第22章二次函数 第23课时 二次函数与平行四边形存在性问题 暑假预习课 2025--2026学年人教版九年级数学上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第23课时二次函数与平行四边形存在性问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1.平行四边形的存在性问题知识点： (1)线段的中点坐标公式：若点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则线段AB的中点 坐标为； (2) 平行四边形的顶点坐标公式： 若 ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)， 则xA＋ xC＝ xB＋ xD，yA＋ yC＝ yB＋ yD. 2.情况分类： (1)三个定点，一个动点问题 已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形的顶点坐标公式列方程(组)求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论； (2)两个定点、两个动点问题 这种题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一条直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式. 　　　　　　　　　　　　　　　 类型一：三定一动 1. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标是2. (1)求抛物线的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点， ∴解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3. (2)存在一点E，使得以E，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形. 对于y＝x2－2x－3，当x＝2时，y＝－3，∴C(2，－3). 设E(m，n). ①当AB为对角线时， 得即解得 此时E(0，3)； ②当AC为对角线时， 得即解得 此时E(－2，－3)； ③当BC为对角线时， 得即解得 此时E(6，－3). 综上所述，点E的坐标为(0，3)或(－2，－3)或(6，－3). 类型二：两定两动——两动点分别在抛物线和对称轴上 2.如图，抛物线经过点A(－6，0)，B(－2，0)，C(0，3)，点D为该抛物线的顶点. (1)求该抛物线的解析式和点D的坐标； (2)点P是该抛物线的对称轴上一动点，在该抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x＋6)(x＋2). 把C(0，3)代入，得12a＝3.解得a＝. ∴抛物线解析式为y＝(x＋6)(x＋2)＝x2＋2x＋3＝(x＋4)2－1. ∴点D的坐标为(－4，－1). (2)∵点A(－6，0)，B(－2，0)， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝－4. ∴设点P(－4，m)，点Q. ①当AC为对角线时，得xA＋xC＝xP＋xQ，即－6＋0＝－4＋n. 解得n＝－2.此时Q(－2，0)； ②当AP为对角线时，得xA＋xP＝xC＋xQ，即－6－4＝0＋n. 解得n＝－10.此时Q(－10，8)； ③当AQ为对角线时，得xA＋xQ＝xC＋xP，即－6＋n＝0－4. 解得n＝2.此时Q(2，8). 综上所述，点Q的坐标为(－2，0)或(－10，8)或(2，8). 类型三：两定两动——两动点分别在抛物线和坐标轴上 3. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)求这个二次函数的解析式； (2)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标；若不存在，说明理由. 解：(1)将点A(－3，0)，B(1，0)代入y＝ax2＋bx＋2， 得解得 ∴这个二次函数的解析式为y＝－x2－x＋2. (2)对于y＝－x2－x＋2，令x＝0，则y＝2.∴C(0，2). 设M，Q(n，0). ①当AC为对角线时，得yA＋yC＝yM＋yQ，即0＋2＝－m2－m＋2＋0. 解得m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝－2.此时M(－2，2)； ②当AM为对角线时，得yA＋yM＝yC＋yQ，即0－m2－m＋2＝2＋0. 解得m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝－2.此时M(－2，2)； ③当AQ为对角线时，得yA＋yQ＝yC＋yM，即0＋0＝2－m2－m＋2. 解得m1＝－1－，m2＝－1＋.此时M(－1－，－2)或(－1＋，－2). 综上所述，点M的坐标为(－2，2)或(－1－，－2)或(－1＋，－2). 类型四：两定两动——两动点分别在抛物线和某直线上 4. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A(－1，0)，B(2，0)两点，交y轴于点C(0，－2). (1)求二次函数的解析式； (2)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝x上的动点，请判断是否存在以P，Q，O，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A(－1，0)，B(2，0)两点， ∴该二次函数的解析式可化为y＝a(x＋1)(x－2). 把点C(0，－2)代入上式，得－2a＝－2.解得a＝1. ∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－2)＝x2－x－2. (2)设P(m，m2－m－2)，Q(n，n). ①当OC为对角线时，得即 解得(不合题意，舍去)，此时Q(－2，－2)； ②当OP为对角线时，得即 解得 (不合题意，舍去)，此时Q(2，2)； ③当OQ为对角线时，得即 解得此时Q(1＋，1＋)或(1－，1－). 综上所述，点Q的坐标为(－2，－2)或(2，2)或(1＋，1＋)或(1－，1－). 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线与轴交于，两点，点在点左侧，与轴交于点，若点在轴上，点在抛物线上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查二次函数图象，以及平行四边形的性质，根据题意画出图形是解题关键先画出二次函数图象，再分析满足条件的平行四边形的个数即可． 