专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习（新高考专用）

专题3.1 导数的概念几何意义、导数的运算 基础巩固 一、单选题 1．函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A 2．一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、求某点处的导数值 【分析】根据瞬时速度即位移y的导数，先求出导函数，再代值计算即可. 【详解】由求导得， 依题意该弹簧振子在时的瞬时速度为： . 故选：A. 3．（2025·江苏盐城·三模）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故选：C. 4．已知函数，其导函数记为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、导数的运算法则 【分析】根据给定条件，变形函数并求出，再探讨导函数的奇偶性作答. 【详解】函数定义域为R， 则， ，因此函数是偶函数， 所以. 故选：B. 5．（24-25高三上�湖南永州�开学考试）函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】对求导，得到，从而有，再利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 所以在点处的切线方程是，即， 故选：A. 6．（24-25高三上�安徽�开学考试）已知直线与曲线相切于点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】简单复合函数的导数、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据题意，得出切点为，进而求得，得到，结合导数的几何意义，得到，进而得到答案. 【详解】由题意，直线与曲线相切于点，即切点为， 所以，解得，所以， 则，可得，即切线的斜率为，所以， 所以. 故选：B. 7．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象在处的切线平行于轴，则该切线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，进而求出切线方程. 【详解】函数，求导得，依题意，， 即，则，而，则，， 所以该切线的方程为. 故选：D 8．直线与两条曲线和均相切，则的斜率为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】设两个曲线的切点坐标，由切线斜率相等，利用导数列出方程，再利用两点斜率公式化简即可． 【详解】由，可得；由，可得， 设两个切点分别为和，直线l的斜率， 故，由，所以，即直线l的斜率为1. 故选：B 9．经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】首先联立与得到方程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程. 【详解】由，消去整理得， 令，则，所以在上单调递增， 又， 所以方程组的解为， 即曲线与的公共点的坐标为， 设与和分别相切于，， 而，， ，， ，解得， ，即公切线的斜率为， 故与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程为，整理得． 故选：B． 10．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、导数的运算法则、求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可. 【详解】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 二、多选题 11．下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】AC 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据求导公式依次判定选项即可得到答案. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC 12．（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为0 【答案】BD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】对于选项A，B，当时，，求出导函数，利用导数的几何意义求出点处切线斜率，即可求出切线方程，即可判断；对于选项C，D，当时，，求出导函数，利用导数几何意义求出在点处的切线斜率，即可判断. 【详解】对于选项A，B，当时，，，有， 又，故曲线在点处的切线方程为，故选项B正确，A错误； 对于选项C，D，当时，，则， 显然，即曲线在点处的切线斜率为0，故选项C错误，选项D正确. 故选：BD 13．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，再由导数为3求解. 【详解】解：设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 对于函数，，则， 解得， 所以，即. 对于函数，， 则， 又， 所以， 又， 所以，. 故选：AD 三、填空题 14．（2025·山东泰安·模拟预测）函数在处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的几何意义，求出在一点的切线方程. 【详解】，当时，切线的斜率，， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 15．（2025·山东淄博·三模）函数，则曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】对求导，令可求出，再求出，由导数的几何意义即可得出答案. 【详解】因为，所以， 则，解得：. 所以曲线在处的切线方程的斜率为， 所以，， 所以曲线在处的切线方程：， 化简可得：. 故答案为：. 16．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数，若与曲线相切，则实数 ． 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点为，得出过该点的切线方程结合已知即可求解． 【详解】设切点为，又，则， 所以切线方程为，即， 所以，解得， 故答案为：． 四、解答题-问答题 17．已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)，． (2) 【知识点】求过一点的切线方程、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． （2）由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 18．已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程； （2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值. 【详解】（1）由导数公式得， 设切点坐标为，设切线方程为： 由题意可得： ，       所以或，      从而切线方程为或. （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为, 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，  从而，    此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为， 即，故符合题意，所以. 19．（24-25高三上�湖北�阶段练习）已知 (1)求并写出的表达式； (2)记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值. 【答案】(1)；； (2). 【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用求导法则以及运算，结合方程思想，可得答案； （2）根据导数求切线的方法，求得切线的斜率和方程，利用导数与切线斜率的关系，求得切点，可得答案. 【详解】（1）由，求导可得， 由，解得，则. （2），求导可得， 由得，故在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为，化简可得， 令，解得，将其代入切线方程可得，代入得， 所以得，解得. 能力提升 20．（2024�陕西西安�一模）已知二次函数的图象与轴交于、两点，图象在、两点处的切线相交于点．若，则的面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本不等式求和的最小值 【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积的最值. 