第07讲角的平分线（3大知识点+4大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（人教版2024）

第07讲角的平分线（3大知识点+4大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 作角平分线 典型例题二 角平分线的性质定理 典型例题三 角平分线的判定定理 典型例题四 角平分线性质的实际应用 知识点一：作已知角的平分线 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）利用作角平分线的方法，可以把一个已知角（    ） A．三等分 B．四等分 C．五等分 D．六等分 【答案】B 【分析】利用角平分线的性质进而分析得出答案． 【详解】利用作角平分线的方法，可以把一个已知角二等分，进而可以将两角再次等分，故可以把一个已知角四等分． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了基本作图，正确把握角平分线的性质是解题关键． 2．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．利用三角形内角和定理，角平分线的定义求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知平分， ∴． 故答案为：． 知识点二：角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【即时训练】 1．（24-25九年级下·宁夏银川·期中）如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（    ）  A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·期中）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等 ）以及三角形面积公式（，为底，为高 ），熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】解：过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ， ． 又， ． 故答案为：． 知识点三：角的平分线的判定 内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）用两把完全相同的长方形直尺作出的角平分线的方法：如图所示，直尺①边缘压住射线，直尺②边缘压住射线并且与直尺①交于点P，射线就是的角平分线．其理论依据是（   ） A．等腰三角形两底角相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角平分线上的点到角的两边距离相等 D．三线合一 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的判定定理．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，点P到射线的距离是直尺的宽度，点P到射线的距离也是直尺的宽度， ∴点P到射线，的距离相等， ∴点P在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：B． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）到角的两边距离相等的点，在 ，所以，如果点P到两边的距离相等，那么射线OP是 ． 【答案】 这个角的平分线上 ∠AOB的平分线 【分析】根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，由此解答即可． 【详解】解：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．如果∠AOB内一点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是∠AOB的平分线． 故答案为：这个角的平分线上，∠AOB的平分线． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定，解决此题的关键是要熟练掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【典型例题一 作角平分线】 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点，    由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知一块四边形模具，现工人师傅要在边上凿一个孔E，使孔E到边的距离和孔E到边的距离相等．请你利用尺规作图法在边上帮工人师傅找出孔E所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线的尺规作图及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图方法． 根据点E到到边的距离和孔E到边的距离相等，作出的角平分线，即可解答． 【详解】解：如图，点E即为所求． 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查基本作图“平分已知角”．解题的关键是熟练掌握角平分线的作法，同时熟记角平分线分角为大小相等的两个角．由题意知，平分，可得的度数，再由，可得的度数． 【详解】解：由作图步骤作图如下： 则平分，又， ∴ 又， ∴． 故选：C． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）小鹿和小唯玩尺规作图接力游戏，如图，过的边上一点作．以下作图步骤：①作射线；②以为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交于点；③以点为圆心，的长为半径作弧，交前面的弧于点；④以为圆心，的长度为半径作弧，交于点．若小鹿先开始，则属于小鹿的作图步骤是（　　） A．② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是简单的尺规作图，直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序． 本题的解题关键是掌握“尺规作图：画一个角等于已知角”， 作图顺序为：②④③①，即可解答． 【详解】解：根据“尺规作图：画一个角等于已知角”，可知作图顺序为：②④③①， ∴若小鹿先开始，则属于小鹿的作图步骤是②③． 故选B． 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图， 过点作于点，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：过点作于点， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：。 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）△ABC如图所示 (1)用尺规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，过点D作DE//AB，交BC于点E．求证：BE＝DE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用基本作图，作∠ABC的平分线即可； （2）利用角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，再根据平行线的性质得到∠EDB＝∠ABD，则∠EDB＝∠EBD，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，BD为所作； （2）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵DEAB， ∴∠EDB＝∠ABD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE． 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质． 【典型例题二 角平分线的性质定理】 1．（24-25八年级下·湖南永州·期末）如图，是的平分线，于点，点到的距离为5，，的面积为（    ） A．30 B．60 C．78 D．39 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．过点P作于E，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵是的平分线，，， ∴， ∴的面积为 故选：A． 2．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，平分，交于点，若，求点到的距离． 【答案】6 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是关键，根据角平分线的性质定理，过点作于点，得到即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，， ∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴，即点到的距离为． 1．（2025·云南文山·模拟预测）如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作于点E，根据角平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到的距离为2． 故选：A 2．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（   ） A． B．25 C． D．50 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ， ∵，分别平分，，于点D，， ∴，， ∵的面积是50， ∴， ∴， ∴， ∴，即的周长为， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，平分，交于点．于．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两端的距离相等，据此可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 4．（21-22七年级下·四川成都·期末）把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的和，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】过点M作ME⊥AB于点E，根据题意可得根据题意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，从而得到∠CAD=∠BAD，再根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E， 根据题意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°， ∴∠CAD=30°， ∴∠CAD=∠BAD， ∵ME⊥AB， ∴∠AEM=90°， ∴CM=EM， 即MC的长度就等于点M到AB的距离． