第二章 第5节 椭圆（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第5节　椭　圆 1．理解椭圆的定义、几何图形、标准方程． 2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、轴、焦距、离心率). 3．掌握椭圆的简单应用． [对应学生用书P48] 一、椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． 1．若a>c，则集合P为椭圆． 2．若a＝c，则集合P为线段． 3．若a<c，则集合P为空集． 二、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的 关系 c2＝a2－b2 (1)焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大． (2)离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，椭圆越扁． 椭圆的焦点三角形的相关结论 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大． (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤()2＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c). 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 追根 溯源 (苏教版选择性必修第一册P86T6)若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长 发现 感悟 两题均为利用椭圆定义求解三角形周长问题，解决此类问题的关键是选择合适的方法对周长进行拆分．高考题在求解中用到弦长公式，要求具备良好的数式运算技能 二、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第一册P109T1改编)椭圆＋＝1上的点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为(　　) A．6 B．3 C．4 D．2 答案：A 2．(北师版选择性必修第一册P55T2改编)椭圆＋＝1的离心率是(　　) A． B． C． D． 答案：B 3．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 D　解析：把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝. 三、易误易混澄清 1．(忽视参数的限制条件)若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为(　　) A．(5，7) B．(5，6) C．(6，7) D．(5，6)∪(6，7) D　解析：由题意可知解得5＜k＜7且k≠6. 2．(忽视椭圆方程中未知数的取值范围)若F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则·的最小值是 ． 答案：1　解析：设P为(x，y)，依题意得F1(－2，0)，F2(2，0)，则·＝(－2－x)(2－x)＋y2＝x2＋y2－4＝x2＋1.因为0≤x2≤9，所以1≤x2＋1≤5，所以P·的最小值是1. [对应学生用书P49] 考点一　椭圆的定义及应用 [例1] (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N为(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 (2)(多选)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则(　　) A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2 C．点P到x轴的距离为 D．·＝2 (1)B　(2)BCD　解析：(1)点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，圆心M为(－2，0)，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|＝4.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆． (2)由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故A选项错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1||PF2|·cos ∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－|PF1||PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，因为∠F1PF2∈(0，π)，所以sin ∠F1PF2＝＝，S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2＝×6×＝2，故B选项正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝|F1F2|·d＝×2d＝2，解得d＝，故C选项正确；·＝||||·cos ∠F1PF2＝6×＝2，故D选项正确． 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等，思路是利用定义，借助焦点三角形，利用正余弦定理及基本不等式求解． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 训练1 (1)(2025·郑州模拟)若F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A，B为椭圆C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为(　　) A．4 B．8 C．10 D．20 D　解析：由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝(|AF2|＋|AF1|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4a＝20. (2)(2025·张家口开学考试)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且|PF1|∶|PF2|＝2∶5，则C的长轴长与焦距的比值为(　　) A． B． C． D． D　解析：由|PF1|＋|PF2|＝2a，结合题设有|PF1|＝a，|PF2|＝a.由PF1⊥PF2，得(a)2＋(a)2＝(2c)2，化简得29a2＝49c2，故C的长轴长与焦距的比值为＝＝＝. (3)在平面直角坐标系xOy中，已知P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为 ． 答案：5　解析：∵椭圆的方程为＋＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点．设另一个焦点为C(0，1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋4－|PC|≤4＋|AC|＝5，即|PA|＋|PB|的最大值为5. 考点二　椭圆的标准方程 [例2] (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(y>0) B．＋＝1(y>0) C．＋＝1(y>0) D．＋＝1(y>0) (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(－，)，(，)，则椭圆方程为 ． 答案：(1)A　(2)＋＝1　解析：(1)设点M(x，y)，则P(x，y0)，P′(x，0)，因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x，2y)，又P在圆x2＋y2＝16(y>0)上，所以x2＋4y2＝16(y>0)，即＋＝1(y>0)，即点M的轨迹方程为＋＝1(y>0). (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n).由解得m＝，n＝，∴椭圆方程为＋＝1. 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． 训练2 (1)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　解析：由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且S△PF2Q＝4，|PF2|＋|F2Q|＝6，则椭圆E的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 C　解析：如图，连接PF1，QF1. 由椭圆的对称性得四边形PF1QF2为平行四边形，所以|PF2|＋|F2Q|＝|PF2|＋|PF1|＝2a＝6，得a＝3. 