第一章 第7节 向量法求空间角（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第7节　向量法求空间角 1．能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序． 2．体会向量法在研究空间角问题中的作用． [对应学生用书P27] 空间向量与空间角 空间角 向量求法 范围 异面直 线所成 的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝||＝ (0，] 直线与 平面所 成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝||＝ [0，] 二面角 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ [0，π] 两个 平面 的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1，n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角；设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝||＝ [0，] 1．确定平面的法向量的方法 (1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定． (2)待定系数法：取平面的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由求得． 2．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 3．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角． 一、教材典题改编 1．(人教B版选择性必修第一册P37T3改编)已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 2．(人教A版选择性必修第一册P49T14改编)在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点S在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：A 3．[苏教版选择性必修第二册P39T6(2)]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，M是CC1的中点，则二面角A­A1B­D的平面角的正弦值为 ． 答案： 二、易误易混澄清 1．(线面角取值范围出错)已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为 ． 答案：30°　解析：设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝，又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 2．(异面直线夹角取值范围出错)如图，圆锥的高SO＝，底面直径AB＝2，C是圆O上一点，且AC＝1，则SA与BC所成角的余弦值为 ． 答案： 3．(二面角取值范围出错)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ，二面角B­A1C1­D1的余弦值为 ． 答案：　－ [对应学生用书P28] 考点一　异面直线所成的角 [例1] (2025·武汉模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为(　　) A．－ B． C．－ D． B　解析：以点A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，异面直线BF与PE所成的角为θ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，则E(1，2，0)，F(1，1，1)， 所以＝(－1，1，1)，＝(1，2，－2)，所以cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝，所以异面直线BF与PE所成角的余弦值为. 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量v1，v2； (3)代入公式|cos 〈v1，v2〉|＝求解． 训练1 (1)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝8，E，F，G分别为B1C1，A1B1，BB1的中点，则异面直线A1E与FG所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． A　解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A1(8，0，2)，E(4，2，2)，F(8，1，2)，G(8，2，1)，∴＝(－4，2，0)，＝(0，1，－1)，∴cos 〈，〉＝＝，故异面直线A1E与FG所成角的余弦值为. (2)(2025·开封模拟)在如图所示的圆台中，四边形ABCD为其轴截面，AB＝2CD＝4，母线长为，P为下底面圆周上一点，异面直线AD与 OP(O为下底面圆心)所成的角为，则CP2的大小为(　　) A．7－2 B．7－2或7＋2 C．19－4 D．19－4或19＋4 B　解析：以O为原点，OB所在直线为y轴，过点 O 作 x 轴 ⊥OB，圆台的高为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 作DE⊥AB于点E，AE＝AB－CD＝1.在Rt△ADE中，AD＝，DE＝＝，则D(0，－1，)，A(0，－2，0)，C(0，1，)，所以＝(0，1，)，设P(2cos θ，2sin θ，0)，0≤θ<2π，＝(2cos θ，2sin θ，0)，由于异面直线 AD与 OP(O为下底面圆心)所成的角为，∴cos ＝＝＝＝，∴sin θ＝±，＝(2cos θ，2sin θ－1，－)，CP2＝||2＝4cos2θ＋4sin2θ－4sinθ＋1＋2＝7－4sin θ＝7±2. 考点二　直线与平面所成的角 [例2] (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． (1)证明：如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D， ∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1 C⊥BC， 又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC， ∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1， ∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D， 又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C， ∴A1D⊥平面BCC1B1， ∴A1D＝1. 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1， ∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1， ∴A1C＝A1C1， 又在三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝A1C1， ∴A1C＝AC． (2)解：如图，连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F， ∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2， 又A1D＝1且A1C＝AC， ∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝. 以点C为坐标原点，CA，CB，CA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz， 则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，B1(－，，)，C1(－，0，)， ∴＝(0，，0)，＝(－，0，)，＝(－2，，)， 设平面BCC1B1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即取x＝1，则y＝0，z＝1， ∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1). 设AB1与平面BCC1B1所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝. ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为. 利用空间向量求线面角的解题步骤 训练2 (2025·唐山模拟)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2，E是棱CD的中点． (1)求证：平面AED1⊥平面BEB1； (2)若异面直线EB1与DC1所成的角为30°，求EB1与平面AED1所成角的正弦值． (1)证明：依题意，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设D1(0，0，h)(h>0).依题意得A(1，0，0)，E(0，1，0)，B(1，2，0)，B1(1，2，h)，则＝(－1，1，0)，＝(1，1，0)，BB1＝(0，0，h)，所以·＝0，·＝0，则AE⊥EB，AE⊥BB1.又BE∩BB1＝B，EB，BB1在平面BEB1内，所以AE⊥平面BEB1.又AE⊂平面AED1，则平面AED1⊥平面BEB1. (2)解：依题意得C1(0，2，h)，＝(1，1，h)，＝(0，2，h). 则|cos 〈，〉|＝＝＝cos 30°，解得h＝2(负值已舍去)， 故D1(0，0，2)，则＝(－1，0，2)，＝(1，1，2)， 设平面AED1的一个法向量为m＝(x，y，z)，则取z＝1，则x＝2，y＝2，故m＝(2，2，1). 则cos 〈m，〉＝＝＝，所以EB1与平面AED1所成角的正弦值为. 考点三　二面角问题 [例3] (2024·新课标Ⅰ卷)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝. (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； (2)若AD⊥DC，且二面角A­CP­D的正弦值为，求AD． (1)证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD， ∴PA⊥AD， 又AD⊥PB，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴AD⊥平面PAB， 又AB⊂平面PAB，∴AD⊥AB． ∵AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，∴BC∥AD， ∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC． (2)解：由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，设A(a，0，0)，a>0，则CD＝，C(0，，0)，P(a，0，2)，＝(0，－，0)，＝(－a，，0)，＝(a，－，2). 设平面CPD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则，即，可取n＝(2，0，－a). 设平面ACP的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则，即，可取m＝(，a，0). ∵二面角A­CP­D的正弦值为， ∴二面角A­CP­D的余弦值的绝对值为， 故|cos 〈m，n〉|＝＝＝， 又a>0，∴a＝，即AD＝. 利用空间向量求二面角的解题步骤 训练3 (2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥A­BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点． (1)证明：BC⊥DA； (2)点F满足＝，求二面角D­AB­F的正弦值． (1)证明：如图，连接AE，DE， 因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC， 因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形， 所以AC＝AB，从而AE⊥BC， 又AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE，而DA⊂平面ADE， 所以BC⊥DA． (2)解：不妨设DA＝DB＝DC＝2， 因为BD⊥CD，所以BC＝2，DE＝AE＝. 所以AE2＋DE2＝4＝AD2，所以AE⊥DE， 又AE⊥BC，DE∩BC＝E，DE，BC⊂平面BCD，所以AE⊥平面BCD． 以E为原点，ED，EB，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(，0，0)，A(0，0，)，B(0，，0)，E(0，0，0)， 设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)， 平面DAB与平面ABF的夹角为θ，而＝(0，，－)， 因为＝＝(－，0，)，所以F(－，0，)，则＝(－，0，0). 由得取x1＝1，所以n1＝(1，1，1). 由得取y2＝1，所以n2＝(0，1，1)， 所以|cos θ|＝＝＝，从而sin θ＝＝. 所以二面角D­AB­F的正弦值为. [课时训练(7)见P164] 学科网（北京）股份有限公司 $$