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【典型例题三 角平分线的判定定理】 1．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且AD=DC，则点D在（    ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中点 D．的垂直平分线上 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的判定即可判断． 【详解】解：∵AD=DC， ∴点D在AC的垂直平分线上，故选项A正确，符合题意； 没有理由能证明∠BAD=∠CAD和BD=CD和BD=AD，故选项B、C、D都不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”是解题的关键． 2．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 1．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】， 平分， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，点O是内一点，且点O到的距离与点O到的距离相等，连接，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，难度不大，属于常考题型，熟练运用角平分线的判定定理是解答的关键．根据题意得出平分，即可求解． 【详解】解：∵点O到的距离与点O到的距离相等， ∴平分， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．），解题的关键是根据角平分线的判定得出是的平分线．据此可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴是的平分线， 又∵， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，，是中点，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】先利用角平分线的性质证明，根据角平分线的意义，得出，再利用中点的意义结合已知证明，从而可判定平分，根据角平分线的意义，得出，再证明，根据平行线的性质得出，从而可得，再利用三角形内角和定理得出． 【详解】证明：过M作于E， ∵平分，，， ∴，， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． ， ∴， ， ， ， ． 即． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，角平分线的意义，直角三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 【典型例题四 角平分线性质的实际应用】 1．（23-24八年级上·福建福州·开学考试）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（   ） A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：根据角平分线的性质可知：集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握将平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键． 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【答案】， 【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可． 【详解】解：过点分别作，是垂足． 由，得，， 是的平分线， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键． 根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 4．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，中，，平分交于点，，，求到的距离． 【答案】 【分析】过点作于点，由，cm，求得cm，再由角平分线的性质定理即可求得到的距离． 【详解】如图，过点作于点， ，cm， cm， 又平分，∠C=90°， cm， 即到的距离cm． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键． 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点，   ， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图，过点P作于H，由作图方法可得，平分，由角平分线的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于H， 由作图方法可得，平分， ∵，， ∴， ∴点到的距离为3， 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作，，，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算，即可得解． 【详解】解：作，，， 点是的三个内角平分线的交点， ， 点到边的距离是， 面积为， 即， ， ， 即的周长为． 故选：． 5．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为2，若，则的面积为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．15 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，过点O作交于点E，首先得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，过点O作交于点E ∵，的平分线交于点O，点O到边的距离为2， ∴ ∵ ∴的面积为． 故选：B． 6．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：作于H，如图， ∵的平分线交于点，，， ∴， ∵Q为上一动点， ∴的最小值为的长，即的最小值为2． 故选：B． 7．（24-25八年级上·天津·期中）如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据题意得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：作于Z，于Y，于W，如图所示：    ∵平分，，， ∴， 同理， ∴，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，的平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键． 根据角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵点P到，的距离相等， ∴点P在的平分线上， 又点P在上， ∴P点是与的平分线的交点， 故选：C． 9．（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点． 故选：A． 10．（23-24八年级上·北京·期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个． 【详解】解：∵和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：C． 【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心漏解． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∴的面积是， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【答案】/1厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，已知于A，于B，且，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形外角的性质，证明点P在的平分线上是本题的关键．由，，，可证点P在的平分线上，可得，由三角形外角性质可求解． 【详解】解：，，， ∴点P在的平分线上， ， ， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·甘肃武威·阶段练习）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于 ． 【答案】8 【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点D到斜边AB的距离等于8． 【详解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， CD＝8， ∴点D到斜边AB的距离等于CD ∴D到斜边AB的距离为8． 故答案为∶8． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．本题直接运用角平分线的性质即可，比较简单，属于基础题． 15．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是 ． 【答案】4 【分析】作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得． 【详解】解：如图，作于， 平分，， ， ， ， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 16．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，是高，，． (1)画出的角平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查作图—作角平分线及三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题关键在于根据题意作出图形． （1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作平分即可； （2）先求，再根据角平分线求出，进而利用三角形外角的性质根据求出结论． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）∵，， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高 ∴ ∴． 17．