第一章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系 1．借助长方体，抽象出空间点、直线、平面之间的位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的基本事实和定理． 3．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． [对应学生用书P9] 一、与平面有关的基本事实及推论 1．与平面有关的三个基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实 1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 基本 事实 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.基本事实1的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 基本事实1及推论是判断或证明点、线共面的依据；基本事实2是判断一条直线是否在某个平面内的依据；基本事实3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示三个基本事实． 二、空间点、直线、平面之间的位置关系 位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 相交 关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有 关系 图形 语言 符号 语言 a，b是 异面直线 a⊂α 三、基本事实4和等角定理 1．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 四、异面直线所成的角 1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2．范围：(0，]． 1．异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 一、“教考衔接”例证 高 考 真 题 (2021·新高考Ⅱ卷)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点．则满足MN⊥OP的是(　　) 追 根 溯 源 (人教A版必修第二册P147例2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD． 发 现 感 悟 两题均以正方体为背景，考查线线垂直的判断．解答此类问题常用的方法是几何法，其关键是熟练掌握三种垂直关系的转化和作出恰当的辅助线 二、教材典题改编 1．(多选)(人教A版必修第二册P128T2改编)下列命题是假命题的是(　　) A．空间不共线的三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定三个平面 答案：BCD 2．(人教A版必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是(　　) A． B． C． D． 答案：D 3．(人教A版必修第二册P131T1改编)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　) A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 答案：D 4．(人教A版必修第二册P132T5改编)三个平面最多能把空间分为 部分，最少能把空间分成 部分． 答案：8　4 三、易误易混澄清 1．(误解异面直线的概念)下列关于异面直线的说法，正确的是(　　) A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面 答案：D 2．(忽视直线在平面内的情况)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　) A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α 答案：D [对应学生用书P11] 考点一　基本事实的应用 [例1] 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 证明：(1)如图所示， 连接EF，CD1，A1B． ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B． ∵A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF与CD1可确定一个平面， 即E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴直线CE与直线D1F必相交，设交点为P. 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA， ∴CE，D1F，DA三线共点． 共面、共线、共点问题的证明思路 (1)共面：先确定一个平面，然后再证其他的线(或点)在这个平面内，或者用重合法证明． (2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上，或直接证明点都在同一特定直线(如面面交线)上． (3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 训练1 (1)在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．如果EF∩HG＝P，则点P(　　) A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 B　解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC． (2)如图，P，Q，R，S分别是正方体或四面体所在棱的中点，则在下列图形中，这四个点不共面的一个图是(　　) D　解析：A中，由PQ与SR相交，可知P，Q，R，S四点共面；B中，由QR与PS相交，可知P，Q，R，S四点共面；C中，由PQ∥SR，可知P，Q，R，S四点共面；D中，由QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，可知四点不共面． 考点二　空间两直线位置关系的判断 [例2] (1)(2025·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　) A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 (2)(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论中正确的是(　　) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线 (1)D　(2)CD　解析：(1)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中， ①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交； ②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行； ③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面． (2)因为直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以A，B错误；因为点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线，所以C，D正确． 空间两直线位置关系的判定方法 训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交或平行 D．平行或异面或相交 D　解析：根据条件作出示意图，得到如图三种可能的情况． 由图可知AB，CD有相交、平行、异面三种情况． (2)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 D　解析：构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取AD为l1，AA1为l2，A1B1为l3，当取B1C1为l4时，l1∥l4；当取BB1为l4时，l1⊥l4；当取A1D为l4时，l1与l4既不垂直也不平行．故l1与l4的位置关系不确定． 考点三　求异面直线所成的角 [例3] 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A． B． C． D． D　解析：方法一　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接C1P，BC1， 则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则BC1＝2， PC1＝B1P＝＝，BP＝＝.在△BPC1中，cos ∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝. 方法二　如图，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角， 由P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1， 所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝.又P为A1C1的中点，所以∠PBC1＝∠A1BC1＝，故直线PB与AD1所成的角为. 异面直线所成角的求法 方法 解读 平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 训练3 (1)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． A　解析：如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD­A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF1E，则m，n所成的角为∠EAF1.∵△AF1E为正三角形， ∴sin ∠EAF1＝sin 60°＝. (2)在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD与BC所成角的大小为 ． 答案：30°　解析：设BD的中点为O，连接EO，FO， 所以EO∥AD，FO∥BC，则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD与BC所成的角，所以EO＝AD＝1，FO＝BC＝， EF＝.在△EOF中，根据余弦定理，得cos ∠EOF＝ ＝＝＝－， 所以∠EOF＝150°，即异面直线AD与BC所成角的大小为30°. [课时训练(3)见P150] 学科网（北京）股份有限公司 $$