精品解析：江苏省南京市雨花台中学2024-2025学年高二年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第二学期4月期中考试试题 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线得，解出即可求解. 【详解】 故选：D. 2. 若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.55 D. 0.85 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【详解】，解得； ， 故选：B. 3. 若函数在处取得极小值，则实数a的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 3或9 【答案】A 【解析】 【分析】先求，由题意得解得，根据的值检验在处取得极小值即可. 【详解】由得 函数在处取得极小值， 解得或 ①当时， 则当或时，，当时，， 所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为， 所以当时，函数取得极小值，所以符合题意. ②当时， 则当或时，，当时，， 所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为， 所以当时，函数取得极大值，不合题意. 故选：A. 4. 盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（ ） A. 恰有1个是坏的 B. 4个全是好的 C. 恰有2个是坏的 D. 至多有2个是坏的 【答案】B 【解析】 【分析】应用超几何分布的概率公式计算各个选项即可. 【详解】盒中有10个玩具，其中3个坏的，7个好的.抽取4个玩具，计算各选项概率如下： 选项A（恰有1个坏的）：； 选项B（4个全是好的）：； 选项C（恰有2个坏的）：； 选项D（至多2个坏的）：； 综上，只有选项B的概率为， 故选：B. 5. 若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（ ） A. 840 B. C. D. 210 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为二项式系数只有第6项最大，故， 又二项展开式的通项公式为， 令，则， 故， 故选：A. 6. 用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由每块区域都与其他三块区域有公共边，故用分步乘法计算即可. 【详解】区域①有n种，区域②有种，区域③有种，区域④有种， 舍去，得(负数解舍去). 故选：C. 7. 五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 90种 D. 108种 【答案】B 【解析】 【分析】设4名大人按身高由小到大依次为，可知前排大人不能为，分类讨论前排大人，结合排列运算求解. 【详解】设4名大人按身高由小到大依次为，可知前排大人不能为， 若前排大人为，则任意排列均可，则不同的排法有种； 若前排大人为，则身后不能为，则不同的排法有种； 若前排大人为，则身后只能为，则不同的排法有种； 综上所述：不同的排法共有种. 故选：B. 8. 已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据极值点列式计算结合零点存在定理判断A，代入计算判断B，C，结合近似值判断D. 【详解】因为函数，所以单调递增，, 选项A：计算 而在时趋向，故A错. 选项B：因为 得B错. 选项C：计算 C错. 选项D：计算 ， 函数， 所以，得D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题有（ ） A. 若随机变量 则 B. 若随机变量，且 则 C. 若随机变量则 D. 若事件满足且则与独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：利用二项分布的方差公式求解；对于B：通过分布概率公式计算即可；对于C：利用正态分布的对称性计算；对于D：利用独立事件的概念判断. 【详解】选项A：因为， 所以， 故A错误； 选项B：因为随机变量且， 所以，所以， 故B选项正确； 选项C：因为， 所以， 故C选项正确； 选项D：因为， 所以与相互独立，则 A 与 �� 独立. 故选项D正确； 故选：BCD. 10. 已知则（ ） A. 的值为2 B. 的值为 C. 的值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ACD，由赋值法验算即可；对于B，由二项式定理验算即可. 【详解】选项A：令A正确. 选项B：，的二项式展开式为， 令 则 令 则 B错误. 选项C：令 则令 则 两式相加得 两式相减得 C正确. 选项D：令 两边同乘得D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在边长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 不存在点P使直线D1P与直线AP夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量方法，证明线线垂直关系，空间中点与点的距离问题，以及点到面的距离，和线线夹角的余弦值，逐一判断各选项正误. 【详解】以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设，则； 因为，故，所以正确. 因为 所以， ， 当时，取得最小值为，所以B错误. 因为，平面平面，则平面 所以三棱锥的体积为，故C正确. 因为， 所以， 设与的夹角为， 则 因为，所以，故不存在点P使直线与直线夹角的余弦值为 故正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式是______. 【答案】 【解析】 【分析】 时,,利用 时, 可得,最后验证是否满足上式,不满足时候,要写成分段函数的形式. 【详解】当 时, , 当时, =, 又 时,不适合, 所以. 【点睛】本题考查了由求 ,注意使用求 时的条件是,所以求出后还要验证 适不适合 ,如果适合,要将两种情况合成一种情况作答,如果不适合,要用分段函数的形式作答.属于中档题. 13. 高二年级甲，乙两班进行拔河比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲班获胜的概率为，乙班获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，那么在甲班获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件概率乘积公式及条件概率公式计算求解即可. 【详解】甲班获胜的总概率为P(甲胜) 比赛进行3局且甲班获胜的概率为P(3局且甲胜) 条件概率为P(3局|甲胜) 故答案为：. 14. 若恒成立，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围. 【详解】由，原不等式等价于 令 所以 设， 当单调递增；当单调递减； 且所以，所以， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列和等比数列满足： （1）求的通项公式； （2）求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式基本量运算求解； （2）根据等比数列通项公式基本量运算求解，再应用等比数列求和公式计算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由题意知 且 根据等差数列通项公式： ， 代入条件得，因此 故通项公式为 【小问2详解】 设等比数列的公比为r， 由题意知 且 根据题意， 由等比数列通项公式： 因此 由条件得 数列为等比数列，首项为1，公比为 前n项和为 16. 已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. （1）试求中的系数的最小值； （2）对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； （3）利用上述结果，求的近似值(精确到0.001). 【答案】（1）25 （2）30 （3）2.033 【解析】 【分析】（1）根据组合数公式及二项式展开式的二项式系数计算求解； （2）应用二项式展开式及组合数计算求解； （3）应用二项式展开式结合近似值计算求解. 