第二章 第3节 圆的方程（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第3节　圆的方程 1．理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． 2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． [对应学生用书P41] 一、圆的定义及方程 二、点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： 1．|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； 2．|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； 3．|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 1．几种特殊位置的圆的方程 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在 原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 圆心 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在 x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在 y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴 相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴 相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 2.圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上． (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为 追根 溯源 (人教A版选择性必修第一册P84例3)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程 发现 感悟 两题命题方式几乎完全一致．求圆的方程关键是设方程，设标准方程还是一般方程，是选择待定系数法建立方程组还是结合几何性质求垂直平分线方程，要仔细考量，运算也有差别，要防止计算错误丢分 二、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第一册P85T1改编)圆心坐标为(2，－3)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝ B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝ C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 答案：D 2．(人教A版选择性必修第一册P102T7改编)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为(　　) A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．[－2，0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞) B　解析：由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2. 3．(北师版选择性必修第一册P44T2)已知圆C：2x2＋2y2＋4x－2y－1＝0，则圆心的坐标为 ，半径为 ． 答案：(－1，)　 4．(人教A版选择性必修第一册P85T3改编)已知点A(1，0)，B(0，3)，则以AB为直径的圆的方程是 . 答案：x2＋y2－x－3y＝0 三、易误易混澄清 1．(错用点与圆的位置关系判定)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是 ． 答案：(－，)　解析：∵点(0，0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－＜m＜. 2．(忽视隐含条件)已知P(x，y)是圆x2＋y2＝1上的动点，则x2＋4y的最大值为 ． 答案：4　解析：由题意得，x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5，因为y∈[－1，1]，所以当y＝1时，x2＋4y取得最大值4. [对应学生用书P42] 考点一　圆的方程 [例1] 求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程． 解：方法一　设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a).又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝－2， 所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法二　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得解得 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法三　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为(－，－). 由题意得 解得 故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0，即(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 训练1 (1)(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A． B．2 C．3 D．3 D　解析：由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝3. (2)已知圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 A　解析：设两端点分别为(a，0)和(0，b)，则a＋0＝2×2，0＋b＝2×(－3)，即a＝4，b＝－6，所以直径为＝2，即半径为，故圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. (3)(2024·邯郸模拟)已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为 ． 答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝13　解析：由题设知，|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5，得|PA|<|PB|<|PC|，要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以|PB|为半径，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13. 考点二　与圆有关的轨迹问题 [例2] 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A为(－1，0)，B为(3，0). (1)求直角顶点C的轨迹方程； (2)求直角边BC的中点M的轨迹方程． 解：(1)方法一　设C为(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1. 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D为(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2. 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). (2)设M为(x，y)，C为(x0，y0). 因为B为(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 求与圆有关的轨迹方程的方法 训练2 (1)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．x2＋y2－2x－2y－3＝0 C．x2＋y2－2y－3＝0 D．y2＝－4x B　解析：因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C为(1，1)，半径r＝1.因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1.又AM与圆相切，且|AM|＝2，则|AC|＝＝.设A为(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. (2)(2024·烟台一模)若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹为 ． 答案：以(0，0)为圆心，5为半径的圆　解析：设点M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，则＝10，a2＋b2＝100，且 ∴代入a2＋b2＝100，得4x2＋4y2＝100，即x2＋y2＝25，即点M的轨迹为以原点(0，0)为圆心，5为半径的圆． 考点三　与圆有关的最值问题 考向1　借助几何性质求最值 [例3] (2024·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 解：(1)方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆． 设＝k，即y＝kx，则圆心(2，0)到直线y＝kx的距离为半径时，直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由＝，解得k2＝3，∴kmax＝，kmin＝－， ∴()max＝，()min＝－. (2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取得最小值， 由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－. (3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4. 与圆有关的最值问题的3种几何转化法 (1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题． 圆的参数方程 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的参数方程为其中θ为参数． [例] 利用圆的参数方程解决[例3](2)(3). 解：x2＋y2－4x＋1＝0可化为(x－2)2＋y2＝3，令 (2)y－x＝sin θ－(2＋cos θ)＝sin (θ－)－2， ∵sin (θ－)∈[－，]， ∴(y－x)min＝－－2. (3)x2＋y2＝(2＋cos θ)2＋(sin θ)2＝7＋4cos θ， ∵cos θ∈[－1，1]，∴(x2＋y2)max＝7＋4，(x2＋y2)min＝7－4. 考向2　利用对称性求最值 [例4] 已知点A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上运动，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上运动，则|PA|＋|PQ|的最小值是 ． 答案：2　解析：依题意，圆心C为(2，1)，半径r＝.设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，则解得故A′为(－4，－2). 连接A′C交直线x＋y＋2＝0于点P，交圆C于点Q(图略)，此时|PA|＋|PQ|取得最小值．由对称性可知此时|PA|＋|PQ|＝|PA′|＋|PQ|＝|A′Q|＝|A′C|－r＝2. 形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点： (1)减少动点的个数． (2)“曲化直”，即将折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 训练3 (1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足 x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋ B．4 C．1＋3 D．72 C　解析：方法一　将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3. 方法二　由题意，得实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝9.设x＝2＋3cos θ，y＝1＋3sin θ，θ∈[0，2π]，则x－y＝1＋3cos θ－3sin θ＝1＋3·cos (θ＋)≤1＋3，当且仅当θ＝＋2kπ(k∈Z)时，等号成立． (2)在平面内，一只蚂蚁从点A(－2，－3)出发，爬到y轴后又爬到圆C：(x＋3)2＋(y－2)2＝2上，则它爬动的最短路程是 ． 答案：4　解析：由圆C：(x＋3)2＋(y－2)2＝2，得圆心为C(－3，2)，半径为，求得点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，可得|A′P|＝|A′C|－r＝－＝4.如图所示，可得爬动的最短路程为4. [课时训练(12)见P176] 学科网（北京）股份有限公司 $$