（24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，，平分交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若的周长为20，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先证明，根据全等三角形的性质即可得到； 根据角平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得的周长等于，即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， ∴， 平分， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：平分交于点，，， ∴， ∴， ，， ∴， 的周长为， 的周长为， ． 18．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点D为下方一点，连接、、，，过点D作于点F，交的延长线于点G，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等直角三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 根据条件证明，得出，最后根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ，， 平分． 19．（23-24九年级下·重庆·开学考试）如图，已知． (1)请用尺规作图．在内部找一点，使得点到、、的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）； (2)若的周长为，面积为，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作的角平分线的交点，即为所求； （2）根据（1）的结论，设点到的距离为，则，解方程求解即可． 【详解】（1）如图，点即为所求， （2）设点到的距离为， 由（1）可知点到、、的距离相等 则 解得： 点到的距离为 【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 20.（23-24八年级上·天津南开·期中）如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，于点，由是的平分线，得到 ，再证明是的平分线，得到，进而得到，即可得出结论； （2）由，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，如图： ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：如图： ∵ ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲角的平分线（3大知识点+4大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 作角平分线 典型例题二 角平分线的性质定理 典型例题三 角平分线的判定定理 典型例题四 角平分线性质的实际应用 知识点一：作已知角的平分线 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）利用作角平分线的方法，可以把一个已知角（    ） A．三等分 B．四等分 C．五等分 D．六等分 2．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是 ． 知识点二：角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【即时训练】 1．（24-25九年级下·宁夏银川·期中）如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（    ）  A．3 B．4 C．2 D．1 2．（24-25八年级下·全国·期中）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为 ． 知识点三：角的平分线的判定 内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）用两把完全相同的长方形直尺作出的角平分线的方法：如图所示，直尺①边缘压住射线，直尺②边缘压住射线并且与直尺①交于点P，射线就是的角平分线．其理论依据是（   ） A．等腰三角形两底角相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角平分线上的点到角的两边距离相等 D．三线合一 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）到角的两边距离相等的点，在 ，所以，如果点P到两边的距离相等，那么射线OP是 ． 【典型例题一 作角平分线】 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 2．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知一块四边形模具，现工人师傅要在边上凿一个孔E，使孔E到边的距离和孔E到边的距离相等．请你利用尺规作图法在边上帮工人师傅找出孔E所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）小鹿和小唯玩尺规作图接力游戏，如图，过的边上一点作．以下作图步骤：①作射线；②以为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交于点；③以点为圆心，的长为半径作弧，交前面的弧于点；④以为圆心，的长度为半径作弧，交于点．若小鹿先开始，则属于小鹿的作图步骤是（　　） A．② B．②③ C．①③ D．③④ 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）△ABC如图所示 (1)用尺规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，过点D作DE//AB，交BC于点E．求证：BE＝DE． 【典型例题二 角平分线的性质定理】 1．（24-25八年级下·湖南永州·期末）如图，是的平分线，于点，点到的距离为5，，的面积为（    ） A．30 B．60 C．78 D．39 2．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，平分，交于点，若，求点到的距离． 1．（2025·云南文山·模拟预测）如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 2．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（   ） A． B．25 C． D．50 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，平分，交于点．于．若，，则的长为 ． 4．（21-22七年级下·四川成都·期末）把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的和，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由． 【典型例题三 角平分线的判定定理】 1．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且AD=DC，则点D在（    ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中点 D．的垂直平分线上 2．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 1．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，点O是内一点，且点O到的距离与点O到的距离相等，连接，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，若，则 ． 4．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，，是中点，平分，求证：． 【典型例题四 角平分线性质的实际应用】 1．（23-24八年级上·福建福州·开学考试）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（   ） A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 1．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 4．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，中，，平分交于点，，，求到的距离． 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 3．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为2，若，则的面积为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．15 6．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 7．（24-25八年级上·天津·期中）如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点 9．（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 10．（23-24八年级上·北京·期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 12．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 13．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，已知于A，于B，且，则 ． 14．（23-24八年级上·甘肃武威·阶段练习）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于 ． 15．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是 ． 16．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，是高，，． (1)画出的角平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)求的度数． 17．（24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，，平分交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若的周长为20，求的长． 18．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点D为下方一点，连接、、，，过点D作于点F，交的延长线于点G，．求证：平分． 19．（23-24九年级下·重庆·开学考试）如图，已知． (1)请用尺规作图．在内部找一点，使得点到、、的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）； (2)若的周长为，面积为，求点到的距离． 20.（23-24八年级上·天津南开·期中）如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$