【小问1详解】 根据二项式定理，x项的系数为 需要找到使得项系数最小的正整数m和n. 将代入， 得到 该二次函数的顶点位于 因此当或时取得最小值. 此时对应的或 计算得 故项的系数最小值为25. 【小问2详解】 当， 时， 项的系数为 【小问3详解】 展开至三次项： 相加后得到： 计算各项： 考虑更高次项的影响，发现对小数点后第三位无影响，故近似值为2.033. 17. 已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数值得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再根据，分类，分别讨论导函数正负得出函数的单调性即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，， 则 则，， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 函数的定义域为， ， ①当时，因为， 所以， 所以函数在上单调递增. ②当时，令， 则 当或时，. 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面， M为棱PC的中点. （1）证明：平面； （2）若 （i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明； （2）（i）先应用面面垂直性质定理得出平面，建系得出平面和平面的法向量即可得出面面角余弦，最后同角三角函数关系求解正弦；（ii）设再应用点到平面距离即可计算求参. 【小问1详解】 取PD的中点N， 连接AN， MN， 如图所示： 为棱PC的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面， 平面. 【小问2详解】 平面平面， 平面平面， 平面， 平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点， 所在直线分别为轴建立直角坐标系，如图， 则 为棱PC的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为， 所以二面角的正弦值为. （ii） 假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 19. 雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75—145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩近似服从正态分布,其中为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)， 现从我校所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的数学期望. （2）现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整. 第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为. 已知甲同学第一关通过的概率为. （i）求该同学第二关通过的概率； （ii）记甲同学通过第n关的概率为 当时，恒成立，求M的最小值. 附：若随机变量服从正态分布 则 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图，求出，进而可得，从而有，再利用二项分步的期望计算公式，即可求解； （2）（i）根据条件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求解；（ii）根据条件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式，得，进而得到，再分为奇偶，即可求解. 【小问1详解】 因为， 则，所以， 由题知，所以. 【小问2详解】 （i）由题知，甲同学第一关通过的概率为，即 所以第二关通过的概率为. （ii）记甲同学第关通过为事件A， 依题意有， 当时，， 所以， 所以， 所以，又因为，则， 所以数列是首项为， 公比为的等比数列， 所以， 当为奇数时，， 则随着的增大而减小，所以， 当为偶数时，， 又，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期4月期中考试试题 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量则（ ） A. B. C. D. 2. 若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.55 D. 0.85 3. 若函数在处取得极小值，则实数a的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 3或9 4. 盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（ ） A. 恰有1个是坏的 B. 4个全是好的 C. 恰有2个是坏的 D. 至多有2个是坏的 5. 若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（ ） A. 840 B. C. D. 210 6. 用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 90种 D. 108种 8. 已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题有（ ） A. 若随机变量 则 B. 若随机变量，且 则 C. 若随机变量则 D. 若事件满足且则与独立 10. 已知则（ ） A. 的值为2 B. 的值为 C. 的值为 D. 11. 如图，在边长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 不存在点P使直线D1P与直线AP夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式是______. 13. 高二年级甲，乙两班进行拔河比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲班获胜的概率为，乙班获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，那么在甲班获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为________. 14. 若恒成立，则实数a的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列和等比数列满足： （1）求的通项公式； （2）求 16. 已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. （1）试求中的系数的最小值； （2）对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； （3）利用上述结果，求的近似值(精确到0.001). 17. 已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面， M为棱PC的中点. （1）证明：平面； （2）若 （i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75—145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩近似服从正态分布,其中为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)， 现从我校所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的数学期望. （2）现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整. 第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为. 已知甲同学第一关通过的概率为. （i）求该同学第二关通过的概率； （ii）记甲同学通过第n关的概率为 当时，恒成立，求M的最小值. 附：若随机变量服从正态分布 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $