第一章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第5节　直线、平面垂直的判定与性质 1．能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理． 2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中垂直关系的简单命题． [对应学生用书P17] 一、直线与平面垂直 1．定义 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2．判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 二、直线和平面所成的角 1．定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条斜线和这个平面所成的角． 2．线面角θ的取值范围：[0，]． 三、平面与平面垂直 1．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的平面角α的范围：[0，π]． (4)平面与平面的夹角：两平面相交形成的四个二面角中，不大于90°的二面角． 2．判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 1．两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2．使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． 3．三种垂直关系的转化 一、教材典题改编 1．(人教A版必修第二册P158T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 答案：D 2．(多选)(人教A版必修第二册P163习题8.6T3改编)下列命题中不正确的是(　　) A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a B．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β C．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β ABD　解析：若直线a垂直于平面α，则直线a垂直于平面α内的所有直线，故C正确，其他选项均不正确． 3．(人教A版必修第二册P171T14改编)若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为 ． 答案：45° 4．(人教A版必修第二册P152T4改编)在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的 心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的 心． 答案：(1)外　(2)垂 二、易误易混澄清 1．(忽视判定平面与平面垂直的条件)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是(　　) A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m A　解析：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确；当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行、相交或异面，故B错误；当l∥β且l⊂α时，α与β可能平行或相交，故C错误；当α∥β且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行或异面，故D错误． 2．(忽视平面内两条直线为相交直线的条件)“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的 条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”) 答案：必要不充分 [对应学生用书P19] 考点一　线面垂直的判定与性质 [例1] 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 求证：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD． ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC． 又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA． ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC． 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD．又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD． ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB． 又AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD． 又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD． 又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 证明线面垂直的四种方法 (1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. (3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ(客观题可用). 考点二　面面垂直的判定与性质 [例2] (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1­BB1C1C的高． (1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC． 因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC．又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1. 又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C． (2)解：如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H⊂平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C， 即四棱锥A1­BB1C1C的高为A1H. 由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1. 又AA1＝2，∠ACA1＝90°， 所以A1C1＝CA1＝. 方法一　由S△CA1C1＝·CA1·A1C1＝·A1H·CC1，得A1H＝＝＝1， 故四棱锥A1­BB1C1C的高为1. 方法二　在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝CC1＝1， 故四棱锥A1­BB1C1C的高为1. 1．面面垂直判定的两种方法与一个转化 (1)两种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β). (2)一个转化：利用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直，通常是通过线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的． 2．面面垂直性质定理的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”． (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面． 训练1 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD． 证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD． 因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD， 所以PE⊥BC． (2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD． 