第二章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系 1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 2．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题及实际问题． [对应学生用书P44] 一、直线与圆的位置关系 设圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心O(a，b)到直线l的距离为d.由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程 观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何 观点 d>r d＝r d<r 二、圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 位置 关系 方法 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程求方程组解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．切线长 (1)从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为. (2)两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 一、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第一册P93T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 答案：B 2．(人教B版选择性必修第一册P116练习BT1改编)圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 D　解析：圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，故圆心为Q(2，0).∵点P(1，)在圆Q上，∴kPQ＝，∴所求切线方程为(1－2)(x－2)＋(－0)(y－0)＝4，即x－y＋2＝0. 3．(人教A版选择性必修第一册P91例1改编)直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为 ． 答案：　解析：将圆的方程化为标准式，可得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心的坐标为(1，2)，半径r＝.则圆心到直线的距离为＝.由勾股定理，可知其弦长为2＝. 4．(人教A版选择性必修第一册P98练习T1改编)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是 ． 答案：内切 5．(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为 ． 答案：x－y＋2＝0　解析：将两圆方程相减，得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0. 二、易误易混澄清 1．(混淆直线与圆有公共点和直线与圆相交)若曲线C：x2＋(y＋1)2＝1与直线l：x＋y＋a＝0有公共点，则实数a的取值范围为 ． 答案：[1－，1＋]　解析：易知圆心(0，－1)到直线l的距离小于或等于半径，故≤1，解得1－≤a≤1＋. 2．(忽视两圆相切有两种情况)若半径为r，圆心为(0，1)的圆和定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则r的值等于 ． 答案：－1或＋1 [对应学生用书P45] 考点一　直线与圆的位置关系的判断 [例1] (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 (2)设点A(－2，3)，B(0，a)，直线AB关于直线y＝a的对称直线为l，已知l与圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围为 ． 答案：(1)A　(2)[，]　解析：(1)方法一(代数法)　由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0.因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交． 方法二(几何法)　由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离为d＝<1<＝r，所以直线l与圆相交． 方法三(定点法)　直线l：mx－y＋1－m＝0，整理得m(x－1)－y＋1＝0，过点(1，1)，而12＋(1－1)2<5，即(1，1)在圆内，所以直线l与圆相交． (2)由题意知直线l过点B，点A(－2，3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2，2a－3)，所以直线l的方程为y＝x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0.由题意知，圆心C(－3，－2)到直线l的距离d＝≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，故a的取值范围为[，]. 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 训练1 (1)(2025·江淮十校联考)已知直线l：x cos α＋y sin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相交，则r的取值范围是(　　) A．(0，1] B．(0，1) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) D　解析：圆心到直线的距离为d＝＝1，故r＞1. (2)已知直线l：y＝kx与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，则“k＝”是“直线l与圆C相切”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心C为(2，1)，半径为1，直线l与圆C相切，圆心C到直线l的距离等于半径，即d＝＝1，解得k＝或k＝0.当k＝时，直线l与圆C相切．当直线l与圆C相切时，k的值不一定是，则“k＝”是“直线l与圆C相切”的充分不必要条件． 考点二　圆的切线与弦长问题 考向1　圆的切线问题 [例2](1)(2025·潍坊开学考试)已知圆C：x2＋y2－2x＝0，则过点P(3，0)的圆C的切线方程是(　　) A．y＝±(x－3) B．y＝±2(x－3) C．y＝±(x－3) D．y＝±(x－3) (2)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B． C． D． (1)C　(2)B　解析：(1)将P(3，0)代入圆的方程得32＋02－2×3＝3>0，则该点在圆外．圆C：x2＋y2－2x＝0，即圆C：(x－1)2＋y2＝1，则其圆心为(1，0)，半径为1，当切线斜率不存在时，直线方程为x＝3，显然不合题意，故舍去．设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，则有＝1，解得k＝±，此时切线方程为y＝±(x－3). (2)如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝， 所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2.由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝.又∈(0，)，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2××＝. 求圆的切线方程时常用的两种方法 (1)代数法：将直线方程代入圆的方程中，消去一个未知数(x或y)，令一元二次方程的判别式等于0，求出相关参数． (2)几何法：将圆的切线方程设为一般式，根据圆心到直线的距离等于半径，求出相关参数，解决问题． (3)过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 考向2　圆的弦长问题 [例3] (1)(2025·临沂月考)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为 ． (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 . 答案：(1)5　(2)2(答案不唯一，可以是±，±2中任意一个) 解析：(1)由题意知圆心为O(0，0)，圆心到直线的距离d＝＝4.取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB． 