第四章 第2节 排列与组合（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第2节　排列与组合 1．理解排列、组合的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．并能利用公式解决一些简单的实际问题． [对应学生用书P86] 一、排列与排列数 1．排列与排列数 (1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A. 2．排列数公式及性质 (1)排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m，n∈N*，且m≤n). (2)排列数性质：①A＝n！； ②0！＝1． 二、组合与组合数 1．组合与组合数 (1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C. 2．组合数公式及性质 (1)组合数公式 C＝＝ ＝(m，n∈N*，且m≤n). (2)组合数性质 ①C＝1； ②C＝C； ③C＝C＋C. 1．“排列”与“组合”的辨析：排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合． 2．排列数与组合数之间的联系：CA＝A. 3．关于组合数公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用C＝·＝＝C进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． (3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算． 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种(用数字作答) 追根 溯源 (人教A版选择性必修第三册P25T3)有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩．(1)共有多少种不同的选法？(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法 发现 感悟 两题均以学生实际生活为背景考查组合问题，考查角度及所用知识一致，解决此类问题的关键是区分分类加法计数原理与分步乘法计数原理，排列与组合的区别 二、教材典题改编 1．[人教A版选择性必修第三册P26T4(2)改编]从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数为(　　) A．12 B．24 C．64 D．81 答案：B 2．(苏教版选择性必修第二册P96T4改编)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________． 答案：30 三、易误易混澄清 1．(不能正确运用捆绑法)现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有________种． 答案：240　解析：先把甲、乙二人捆绑在一起，再把甲、乙看成一个整体和其他4人进行全排列，故有AA＝240种排法． 2．(解题时易出现重复的情况)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区宣传活动，如果要求至少有1名女生参加，那么不同的选派方案种数为________． 答案：14　解析：4人中至少有1名女生包括两种情况：1女3男，2女2男，故有CC＋CC＝14(种). [对应学生用书P87] 考点一　排列问题 [例1] 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定． 解：(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种). (2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种). (3)方法一(特殊元素优先法)　先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种). 方法二(特殊位置优先法)　左右两边位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法， 共有AA＝3 600(种). (4)方法一(特殊元素优先法)　甲在最右边时，其他的可全排，有A种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种方法，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A种，其余人全排列，有A种不同排法，共有A＋AAA＝3 720(种). 方法二(间接法)　7人全排列，有A种方法，其中甲在最左边时，有A种方法，乙在最右边时，有A种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A种方法，故共有A－2A＋A＝3 720(种). (5)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有＝840(种). 排列应用问题的解题策略 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法； (2)在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 训练1 (1)(2025·成都模拟)象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将(帅)、车、马、炮、卒(兵)等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“帅”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有(　　) A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 D　解析：先将3个红色的“帅”“车”“马”棋子进行全排列，有A种方法，3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有A种方法，则同色棋子不相邻的排列方式有AA＝12(种). (2)(2025·新余模拟)甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有(　　) A．48种 B．66种 C．72种 D．78种 D　解析：采用间接法，先5人全排列有A种，去掉甲在中间的有A种，乙排最左端的有A种，然后加上甲在中间且乙在最左端的有A种，则共有A－A－A＋A＝78种排法． 考点二　组合问题 [例2] 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 解：(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)， ∴某一种假货必须在内的不同取法有561种． (2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或C－C＝C＝5 984(种). ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种． (3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100(种). ∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种． (4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种). ∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种． (5)选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090(种). ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种． 组合问题常有以下两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 训练2 (1)(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 C　解析：甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C＝6种情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有CC＝20种情况．由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120种选法． (2)(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答). 答案：64　解析：方法一　由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有CC种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有CC种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有CC种方案．综上，不同的选课方案共有CC＋CC＋CC＝64(种). 方法二　若学生从这8门课中选修2门课，则有C－C－C＝16种选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C－C－C＝48种选课方案．综上所述，不同的选课方案共有16＋48＝64(种). 考点三　排列与组合的综合 考向1　相邻与相间问题 [例3] (2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 B　解析：先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24(种). 考向2　定序问题 [例4] 有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种. 答案：840　解析：7名学生的排列共有A种，其中女生的排列共有A种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有＝A＝840种不同的排法． 考向3　分组、分配问题 [例5] 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本． 解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下3本全选有C种方法， 故共有CCC＝60种． (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360(种). (3)无序均匀分组问题，共有＝15(种). (4)在第(3)问的基础上，还应考虑再分配，共有 15A＝90(种). (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以A即可，共有＝15(种). (6)在第(5)问的基础上，还应考虑再分配，共有 15A＝90(种). 排列与组合综合问题的解法与注意点 (1)求解排列问题的常用方法 ①优先法：优先安排特殊元素或特殊位置； ②捆绑法：相邻问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列； ③插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中； ④定序问题除法处理：对于定序问题，可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列； ⑤间接法：正难则反、等价转化的方法． (2)对于分堆与分配问题应注意三点 ①处理分配问题要注意先分堆再分配； ②“分配”问题是排列问题； ③分堆时要注意是否均匀，均匀“分堆”是组合问题． 训练3 (1)3名大学生利用假期到2个山村参加志愿工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．8种 C　解析：根据题意，可先将3名大学生分成2组，一组2人，一组1人，共有C＝3种分法，再将这两组分配到2个山村，有A＝2种分法，故共有3×2＝6种分配方案． (2)(多选)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有(　　) A．若A，B不相邻，共有72种排法 B．若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法 C．若A在B右边有60种排法 D．若A，B两人站在一起有48种排法 ACD　解析：对于A，若A，B不相邻，共有AA＝72种排法，故A正确；对于B，若A不站在最左边，B不站在最右边，利用间接法有A－2A＋A＝78种排法，故B错误；对于C，若A在B右边有＝60种排法，故C正确；对于D，若A，B两人站在一起有AA＝48种排法，故D正确． (3)(2025·南京开学考试)某校抽调志愿者去服务社区，已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务．每个社区分配2名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有________种． 答案：72　解析：有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，共有·A＝90种分配方案；若两名学生分在同一社区，则有CC＝18种分配方案．因为两名学生不分在同一社区，所以不同的分配方案有90－18＝72(种). [课时训练(27)见P216] 学科网（北京）股份有限公司 $$