第三章 第2节 用样本估计总体（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第2节　用样本估计总体 1．会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数． 2．会用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度． [对应学生用书P73] 一、中位数、众数、平均数、百分位数 1．中位数 将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． 2．众数 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 3．平均数 一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)． 4．百分位数 (1)第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 二、样本的数字特征 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么：平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)＝i， 标准差为 s＝＝＝， 方差为s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝(xi－)2＝－2. 1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a. 2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变． 3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (多选)(2021·高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(　　) A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 追根 溯源 (人教B版必修第二册P91T2)已知x1，x2，…，xn的平均数为10，标准差为3，且yi＝xi＋2，i＝1，2，…，n.求y1，y2，…，yn的平均数与方差 发现 感悟 解决样本数字特征问题的关键是理解数字特征的定义，高考题和教材习题在解题过程中都运用数学运算技能进行中位数、极差、平均数、标准差的计算 二、教材典题改编 (人教A版必修第二册P203例2改编)一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为________． 答案：14.5 三、易误易混澄清 (混淆众数、中位数、平均数的概念)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的众数为________，这次测试数学成绩的中位数为________(精确到0.1)，这次测试数学成绩的平均数为________． 答案：75　73.3　72 [对应学生用书P74] 考点一　总体百分位数的估计 1．(2025·杭州开学考试)数据4，2，5，2，6，0的上四分位数是(　　) A．2 B．4 C．5 D．6 C　解析：将数据从小到大排列得：0，2，2，4，5，6，因为6×75%＝4.5，所以上四分位数是第5个数据，为5. 2．(2025·临沂模拟)一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，13，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(　　) A．4 B．4.5 C．5 D．9 C　解析：极差为17－2＝15，故该组数据的中位数是15×＝9，数据共6个，故中位数为＝9，解得m＝5，6×40%＝2.4，故该组数据的第40百分位数为从小到大排列的第3个数，故该组数据的第40百分位数是5. 3．若数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是________． 答案：[4.5，＋∞)　解析：因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6个数据为4.5，所以应该有5个数据不大于4.5，则x≥4.5. 4．将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________．(结果保留两位小数) 答案：124.44　解析：由频率分布直方图可知，成绩在120分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，成绩在130分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.022 5)×10×100%＝92.5%， 因此，80%分位数一定位于[120，130)内．因为120＋×10≈124.44，所以此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44. 1．计算一组数据的第p百分位数的步骤 2．直方图中可运用面积和求第p百分位数． 考点二　总体集中趋势的估计 考向1　样本的数字特征的计算 [例1] (1)(多选)给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的(　　) A．众数为2 B．平均数为3 C．方差为1.6 D．标准差为0.4 (2)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) 频数 6 12 18 亩产量 [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200) 频数 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 (1)BC　(2)C　解析：(1)由题中数据可得，众数为2和3，故A错误；平均数为＝＝3，故B正确； 方差s2＝＝1.6，标准差为≠0.4，故C正确，D错误． (2)对于A选项，因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050，1 100)，故A不正确； 对于B选项，100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%＝66%，故B不正确； 对于C选项，因为1 200－900＝300，1 150－950＝200，所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间，故C正确； 对于D选项，100块稻田亩产量的平均值为×(925×6＋975×12＋1 025×18＋1 075×30＋1 125×24＋1 175×10)＝1 067(kg)，故D不正确． 综上所述，故选C． 考向2　频率分布直方图中的数字特征 [例2] 统计局就某地居民的月收入(单位：元)情况调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[2 500，3 000)内． (1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层随机抽样的方法抽出100人做进一步分析，则月收入在[4 000，4 500)内的应抽取多少人？ (2)估计该地居民月收入的中位数； (3)假设同组中的数据用该组区间的中点值为代表，估计该地居民月收入的平均数． 解：(1)因为(0.000 2＋0.000 4＋0.000 3＋0.000 1)×500＝0.5，所以2a×500＝0.5，所以a＝0.000 5.又0.000 5×500＝0.25，所以月收入在[4 000，4 500)内的频率为0.25，所以月收入在[4 000，4 500)内的应抽取的人数为0.25×100＝25. (2)因为0.000 2×500＝0.1，0.000 4×500＝0.2，0.1＋0.2＝0.3<0.5，0.000 5×500＝0.25，0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，所以样本数据的中位数是3 500＋＝3 900.因此估计该地居民月收入的中位数是3 900元． (3)样本平均数为(2 750×0.000 2＋3 250×0.000 4＋3 750×0.000 5＋4 250×0.000 5＋4 750×0.000 3＋5 250×0.000 1)×500＝3 900，因此估计该地居民月收入的平均数为3 900元. 总体集中趋势估计的关注点 (1)中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”，我们需根据实际需要选择使用． (2)频率分布直方图中的数字特征 ①众数：最高的矩形底边中点的横坐标． ②中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和是相等的． ③平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个矩形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 训练1 (1)(多选)(2025·广州阶段检测)某学校随机抽取200名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示，据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是(　　) A．众数为60或70 B．25%分位数为65 C．平均数为73 D．中位数为75 BC　解析：对于A，由频率分布直方图可知，小矩形最高是[60，70)这一小组，所以众数为＝65，因此本选项错误；对于B，[50，60)这一小组的小矩形面积为0.005×10＝0.05，[60，70)这一小组的小矩形面积为0.04×10＝0.4，设25%分位数为x，所以有0.05＋(x－60)×0.04＝0.25，所以x＝65，因此本选项正确；对于C，平均数为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73，因此本选项正确；对于D，[70，80)这一小组的小矩形面积为0.03×10＝0.3，设中位数为y，则结合B选项有0.05＋0.4＋(y－70)×0.03＝，解得y＝，因此本选项错误． (2)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 BD　解析：取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为＝，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．综上可知，选BD． (3)国内生产总值(GDP)是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标．根据统计数据显示，某市在2024年间经济高质量增长，GDP稳定增长，第一季度和第四季度的GDP分别为232亿元和241亿元，且四个季度的GDP逐季度增长，中位数与平均数相等，则该市2024年的GDP总额为________亿元． 答案：946　解析：依题意，将2024年四个季度的GDP数据分别记为a1，a2，a3，a4，则a1＝232，a4＝241，四个季度GDP数据的中位数为(a2＋a3)，平均数为(a1＋a2＋a3＋a4)，则(a2＋a3)＝(a1＋a2＋a3＋a4)，∴a2＋a3＝a1＋a4＝473，故该市2024年的GDP总额为a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a4)＝946(亿元). 考点三　总体离散程度的估计 [例3] (2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下： 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高．) 解：(1)由题意，求出zi的值如表所示， 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12 则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)因为2＝2＝.＝11＝>， 所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 总体离散程度估计的思路 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 训练2 (2025·济南调研)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 解：(1)甲＝×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85， 乙＝×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85， s＝×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5， s＝×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41. (2)由(1)知甲＝乙，s<s， 甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适． [课时训练(24)见P207] 学科网（北京）股份有限公司 $$