【详解】设，， 则与是方程的两根， 则，， ， 又， 则函数在点处的切线方程为， 同理函数在点处的切线方程为， 则，解得， 即点， 则，当且仅当时等号成立， 故选：C. 21．（多选题）（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】首先设出两个函数在两点处的切线，利用待定系数法将用表示，再构造函数解决函数最值即可． 【详解】设切线与两曲线与的切点分别为，， 由，得，由，得， 则两切线方程分别为与， 化简得， 又两条切线为同一条，可得，得， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，∴ 所以实数的取值可能是1，，． 故选：ABD. 22．（多选题）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、导数的运算法则 【分析】根据题意，构造新函数，利用导数判断函数的单调性逐一检查每个选项是否正确. 【详解】设，则， 所以在上单调递减， 对于A，由，即，即，故A正确； 对于B，由，即，又，则，故B错误； 对于C，由，即，即，故C正确； 对于D，由，即，即，故D正确. 故选：ACD. 23．（2025·安徽·模拟预测）已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点 【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果. 【详解】点不在函数的图象上，则，即， 设过点的直线与的图象相切于， 则切线的斜率，整理可得， 则问题可转化为有三个零点， 且，令，可得或， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值， 要使有三个零点， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 导数的概念几何意义、导数的运算 基础巩固 一、单选题 1．函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 2．一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏盐城·三模）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 4．已知函数，其导函数记为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（24-25高三上�湖南永州�开学考试）函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上�安徽�开学考试）已知直线与曲线相切于点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象在处的切线平行于轴，则该切线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．直线与两条曲线和均相切，则的斜率为（    ） A． B．1 C．2 D． 9．经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、多选题 11．下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 12．（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为0 13．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（2025·山东泰安·模拟预测）函数在处的切线方程为 . 15．（2025·山东淄博·三模）函数，则曲线在处的切线方程为 . 16．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数，若与曲线相切，则实数 ． 四、解答题 17．已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 18．已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 19．（24-25高三上�湖北�阶段练习）已知 (1)求并写出的表达式； (2)记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值. 能力提升 20．（2024�陕西西安�一模）已知二次函数的图象与轴交于、两点，图象在、两点处的切线相交于点．若，则的面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 21．（多选题）（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 22．（多选题）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·安徽·模拟预测）已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 题型1 导数的概念 4 题型2 导数的运算 6 题型3 导数的几何意义 11 考点1 求曲线在某点处的切线方程 11 考点2 求曲线过某点处的切线方程 13 题型4 已知切线或切点求参数问题 17 题型5 两曲线的公切线问题 22 题型6 与导数有关的最短距离问题 30 高考真题演练 31 知识点一 变化率与导数的概念 1．物理中的平均速度和瞬时速度 平均速度 设物体运动的位移与时间的关系是，从到时间段内的平均速度. 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.当无限趋近于时，平均速度将越来越趋近于物体在时刻的瞬时速度. 2．函数的平均变化率 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到这时，的变化量为，的变化量为 我们把比值，即叫做函数 从到的平均变化率 3. 函数在处的导数(瞬时变化率) 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率)，记作或，即 知识点二 导数的几何意义 1．切线的定义 如图，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. 2．导数的几何意义 容易知道，割线的斜率.记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数.因此，函数在处的导数)就是切线的斜率，即这就是导数的几何意义. 知识点三 基本初等函数的导数 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 知识点四 导数的四则运算法则 若函数，均为可导函数，则有 导数运算法则 语言叙述 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差). 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数. ，则 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方. 知识点五 简单复合函数的导数 1．复合函数的定义 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 3．求复合函数的导数的步骤 拓展点一 求切线方程的基本思路 求切线方程时，应首先判断是否已知切点： (1)若已知切点，则求出函数在处的导数，即曲线在处切线的斜率，利用直线方程的点斜式即得切线方程；若曲线是光滑的，而在处的导数不存在，则曲线在处的切线方程为. (2)若切线过点但切点未知，则需设出切点坐标及切线的斜率，根据切点既在曲线上，又在切线上，及导数的几何意义，即可构建方程组 将①③代入②消去与得关于的方程，解得代入③即得切线的斜率，从而得切线方程，最后化为一般式即可. 题型1 导数的概念 1．如图，函数在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（    ） A． B． C． D．2．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 3．已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 4．（2023·陕西榆林·二模）设函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 5．（2023·上海青浦·一模）若函数在处的导数等于，则的值为（    ）. A． B． C． D． 题型2 导数的运算 6．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 7．