【解答】 解：由图象可知，满足条件的、、、为顶点的四边形是平行四边形的点有四个． 故选D． 2.如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，四边形是平行四边形，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点及平行四边形的性质，掌握坐标轴上点的特点是解答此题的关键．首先利用抛物线与坐标轴的交点坐标求出、、的坐标，再利用平行四边形的性质得出点坐标． 【解答】 解：令，可得或， 点坐标为；点坐标为； 令，则， 点坐标为， 四边形是平行四边形， ，， ， 点的坐标为， 故选： 3.如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】解：根据题意得：； 当时，， ， 当为平行四边形一条边时，如图， 则， 故点的横坐标为，代入二次函数解析式中得纵坐标为， 所以点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故点或； 当是四边形的对角线时， 中点坐标为， 设点的横坐标为，点的横坐标为，其中点坐标为：， 即：， ， 故点． 故选：． 用交点式确定函数表达式，然后分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可； 本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及求函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 4.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，若点在轴上，点在抛物线上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查二次函数与轴的交点、平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．由于以、、、为顶点的平行四边形并没有明确边和对角线，所以要分两种情况讨论： 以为边，那么，且； 以为对角线，那么必与平行，因此轴； 根据上述两种情况，通过画图可找出符合条件的点的个数． 【解答】 解：以为边时，且，共两种情况，如图； 以为对角线时，，由于点在轴上，因此轴，过点作轴的平行线，与抛物线的交点也符合点的条件，如图； 与重合， 综上，共有三个符合条件的点， 故选：． 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴交轴于点，点是位于轴上方的对称轴上一点，轴交对称轴右侧的抛物线于点，若四边形是平行四边形，则点的坐标为(    ) A. B. C. 或 D. 点不存在 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 根据题目中的函数解析式可以求得抛物线的对称轴，从而可以求得点的坐标和点的横坐标，以及的长，然后根据平行四边形的性质可以求得点的横坐标，然后代入抛物线解析式即可求得点的坐标，本题得以解决． 【解答】 解： 四边形是平行四边形 点的横坐标是 把代入 点的坐标是 故选B． 二、填空题： 6.如图，平行四边形中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点，，则此抛物线的解析式为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的性质，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，利用平行四边形的性质，求得点、、的坐标是解题的关键． 在平行四边形中，根据平行四边形的性质得且，且点的纵坐标与点的纵坐标相同，运用平行四边形的性质，结合图形得出点、、的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线解析式． 【解答】 解：在平行四边形中，且，点的坐标是， 点的坐标为， 如图，设抛物线的对称轴与轴相交于点， 则，， ，， 点，的坐标为，，  设抛物线的解析式为：， 把点代入，得：， 解得：， ， 抛物线的解析式为． 7.经过点的抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为          ． 【答案】或或  【解析】【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质，平行四边形的性质． 将点代入抛物线，先求出抛物线的解析式，从而求出与轴交点的坐标和抛物线的对称轴，再根据点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上以及平行四边形的性质求出点的坐标即可． 【解答】 解： 点在抛物线上， ，解得， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 抛物线与轴交于点， 点的坐标为． 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且点与点之间的距离是， 当以为平行四边形的边时，点的横坐标为或， 当以为平行四边形的对角线时，点的横坐标为， 点的坐标为或或． 故答案为：或或． 8.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，连结，以为边向右做平行四边形，点落在抛物线上，点落在轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点，且，则平行四边形的面积为______． 【答案】  【解析】解：抛物线与轴交于点， 点的坐标为， 又四边形是平行四边形，点在抛物线的对称轴上，点和点关于对称轴对称， ， ，，， ， ， 平行四边形的面积为：， 故答案为：． 根据题意，可以求得点的坐标，然后根据平行四边形的性质和二次函数的性质，可以求得和的长，从而可以求得平行四边形的面积． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9.如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点，分别是直线与抛物线上的点，若点，，，围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为          ． 