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD． 又PA⊥PD，AB，PA⊂平面PAB，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB． 又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD． 考点三　平行、垂直关系的综合应用 [例3] (2025·石家庄模拟)如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上的一点． (1)若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点； (2)在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． (1)证明：因为四边形AA1D1D为正方形，A1D∩AD1＝O， 所以O为AD1的中点． 又OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE⊂平面ABD1，所以OE∥BD1. 又O为AD1的中点，所以E为AB的中点． (2)解：存在点E，当AE＝时，平面D1DE⊥平面AD1C，理由如下： 设AC∩DE＝F，因为四边形AA1D1D为正方形，所以D1D⊥AD． 又因为平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D⊂平面AA1D1D， 所以D1D⊥平面ABCD． 又AC⊂平面ABCD，所以D1D⊥AC． 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1， 当AE＝时，在Rt△ADE中，tan ∠ADE＝＝. 在Rt△ABC中，tan ∠BAC＝＝，所以∠ADE＝∠BAC． 又∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°，所以∠ADE＋∠DAC＝90°， 则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE. 又DE∩DD1＝D，DE，DD1⊂平面D1DE，所以AC⊥平面D1DE. 又AC⊂平面AD1C，所以平面D1DE⊥平面AD1C． 平行、垂直综合问题的解题思路 (1)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用及位置关系的互相转化． (2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证． 训练2 (2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直． (1)证明：EF∥平面ABCD； (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度). (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EAB和△FBC是正三角形， ∴分别取AB，BC的中点K，I，连接EK，FI，KI，则EK⊥AB，FI⊥BC，如图． ∵平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，EK⊂平面EAB，∴EK⊥平面ABCD．同理FI⊥平面ABCD， ∴EK∥FI.易知△EAB≌△FBC，∴EK＝FI， ∴四边形EKIF是平行四边形，∴EF∥KI. 又EF⊄平面ABCD，KI⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD． (2)解：可补形成长方体，如图，易得长方体的高为4 cm.故所求包装盒的容积V＝82×4－4×××42×4＝(cm3). [对应学生用书P21] 利用几何法求线面角、二面角、距离的难点在于找到所求的角或距离，相对于向量法，几何法运算简单、不易出错． 考向1　几何法求距离 [例1] (2024·济宁模拟)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD的距离为(　　) A． B． C． D． D　解析：＝··DC，＝·C1E·BC＝×1×2＝1，DC＝2，则＝.在△BED中，由题意及勾股定理可得BE＝DE＝，BD＝2，则由余弦定理可得cos ∠BED＝＝，则sin ∠BED＝＝，则S△BDE＝BE·DE·sin ∠BED＝.设C1到平面EBD的距离为d，则.又＝，则＝S△BDE·d＝，即d＝＝. (1)求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解． (2)求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解． 训练1 (2025·威海模拟)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为 . 答案：2　解析：由题可得AB＝8，因为AP＝BP， 所以S△ABP＝×8×4＝16.因为PC⊥平面ABP，且PC＝4，所以VC­ABP＝×16×4＝，因为AP＝BP＝4， 所以AC＝BC＝4，所以S△ABC＝×8×＝16，设点P到平面ABC的距离为d，则VP­ABC＝×16d＝，解得d＝2. 考向2　几何法求线面角 [例2] (2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC­A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　) A． B．1 C．2 D．3 B　解析：设正三棱台ABC­A1B1C1的高为h，三条侧棱延长后交于一点P，作PO⊥平面ABC于点O，PO交平面A1B1C1于点O1，连接OA，O1A1，如图所示．由AB＝3A1B1，可得PO1＝h，PO＝h，又＝×22×＝，S△ABC＝×62×＝9，所以正三棱台ABC­A1B1C1的体积V＝VP­ABC－＝×9×h－××h＝，解得h＝，故PO＝h＝2.由正三棱台的性质可知，O为底面ABC的中心，则OA＝×＝2，因为PO⊥平面ABC，所以∠PAO是A1A与平面ABC所成的角，在Rt△PAO中，tan ∠PAO＝＝1. 几何法求线面角的三个步骤 一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中来求解． 训练2 (2025·湖州模拟)如图，已知正四棱锥P­ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． D　解析：作PO⊥底面ABCD于点O，连接OC， 因为正四棱锥P­ABCD底面边长为2，故OC＝，又侧棱长为4，故PO＝＝.又M为侧棱PC的中点，取OC的中点F，连接MF，BF，则MF∥PO，MF＝PO，且MF⊥平面ABCD，故∠MBF是BM与平面ABCD所成角，且MF＝·PO＝.又cos ∠BCM＝＝.在△BCM中，由余弦定理得BM＝＝.在△BFM中，sin ∠MBF＝＝＝.故直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为. 考向3　几何法求二面角 [例3] 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PO＝1，底面半径为2，M，N是底面圆周上两点，且∠MON＝，则二面角P­MN­O的大小为(　　) A． B． C． D． B　解析：取MN的中点E，连接OE，PE， 因为OM＝ON，所以OE⊥MN，因为PM＝PN，所以PE⊥MN，所以∠PEO是二面角P­MN­O的平面角， 因为PO⊥平面OMN，OE⊂平面OMN，所以PO⊥OE，因为∠MON＝，OM＝2，所以OE＝OM·cos ＝2×＝，因为PO＝1，所以PE＝＝＝2，所以cos ∠PEO＝＝，所以结合图可知∠PEO＝.所以二面角P­MN­O的大小为. 作二面角的平面角的方法 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 训练3 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1­AB­C的正切值为(　　) A．1 B．2 C． D． D　解析：取AB的中点M，连接C1M，CM， ∵AC＝CB，∴CM⊥AB，AC1＝BC1，∴C1M⊥AB，可知∠C1MC即为二面角C1­AB­C的平面角，设AC＝CB＝CC1＝a，则CM＝a， ∴tan ∠C1MC＝＝. [课时训练(5)见P157] 学科网（北京）股份有限公司 $$