又PF2⊥F2Q， 所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF2|＝m，|F2Q|＝n，则S△PF2Q＝mn＝4，所以得或 则|F1F2|＝2，则c＝，b2＝a2－c2＝4，椭圆E的标准方程为＋＝1. 考点三　椭圆的几何性质 考向1　椭圆的离心率 [例3] (1)(2025·贵港开学考试)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在M上，Q为PF2的中点，且F1Q⊥PF2，|F1Q|＝b，则M的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)(2025·邵阳模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得＝，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A．[－1，1) B．(－1，1) C．(0，－1) D．(0，－1] (1)C　(2)B　 解析：(1)如图所示， 根据题意可知|PF1|＝|F1F2|＝2c，由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a可得|PF2|＝2a－2c.又Q为PF2的中点，可得|PQ|＝a－c.因为|F1Q|＝b，由勾股定理可得|F1Q|2＋|PQ|2＝|PF1|2，即b2＋(a－c)2＝(2c)2，结合b2＋c2＝a2整理可得2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍). (2)由＝，得＝＝＝，得|PF1|＝.∵|PF1|∈(a－c，a＋c)，∴a－c<<a＋c， ∴a2－c2<2ac<(a＋c)2，即e2＋2e－1>0，又e∈(0，1)，∴e∈(－1，1). 求椭圆离心率的值或范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. (4)利用几何性质：|x|<a或a－c≤|PF1|≤a＋c等建立不等关系求范围． 考向2　与椭圆有关的范围(最值)问题 [例4] (多选)已知椭圆＋＝1，F1，F2为其左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　) A．S△PF1F2的最大值为4 B．|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2] C．不存在点P使PF1⊥PF2 D．|PB|的最大值为2 AB　解析：依题意知，a＝4，b＝2，c＝2.当P为短轴顶点时，(S△PF1F2)max＝×2c×b＝4，故A正确；由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确；对于C，sin ∠F2BO＝＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；对于D，设P为(x0，y0)，所以|PB|＝.又＋＝1，所以x＝16－4y，所以|PB|＝＝＝，又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，|PB|max＝＝，故D错误． 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是基本不等式． 训练3 (1)(2024·葫芦岛一模)已知F1，F2分别是椭圆C：＋y2＝1(m>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|PF1|＋|PF2|＝6，则椭圆C的离心率是(　　) A． B． C． D． C　解析：因为P是椭圆C上的一点，且|PF1|＋|PF2|＝6，即2a＝6，所以a＝3，则m＝a2＝9，即椭圆C：＋y2＝1，则c＝＝2，所以离心率e＝＝. (2)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，过F2作x轴的垂线与椭圆在第一象限的交点为A．已知Q(c，a)，|F2Q|>|F2A|，P是椭圆C上的动点，且|PF1|＋|PQ|<|F1F2|恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 答案：(，1)　解析：如图，∵|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|≤2a＋|QF2|＝，|F1F2|＝3c，∴<3c⇒e>.又|F2Q|>|F2A|，∴>⇒<⇒e>.又椭圆离心率e∈(0，1)，综上可得e∈(，1). (3)已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则·的取值范围为 ． 答案：[0，16]　解析：方法一　由题意知A(－4，0)，F(2，0)，设M为(x0，y0)，则·＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(x0－2)(x0＋4)＋y＝x＋2x0－8＋12－x＝x＋2x0＋4＝(x0＋4)2.因为＋＝1，所以＝1－≤1，所以－4≤x0≤4，所以0≤·≤16. 方法二　由题意知A(－4，0)，F(2，0)，设M为(x0，y0)，取线段AF的中点N，则N为(－1，0)，连接MN，如图， 则· ＝ ＝＝2－9＝(x0＋1)2＋y－9＝x＋2x0＋1＋12－x－9＝x＋2x0＋4＝(x0＋4)2.因为＋＝1，所以＝1－≤1，所以－4≤x0≤4，所以0≤·≤16. [对应学生用书P51] 椭圆的有关二级结论 1．焦点三角形的面积公式：P为椭圆上异于长轴端点的一点，F1，F2为左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则椭圆中＝b2·tan . 2．椭圆的焦半径公式：已知点P(xP，yP)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，e为椭圆的离心率，则|PF1|＝a＋exP，|PF2|＝a－exP. 3．焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则＋＝. 4．周角定理：已知点P为椭圆＋＝1(a>b>0)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或短轴)端点，则kPA·kPB＝－. 5．过椭圆上一点的切线方程：已知点P(x0，y0)为焦点在x轴上的椭圆上任一点，则过点P与椭圆相切的切线方程为＋＝1. [例] (2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 B　解析：一般法解题　因为·＝0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2. 二级结论解题　因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则＝|PF1|·|PF2|＝b2tan ，得|PF1|·|PF2|＝1×tan ，所以|PF1|·|PF2|＝2. 训练 (1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 D　解析：由e＝，得＝，即a＝2c.设△F1PF2的内切圆半径为r，则由△F1PF2的内切圆的面积为3π，可得πr2＝3π，解得r＝(负值舍去).在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知S△F1PF2＝b2tan ＝r(2a＋2c)，即b2＝(a＋c).结合a2＝b2＋c2，易得a＝6.所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. (2)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点．若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　) A． B． C．－1 D．－ B　解析：一般法解题　由题意，椭圆＋＝1(a>b>0)，∠F1AF2＝90°，在Rt△OAF2中，|OA|＝b，|AF2|＝a，∠OAF2＝45°，∴a＝b.不妨设b＝1，则a＝，c＝1，则椭圆的方程为＋y2＝1.又A(0，1)，F2(1，0)，∴kAF2＝－1，∴直线AF2的方程为y＝－x＋1.联立方程组整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝. 把x＝代入直线y＝－x＋1，解得y＝－，即M(，－).又点B(0，－1)，∴直线BM的斜率kBM＝＝. 二级结论解题　∵∠F1AF2＝90°， ∴△F1AF2为等腰直角三角形，即b＝c. ∴a2＝2b2＝2c2，∴＝，且∠AF2O＝45°， ∴kMA＝－1.又kMA·kMB＝－＝－， ∴kMB＝. (3)已知椭圆C：＋＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2，则|AB|＝ ，cos ∠F1AB＝ ． 答案：　－　解析：由椭圆方程知a＝4，b＝2，|AF2|＝2. 又＋＝，即＋＝，解得|BF2|＝，所以|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝.由椭圆定义知|AF1|＝2a－|AF2|＝6，|BF1|＝2a－|BF2|＝.在△AF1B中，由余弦定理，得cos ∠F1AB＝＝－. [课时训练(14)见P180] 学科网（北京）股份有限公司 $$