【答案】或或  【解析】【分析】 根据抛物线的解析式求得，，然后分当为平行四边形的边时，为平行四边形的对角线时，两种情况根据平行四边形的性质求得的坐标即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，以为边和对角线是解题关键，本题综合难度不大，是一道很好的压轴问题． 【解答】 解：抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点， 令， 解得：， 点的坐标为， 令， 解得： 点的坐标为， 当为平行四边形的边时，，且， 线段可由线段平移得到， 点在直线上， 当点的对应点为时，如图， 需先将向左平移个单位长度， 此时点的对应点的横坐标为， 将代入， 得， 点． 当点的对应点为时， 同理，先将向右平移个单位长度， 可得点的对应点的横坐标为， 将代入， 得， ； 当为平行四边形的对角线时，可知的中点坐标为， 在直线上， 根据对称性可知的横坐标为， 将代入， 得， ． 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为或或． 10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线交于，两点，该抛物线的顶点为设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，使，，，是平行四边形的四个顶点，则点的坐标为          ． 【答案】或  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，抛物线与轴分别相交于，两点点在点的左侧，是的中点，平行四边形的顶点，均在抛物线上． 直接写出点的坐标； 若点的横坐标是，点在第三象限，平行四边形的面积是，求点的坐标． 【答案】(1)解：C（1，0）；  (2)过点E作y轴的平行线EG交CD于点G，连接CE． ∵D是抛物线上一点，且横坐标是－2， ∴D（－2，2）． 设直线DC的解析式是y＝kx＋b． ∴ 解得，， 直线DC的解析式是． 设点E坐标（t，t2－2t－6），t＜0， 则点G坐标， ∴． ∵S平行四边形CDEF＝2S△CDE＝EG·（xC－xD）， ∴， 解得t1＝－1，（舍去）， ∴E（－1，－3）， 将点E向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得点F的坐标为（2，－5）．   12.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、、三点，为轴上一动点，过点作轴的垂线与直线交于点，与抛物线交于点、两点在的左侧． 求抛物线的解析式及点的坐标； 在点运动的过程中，若、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求点的坐标； 如图，当点运动到点上时即与重合，有一点在线段的上方且，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】解：令，则， ， 令，则， ， 将点，代入， ， 解得， ， 令，则， 解得或， ； 设，则， 令， ，， ，、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； 与重合， ， ， ， 以为圆心为半径作圆，点在圆上， 当、、三点共线时，有最小值， ， 的最小值为．  【解析】【分析】 求出、两点坐标，将点，代入，即可求解； 设，则，令，由根与系数的关系可得，，则，可求； 以为圆心为半径作圆，点在圆上，当、、三点共线时，有最小值，求出，可得的最小值为． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，圆的性质，确定点的轨迹是解题的关键． 13.如图，抛物线经过，两点，并交轴于另一点，是抛物线的顶点，直线与轴交于点． 求该抛物线对应的函数解析式． 若是轴上一动点，分别连接，，求的最小值． 若是抛物线上一动点，则在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1，0），C（0，3）两点，∴解得∴该抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3  (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴顶点M的坐标为（1，4）．设直线AM对应的函数解析式为y＝kx＋d，则解得∴直线AM对应的函数解析式为y＝2x＋2．当x＝0时，y＝2．∴D（0，2）．如图，作点D关于x轴的对称点D′（0，－2），连接D′M，D′H，则DH＝D′H．∴MH＋DH＝MH＋D′H≥D′M，即MH＋DH的最小值为D′M的长．∵，∴ MH＋DH的最小值为 ​​​​​​​  (3)存在  ∵ P是抛物线上一动点，∴设P（m，－m2＋2m＋3）．∵抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1，∴设Q（1，n）．当DM，PQ为对角线时，DM，PQ的中点重合．∴解得∴ Q（1，3）．当DP，QM为对角线时，DP，QM的中点重合．∴解得∴ Q（1，1）．当DQ，PM为对角线时，DQ，PM的中点重合．∴解得∴ Q（1，5）．综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）  14.如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点是抛物线上的动点，作交轴于点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：，，， 当形成时，， 抛物线的对称轴为直线， 点的坐标为； 当形成时， 设，由平移，得， 点在抛物线上， ， 解得，， 或， 综上所述，或或．   15.已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，顶点的坐标为． 求抛物线的解析式． 