可解题． 【详解】解：根据折叠的性质得， ，，， 不是的角平分线，不是中垂线和的中线． ， ， ， 是的高线． 故答案为：D． 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， 故选：． 9．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．17 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，是的垂直平分线，，则，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， 又， ∴的周长为， 故选：B． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（   ） A．14 B．15 C．17 D．23 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 故选：C 11．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．若的周长为，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 12．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．由题意知，直线是线段的垂直平分线，则即可得出结论． 【详解】解：由题意知，直线是线段的垂直平分线 在直线上 ． 故答案为：5． 13．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】/10厘米 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了四边形周长的定义．根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图中，，，是的中点，交于点，连接，，的周长是，那么的长是 ． 【答案】14cm 【分析】由，是的中点，可得,由的周长是，可得,根据，，即可求解． 【详解】，是的中点， 是线段的垂直平分线， ， 的周长， 又， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，的周长是 ．    【答案】12 【分析】本题考查了作图-基本作图，垂直平分线的性质，掌握该性质是解题的关键．根据题意，得到是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，再利用线段的等量转换即可解答． 【详解】解：由题意得是的垂直平分线， ， ，， 的周长． 故答案为：12． 16．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）操作题：如图，图1是8×8的方格纸、图2是6×9的方格纸，其中每个小正方形的边长为1cm，每个小正方形的顶点称为格点． （1）请在图1的方格纸中，利用网格线和三角尺画图，在上找一点，使得到、的距离相等； （2）在图2的四边形内找一点，使，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）取格点T，四边形BCTE为正方形，连接BT交AC于点P，点P即为所求； （2）连接BD，取格点R，作直线CR交BD于点P，连接PA，点P即为所求． 【详解】解：（1）如图，点P即为所求． ∵四边形BCTE为正方形， ∴PB平分∠ABC， ∴点P到AB、BC的距离相等； （2）如图，点P即为所求． 由网格知：BD为线段AR的垂直平分线， ∴DR=DA，DP=DP，PR=PA， ∴△DRP≌△DAP， ∴∠APD=∠CPD， ∴180°-∠APD=180°-∠CPD，即∠APB=∠CPB． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，角平分线的性质，线段垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据角平分线的性质得出，证明出，得到，利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得出结论． 【详解】证明：∵是的平分线，且，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 18．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定， 首先证明出，得到，然后结合即可得到垂直平分． 【详解】∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分． 19．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知一块草地，现要在边上修建一处凉亭，使凉亭到点的距离和凉亭到点的距离相等．请你利用尺规作图法在边上找出凉亭P所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【分析】此题考查了垂直平分线的性质和作法，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的尺规作图方法．根据作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点P为所求： 20．（24-25七年级下·上海宝山·期中）尺规作图：在图中画出边上的中线、及的平分线 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中线的概念，尺规作图---作线段的垂直平分线和角的平分线，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 作线段的垂直平分线与线段的交点即为线段的中点，连接中点与点即为中线；以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以该两交点为圆心，大于两交点之间的距离的一半长为半径画弧，两弧在内部交于一点，以点为顶点，过该交点作射线，即为所求． 【详解】解：如图，中线，射线即为所求： 学科网（北京）股份有限公司 $$