在Rt△OMA中，r＝＝5. (2)设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心为C(1，0)，半径r＝2，则圆心C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝.由S△ABC＝，得××＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±，故答案可以为2. 直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋()2，整理出弦长公式为l＝2. (2)代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． (3)弦长公式法：设直线l：y＝kx＋b与圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长l＝|x1－x2|＝. 考向3　最值(范围)问题 [例4] (1)(2025·杭州质检)若直线y＝kx＋1与圆C：(x－2)2＋y2＝9相交于A，B两点，则|AB|的取值范围为(　　) A．[2，6] B．[4，6] C．[3，7] D．[4，8] (2)已知圆O：x2＋y2＝4，过直线l：2x＋y＝10上的一点P作圆O的一条切线，切点为M，则|PM|的最小值为(　　) A．4 B．5 C． D．2 (1)B　(2)A　解析：(1)易知直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，又点(0，1)在圆C：(x－2)2＋y2＝9内，所以|AB|≥2＝4，所以4≤|AB|≤6. (2)圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2.设P为(x0，y0)，则2x0＋y0＝10，即y0＝10－2x0，则|PM|＝＝＝＝≥＝4，当且仅当x0＝4时，等号成立． 切线长的最值范围问题的解题关键 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，再利用求函数取值范围(或最值)的方法求得结果． 训练2 (1)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C的弦长的最小值为2，则m＝(　　) A．±2 B．± C．± D．±3 C　解析：圆心C(0，0)，半径r＝2，则圆心C到直线l的距离d＝.设弦长为a，则由弦长公式可得d＝＝.若a取最小值2，则d取最大值＝.又d＝，≥1，所以d的最大值为|m|，所以|m|＝，即m＝±. (2)(2024·南京师大附中校考一模)过点P(3，－2)且与圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0相切的直线方程为 ． 答案：x＝3或3x＋4y－1＝0　解析：将圆C的一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－2)2＝4，则圆心为C(1，2)，半径为r＝2.当过点P(3，－2)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，是圆C的切线，满足题意；当过点P(3，－2)的直线斜率存在时，可设直线方程为y＋2＝k(x－3)，即kx－y－3k－2＝0，利用圆心到直线的距离等于半径，得＝2，解得k＝－，因此直线方程为3x＋4y－1＝0.故所求直线方程为x＝3或3x＋4y－1＝0. 考点三　圆与圆的位置关系问题 [例5] (多选)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是(　　) A．C1与C2的公切线恰有4条 B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0 C．C1与C2相交弦的弦长为 D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12 BD　解析：由已知得圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝3，圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2＝4，|C1C2|＝＝5.因为r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误；两圆的方程作差可得C1与C2相交弦所在直线的方程为3x＋4y－9＝0，故B正确；C1到相交弦的距离为＝，故相交弦的弦长为2×＝，故C错误；若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12，故D正确． 圆与圆的位置关系的解题策略 (1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． (3)求两圆公共弦长时，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解． 训练3 (2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 ． 答案：x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(填一个即可)　解析：如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1；②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由得由对称性可知公切线l2过点(－1，－).设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1)(k≠0)，则点O(0，0)到l2的距离为＝1，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0；③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直．设公切线l3的方程为y＝－x＋t，易知t＞0，则点O(0，0)到l3的距离为＝1，解得t＝，所以公切线l3的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.综上可知，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 常见的圆系方程 1．圆心为定点(a，b)的同心圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中a，b为定值，r是参数． 2．半径为定值r的圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中a，b为参数，r>0是定值． 3．过圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线Ax＋By＋C＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R). 4．过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，此圆系方程中不含圆C2. [例] 圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为 ． 答案：x2＋y2－x＋7y－32＝0　解析：由题意可设所求圆的方程为(x2＋y2＋6x－4)＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，∴圆心(－，－)在直线x－y－4＝0上，∴－＋－4＝0，∴λ＝－7，∴圆的方程为－6x2－6y2＋6x－42y－4＋196＝0，即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 训练 (多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的是(　　) A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2 C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b ABC　解析：圆C2的方程可化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，则将圆C1与圆C2的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2.将A，B两点的坐标代入直线AB的方程可得 两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以A，B正确．由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以C正确，D错误． [课时训练(13)见P178] 学科网（北京）股份有限公司 $$