点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点、坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)【解答】解：∵抛物线的顶点为(1，-4)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x-1)2-4，  将点C(0，-3)代入抛物线y＝a(x-1)2-4中，得a-4＝-3，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝a(x-1)2-4＝x2-2x-3；  (2)如图，存在，∵D(1，-4)，∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，∴点Q的纵坐标为4，  设Q(t，4)，  将点Q的坐标代入抛物线y＝x2-2x-3中得，t2-2t-3＝4，∴或，∴或，  分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，∵抛物线y＝x2-2x-3与x轴的右边的交点B的坐标为(3，0)，且D(1，-4)，∴FB＝PG＝3-1＝2，∴点P的横坐标为或 ，即、或、．   16.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，与轴交于点，直线与对称轴交于点 求二次函数的解析式 若抛物线的对称轴上有一点以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 【答案】解：将点和点代入抛物线解析式， 则，解得：， 抛物线解析式为； 由知抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为：直线， 令，则， ， 直线的解析式为：，， ． 点在对称轴上， ， 若以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则， ， 解得或． 点的坐标为或．  【解析】将点和点代入抛物线解析式，解方程组即可得出结论； 由题意可知，，若以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则即可，由此可得出结论． 本题属于二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，平行四边形的性质与判定，其中第题关键是得出． 17.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，是轴上任意一点． 求抛物线的解析式； 点在抛物线上，若以点，，，为顶点，为一边的四边形为平行四边形时，求点的坐标． 【答案】(1)解：；  (2)∵以点A，C，P，Q为顶点的平行四边形是以AC为一边， ∴PQ // AC，且PQ＝AC， ∴|yQ－yP|＝|yA－yC|＝9， ∴yQ＝±9． 当yQ＝－9时，，可得 Q1（3，－9）； 当yQ＝9时，，∴， ∴Q2（，9），Q3（，9）． 综上所述，Q（3，－9）或（，9）或（，9）．   18.如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为． 求该抛物线对应的函数解析式． 求点的坐标． 设点为线段的中点，点为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为点问是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)∵对称轴为直线，∴，∴①，将点 A（3，－3）代入y＝ax2＋bx，∴9a＋3b＝－3②，联立①②可得，， b＝－3，∴抛物线的解析式为．  (2)设，如图①，过点 A作EF⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥EF交于点F，∴△OAB的面积，解得 m＝6或m＝－3（舍去），∴B（6，6）．   (3)存在点P，使得以点A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形，理由：∵A（3，－3），B（6，6），∴，设直线 OB的解析式为y＝kx，∴6k＝6，解得k＝1，∴直线OB的解析式为y＝x，设P（t，t），如图②，当BP为平行四边形的对角线时，BC // A1P，BC＝A1P．∵AC＝BC，∴AC＝A1P，由对称性可知AC＝A1C，AP＝A1P，∴．AP＝AC，∴，解得，∴点P的坐标为或；如图③，当 BC为平行四边形的对角线时，BP // A1C，BP＝A1C，由对称性可知，AC＝A1C，∴BP＝AC，∴，解得或，∴或；综上所述，点 P的坐标为或或或．  19.如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，直线经过，两点，点的坐标为，点是第一象限抛物线上的一个动点，于点，设点的横坐标为． 求抛物线的函数表达式； 求线段的最大值，并求此时的值； 在的条件下，当线段取最大值时，若点是轴正半轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解：当x＝0时，y＝4， ∴点C的坐标为（0，4）， 将C（0，4）代入y＝－x＋k中，得k＝4， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4， 当y＝0时，－x＋4＝0， ∴x＝4，∴点B的坐标为（4，0）， 将A（－2，0），B（4，0）代入y＝ax2＋bx＋4中， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为；   (2)∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°， 如解图，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F， ∴PE // OC， ∴∠PFQ＝∠OCB＝45°， ∵∠PQF＝90°， ∴， ∵点P的横坐标为n， ∴， F（n，－n＋4）， ∴， ∴， ∵且点 P在第一象限的抛物线上， ∴当n＝2时，线段PQ有最大值， ∴；   (3)存在，点M的坐标为或（2，0）或（6，0）．  20.如图，抛物线经过点，且与轴的交点坐标为． 求抛物线的对称轴； 若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：， 对称轴为直线． 或或．   【解析】见答案 设点，． ，， 当与为对角线时，与互相平分， ，， ； 当与为对角线时，与互相平分， ，， ； 当与为对角线时，与互相平分，， ，． 即满足条件的点坐标为或或． 21.如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． 请直接写出点，，的坐标； 点是抛物线上的动点，作，交轴于点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)解：，，；  (2)过点作轴于点. 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且， ，，. 