第一章 第8节 空间距离（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第8节　空间距离 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题． 2．通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． [对应学生用书P30] 一、点P到直线l的距离 如图1，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝． 图1 二、点P到平面α的距离 如图2，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝|·|＝. 图2 三、两条平行直线间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离． 四、直线与平面、平面与平面之间的距离均可转化为点到平面的距离，用求点到平面的距离的方法求解： 直线a与平面α之间的距离d＝，其中A∈a，B∈α，n是平面α的法向量． 两平行平面α，β之间的距离d＝，其中A∈α，B∈β，n是平面α，β的法向量． 一、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第一册P34例6改编)已知平面ABC的一个法向量为n＝(1，2，1)，向量＝(0，，0)，则点F到平面ABC的距离为 ． 答案：　解析：由题意，点F到平面ABC的距离为 ＝＝. 2．(人教A版选择性必修第一册P35T1改编)已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(，0，)为l的一个单位方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为 . 答案：　解析：因为＝(－2，0，－1)，且n＝(，0，)为l的一个单位方向向量，故点P到直线l的距离为d＝＝＝. 二、易误易混澄清 1．(点到直线的距离公式记错)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形A1ABB1的中心，E为棱BC的中点，则点O到直线A1E的距离为 ． 答案：　解析：以点D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A1(2，0，2)，O(2，1，1)，E(1，2，0)，所以＝(0，1，－1)，＝(－1，2，－2)，所以cos 〈，〉＝＝＝.因为〈，〉∈[0，π]，所以sin 〈，〉＝，所以点O到直线A1E的距离为|A1O|sin 〈，〉＝×＝. 2．(点到平面的距离公式忽略绝对值出错)已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(x，3，0)在平面α内，点P(－2，1，4)到平面α的距离为，则x＝ ． 答案：－1或－11　解析：由题可知＝(x＋2，2，－4)，则点P到平面α的距离d＝＝，则＝，解得x＝－1或x＝－11. [对应学生用书P31] 考点一　点到直线的距离 [例1] 如图，在四棱锥P­ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为(　　) A．2 B．2 C． D．4 A　解析：方法一(几何法)　如图，取PA的中点M，连接BM，CM. 因为PB⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC．又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA．因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA．又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM.又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离．在等腰Rt△PBA中，BM＝PB＝2. 在Rt△CBM中，CM＝＝＝2，故点C到直线PA的距离为2. 方法二(向量法)　如图，以B为坐标原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，4，0)，P(0，0，4)，故＝(2，0，－4)，＝(0，4，－4)，所以PC在PA上的投影为d＝＝＝2，故点C到直线PA的距离h＝＝＝2，即点C到直线PA的距离为2. 向量法求点线距的求解步骤 (1)直线的单位方向向量a； (2)所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量a上的投影向量； (3)代入公式． 训练1 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD．若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为(　　) A． B． C． D． A　解析：如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，则＝(－3，0，1)，＝(－3，4，0)，故点P到直线BD的距离 d＝ ＝＝，所以点P到直线BD的距离为. 考点二　直线到直线的距离 [例2] 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则异面直线AC与BC1之间的距离是(　　) A． B． C． D． D　解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，C1(0，1，3)，∴＝(－2，1，0)，＝(－2，0，3).设和的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝3，可得n＝(3，6，2)，∵＝(0，1，0)，∴异面直线AC与BC1之间的距离d＝＝. 向量法求两异面直线间的距离 (1)在两直线上各取一点构成一个向量； (2)求两直线的公垂线的单位方向向量u； (3)求两异面直线间的距离|·u|. 训练2 如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为 ． 答案：　解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(1，0，1)，C1(0，1，1).设P(x，0，1－x)，0≤x≤1，连接A1P，则＝(x－1，0，－x)，＝(－1，1，0)，∴动点P到直线A1C1的距离d＝＝＝＝≥，当且仅当x＝时，等号成立，故AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为. 考点三　点到平面的距离 [例3] 在三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是(　　) A． B． C． D． A　解析：方法一　以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴，以过点A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，4，0)，P(0，4，4)，∴＝(0，4，4)，＝(4，0，0)，＝(0，0，－4). 设平面PAB的一个法向量为m＝(x，y，z)，则即即令y＝，则z＝－1，∴m＝(0，，－1)，∴点C到平面PAB的距离为＝. 方法二　∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB．又AB⊥AC，且PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC．∵PA⊂平面PAC，∴AB⊥PA．∵AC＝AB＝4，∴BC＝4，∴PC＝4，PB＝8.在Rt△PAB中，PA＝＝4，设点C到平面PAB的距离为d，∵VP­ABC＝VC­PAB，∴××4×4×4＝××4×4×d，∴d＝. 点到平面的距离的求法 (1)几何法：①作出点到平面的垂线段，在直角三角形中，求这条垂线段的长度． ②把待求的点面距看作三棱锥的高，利用三棱锥的等体积转换法求解． (2)向量法：点A到平面α的距离d＝(其中B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量). 训练3 (1)在棱长均为a的正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a A　解析：以A为空间直角坐标系的原点，以过点A且垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系． 由ABC­A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，故A(0，0，0)，B1(，，a)，D(0，a，)，C1(0，a，a)， 所以＝(，，a)，＝(0，0，)，＝(0，a，)，设平面AB1D的一个法向量是n＝(x，y，z)，所以取n＝(，1，－2)，故点C1到平面AB1D的距离d＝＝＝a. (2)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝AC＝CC1＝4，D为AB1的中点，CB1交BC1于点E. ①证明：CB1⊥C1D； ②求点E到平面B1C1D的距离． ①证明：因为CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，所以A1C1，B1C1，CC1两两垂直，故以C1为原点，A1C1，B1C1，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0，0，4)，C1(0，0，0)，B1(0，4，0)，D(2，2，2)， 所以＝(0，4，－4)，＝(2，2，2)，所以·＝0＋8－8＝0，所以⊥，所以CB1⊥C1D． ②解：由题意可知E是CB1，BC1的中点，所以E(0，2，2)，＝(0，4，0)，＝(2，2，2)，＝(0，2，2). 设平面B1C1D的一个法向量为m＝(x，y，z)，则取x＝1，得m＝(1，0，－1)， 所以点E到平面B1C1D的距离d＝＝＝. [课时训练(8)见P166] 学科网（北京）股份有限公司 $$