第一章 第6节 空间向量及其运算和空间位置关系（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第6节　空间向量及其运算和空间位置关系 1．了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示． 4．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 5．能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题，以及平行、垂直问题． [对应学生用书P22] 一、空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 长度相等而方向相反的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 二、空间向量的有关定理 1．共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 3．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数对(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 三、空间向量的数量积及坐标运算 1．两个空间向量的数量积 数量积 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉 垂直 关系 a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量) 模 设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝ 2.空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角 公式 cos 〈a，b〉＝ 四、直线的方向向量与平面的法向量 直线的 方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量 平面的 法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量 五、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝km(k∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 一、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第一册P12T1改编)若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是(　　) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 答案：C 2．(人教B版选择性必修第一册P61T2改编)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　) A．(－1，1，1) B．(1，－1，1) C．(－，－，－) D．(，，－) 答案：C 3．(人教A版选择性必修第一册P10T5改编)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b－c D．－a－b＋c C　解析：＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－a－b－c. 4．(苏教版选择性必修第二册P31T2)设t为实数，若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为(t，2，4)，α的法向量为(，1，2)，则t的值为 ． 答案：1 二、易误易混澄清 1．(共面向量定理理解有误)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　) A．9 B．－9 C．－3 D．3 B　解析：由题意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，所以解得λ＝－9. 2．(忽视对应系数相等)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝ ，＝x＋y(＋)，则(　　) A．x＝1，y＝　　　 B．x＝1，y＝ C．x＝，y＝1 D．x＝1，y＝ D　解析：＝＋＝＋＝＋＝＋(＋).又＝x＋y(＋)，由对应系数相等可知x＝1，y＝. [对应学生用书P24] 考点一　空间向量的线性运算 1．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则＝(　　) A．a－b＋c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b－c B　解析：＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c. 2．(2025·淮安模拟)设x，y是实数，已知三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　解析：由已知可得＝(1，－1，3)，＝(x－1，－2，y＋4).因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ， 使得＝λ，所以解得所以x＋y＝5. 3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简－－＝ ； (2)用，，表示OC1，则＝ . 答案：(1)　(2)＋＋　解析：(1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝． (2)因为＝＝(＋)，所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋． 用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 考点二　共线、共面向量定理的应用 [例1] (1)在四面体OABC中，空间中的一点M满足＝＋＋λ，若，，共面，则λ＝(　　) A． B． C． D． (2)设e1，e2是两个不共线的空间向量，若＝2e1－e2，＝3e1＋3e2，＝e1＋ke2，且A，C，D三点共线，则实数k的值为 . 答案：(1)D　(2)　解析：(1)由题可知O，A，B，C四点不共面，所以由，，共面，得＋＋λ＝1，解得λ＝. (2)∵＝2e1－e2，＝3e1＋3e2，∴＝＋＝5e1＋2e2，又A，C，D三点共线，∴∥，∵e1，e2不共线，＝e1＋ke2，∴＝5，∴2－5k＝0，∴k＝. 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 训练1 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋). (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由已知＋＋＝3，所以－＝(－)＋(－).即＝＋＝－－， 所以，，共面． (2)方法一　由(1)知，，共面且过同一点M，所以四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内． 方法二　因为＝(＋＋)＝＋＋， 又＋＋＝1，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 考点三　空间向量数量积的应用 [例2] 如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD． (1)解：设＝a，＝b， ＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ∵＝＋CC1＝＋＋＝a＋b＋c， ∴||＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝. ∴线段AC1的长为. (2)解：设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈，〉|＝. ∵＝a＋b＋c，＝b－c，∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， ||＝＝ ＝＝. ∴cos θ＝＝＝. 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)证明：∵＝c，＝b－a，∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0， ∴⊥，即AA1⊥BD． 空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度(距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 训练2 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，求： (1)·的值； (2)线段EG的长； (3)异面直线EG与AC所成角的大小． 解：(1)设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 可得＝＝c－a，＝－a， 所以·＝(c－a)·(－a)＝－a·c＋a2＝－＋＝. (2)由＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c， 则||2＝(－a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝，所以||＝，即EG的长为. (3)由＝－a＋b＋c，则·＝(－a＋b＋c)·b＝－a·b＋b2＋c·b＝， 所以cos 〈，〉＝＝＝. 因为0°≤〈，〉≤90°，所以异面直线EG与AC所成的角为45°. 考点四　利用空间向量证明平行与垂直 [例3] 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． 求证：(1)平面A1B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD． 证明：以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4).设BA＝a，则A(a，0，0)，G(，1，4). (1)因为＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)， 所以·＝0，·＝0，所以⊥，⊥，即B1D⊥BA，B1D⊥BD． 又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD． 因为B1D⊂平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD． (2)方法一　因为＝(，1，1)，＝(0，1，1)，＝(0，2，－2)， 所以·＝0，·＝0，所以B1D⊥EG，B1D⊥EF. 因为EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，所以B1D⊥平面EGF. 又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD． 方法二　因为＝(－，0，0)，所以＝－，所以GF∥BA， 又GF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD， 又GF∩EF＝F，GF，EF⊂平面EGF，所以平面EGF∥平面ABD． 向量法证明平行与垂直的关键 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素). (2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理． 训练3 如图，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD． (2)若SD⊥平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由． (1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD，连接SO. 由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设底面边长为a(a>0)，则高SO＝a，所以S(0，0，a)，D(－a，0，0)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，所以＝(0，a，0)，＝(－a，0，－a)， 则·＝0. 故OC⊥SD，所以AC⊥SD． (2)解：侧棱SC上存在一点E使得BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1. 理由如下，由已知条件知是平面PAC的一个法向量， 且＝(a，0，a)，＝(0，－a，a)，＝(－a，a，0). 设＝t(0＜t<1)，则＝＋＝＋t＝(－a，a(1－t)，at)， 又·＝0，所以a×(－a)＋a×at＝0， 所以t＝，即当SE∶EC＝2∶1时，⊥. 而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC． [课时训练(6)见P160] 学科网（北京）股份有限公司 $$