设，则， 当时，解得，此时或； 当时，解得（舍去）或4，此时； 综上所述，或或.   22.如图，已知抛物线与轴交于，两点点在点的左边，与轴交于点点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，若以为边，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】解：当时，解得，， ，，，． 抛物线的对称轴为直线， 设点坐标为， 由平行四边形性质可知，当，为平行四边形对角线时， 点，代入， 解得，； 当，为平行四边形对角线时，点， 代入，解得， ． 综上所述，点的坐标为，．   23.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，与轴交于点，且点的坐标为． 求点的坐标； 如图，若是抛物线上一点，是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解：∵将A（－5，0）代入抛物线y＝－x2－4x＋c，得0＝－（－5）2－4×（－5）＋c， ∴c＝5， ∴点C的坐标为（0，5）；   (2)存在．理由如下： ∵y＝－x2－4x＋5＝－（x＋2）2＋9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－2， 设点N的坐标为（－2，n），点M的坐标为（x，－x2－4x＋5），分三种情况： ①当AC为平行四边形对角线时， 则－5＝x－2，解得x＝－3， ∴点M的坐标为（－3，8）； ②当AM为平行四边形对角线时， 则x－5＝－2，解得x＝3， ∴点M的坐标为（3，－16）； ③当AN为平行四边形对角线时， 则－5－2＝x，解得x＝－7， ∴点M的坐标为（－7，－16）； 综上，点M的坐标为（－3，8）或（3，－16）或（－7，－16）．   24.如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点． 直接写出，两点的坐标和抛物线的对称轴； 若是抛物线上的一个动点，是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解：B（3，0），C（0，3），对称轴为直线x＝1；  (2)存在．设点M（1，t），G（m，－m2＋2m＋3）． ①当BC为平行四边形的边时，有|xM－xG|＝xB－xC， ∴|1－m|＝3，解得m＝－2或4， ∴G（－2，－5）或（4，－5）； ②当BC为平行四边形的对角线时，有xM＋xG＝xC＋xB， ∴1＋m＝0＋3，∴m＝2，∴G（2，3）． 综上所述，满足条件的点G的坐标为（－2，－5）或（4，－5）或（2，3）．  25.如图，抛物线经过，，三点． 求该抛物线的表达式； 点在轴上，点在抛物线上，要使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】解：设该抛物线的表达式为，根据题意，得 解得 所求抛物线的表达式为． 或或．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第23课时二次函数与平行四边形存在性问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1.平行四边形的存在性问题知识点： (1)线段的中点坐标公式：若点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则线段AB的中点 坐标为； (2) 平行四边形的顶点坐标公式： 若 ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)， 则xA＋ xC＝ xB＋ xD，yA＋ yC＝ yB＋ yD. 2.情况分类： (1)三个定点，一个动点问题 已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形的顶点坐标公式列方程(组)求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论； (2)两个定点、两个动点问题 这种题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一条直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式. 　　　　　　　　　　　　　　　 类型一：三定一动 1. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标是2. (1)求抛物线的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 类型二：两定两动——两动点分别在抛物线和对称轴上 2.如图，抛物线经过点A(－6，0)，B(－2，0)，C(0，3)，点D为该抛物线的顶点. (1)求该抛物线的解析式和点D的坐标； (2)点P是该抛物线的对称轴上一动点，在该抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 类型三：两定两动——两动点分别在抛物线和坐标轴上 3. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)求这个二次函数的解析式； (2)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标；若不存在，说明理由. 类型四：两定两动——两动点分别在抛物线和某直线上 4. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A(－1，0)，B(2，0)两点，交y轴于点C(0，－2). (1)求二次函数的解析式； (2)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝x上的动点，请判断是否存在以P，Q，O，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线与轴交于，两点，点在点左侧，与轴交于点，若点在轴上，点在抛物线上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，四边形是平行四边形，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 3.如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，若点在轴上，点在抛物线上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴交轴于点，点是位于轴上方的对称轴上一点，轴交对称轴右侧的抛物线于点，若四边形是平行四边形，则点的坐标为(    ) A. B. C. 或 D. 点不存在 二、填空题： 6.如图，平行四边形中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点，，则此抛物线的解析式为          ． 7.经过点的抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为          ． 8.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，连结，以为边向右做平行四边形，点落在抛物线上，点落在轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点，且，则平行四边形的面积为______． 9.如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点，分别是直线与抛物线上的点，若点，，，围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为          ． 10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线交于，两点，该抛物线的顶点为设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，使，，，是平行四边形的四个顶点，则点的坐标为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，抛物线与轴分别相交于，两点点在点的左侧，是的中点，平行四边形的顶点，均在抛物线上． 直接写出点的坐标； 若点的横坐标是，点在第三象限，平行四边形的面积是，求点的坐标． 12.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、、三点，为轴上一动点，过点作轴的垂线与直线交于点，与抛物线交于点、两点在的左侧． 求抛物线的解析式及点的坐标； 在点运动的过程中，若、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求点的坐标； 如图，当点运动到点上时即与重合，有一点在线段的上方且，连接，请直接写出线段的最小值． 13.如图，抛物线经过，两点，并交轴于另一点，是抛物线的顶点，直线与轴交于点． 求该抛物线对应的函数解析式． 若是轴上一动点，分别连接，，求的最小值． 若是抛物线上一动点，则在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 14.如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点是抛物线上的动点，作交轴于点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 15.已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，顶点的坐标为． 求抛物线的解析式． 点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点、坐标；若不存在，请说明理由． 16.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，与轴交于点，直线与对称轴交于点 求二次函数的解析式 若抛物线的对称轴上有一点以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 17.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，是轴上任意一点． 求抛物线的解析式； 点在抛物线上，若以点，，，为顶点，为一边的四边形为平行四边形时，求点的坐标．  18.如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为． 求该抛物线对应的函数解析式． 求点的坐标． 设点为线段的中点，点为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为点问是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19.如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，直线经过，两点，点的坐标为，点是第一象限抛物线上的一个动点，于点，设点的横坐标为． 求抛物线的函数表达式； 求线段的最大值，并求此时的值； 在的条件下，当线段取最大值时，若点是轴正半轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20.如图，抛物线经过点，且与轴的交点坐标为． 求抛物线的对称轴； 若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 21.如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． 请直接写出点，，的坐标； 点是抛物线上的动点，作，交轴于点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 22.如图，已知抛物线与轴交于，两点点在点的左边，与轴交于点点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，若以为边，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 23.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，与轴交于点，且点的坐标为． 求点的坐标； 如图，若是抛物线上一点，是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24.如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点． 直接写出，两点的坐标和抛物线的对称轴； 若是抛物线上的一个动点，是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25.如图，抛物线经过，，三点． 求该抛物线的表达式； 点在轴上，点在抛物线上，要使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$