下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知下列四个命题，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 12．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型3 导数的几何意义 考点1 求曲线在某点处的切线方程 13．（2025·海南三亚·一模）曲线在点处的切线方程为 . 14．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 . 15．（2025·山东泰安·模拟预测）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . 16．（2025·四川成都·一模）函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 17．（2025�湖北武汉�模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 考点2 求曲线过某点处的切线方程 18．（多选题）过点向曲线作切线，切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ． 20．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ． 21．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 . 22．过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4 已知切线或切点求参数问题 23．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 24．（2025·甘肃白银·三模）已知直线与曲线相切，则 ． 25．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 26．（2025�江西景德镇�模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 27．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知函数在处的切线过点，则 . 28．（2025·河北张家口·三模）已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为 . 29．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知函数在点处的切线与直线垂直，则 ． 30．（2025·吉林长春·模拟预测）若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 31．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 32．（2025·山西·三模）已知函数的图象上两点，处的切线互相垂直，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型5 两曲线的公切线问题 33．（2025·福建福州·三模）曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程） 34．（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则 . 35．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 36．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 37．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 38．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 39．（2025·云南昆明·模拟预测）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（2025·云南·模拟预测）若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 41．（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 . 42．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6 与导数有关的最短距离问题 43．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 44．函数图象上的点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2019·全国II卷·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为 A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 5．（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 二、填空题 6．（2020·全国I卷·高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 7．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 9．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 10．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 11．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 三、解答题 12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 13．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； 14．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； 15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 题型1 导数的概念 4 题型2 导数的运算 6 题型3 导数的几何意义 11 考点1 求曲线在某点处的切线方程 11 考点2 求曲线过某点处的切线方程 13 题型4 已知切线或切点求参数问题 17 题型5 两曲线的公切线问题 22 题型6 与导数有关的最短距离问题 30 高考真题演练 31 知识点一 变化率与导数的概念 1．物理中的平均速度和瞬时速度 平均速度 设物体运动的位移与时间的关系是，从到时间段内的平均速度. 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.当无限趋近于时，平均速度将越来越趋近于物体在时刻的瞬时速度. 2．函数的平均变化率 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到这时，的变化量为，的变化量为 我们把比值，即叫做函数 从到的平均变化率 3. 函数在处的导数(瞬时变化率) 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率)，记作或，即 知识点二 导数的几何意义 1．切线的定义 如图，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. 2．导数的几何意义 容易知道，割线的斜率.记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数.因此，函数在处的导数)就是切线的斜率，即这就是导数的几何意义. 知识点三 基本初等函数的导数 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 知识点四 导数的四则运算法则 若函数，均为可导函数，则有 导数运算法则 语言叙述 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差). 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数. ，则 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方. 知识点五 简单复合函数的导数 1．复合函数的定义 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 3．求复合函数的导数的步骤 拓展点一 求切线方程的基本思路 求切线方程时，应首先判断是否已知切点： (1)若已知切点，则求出函数在处的导数，即曲线在处切线的斜率，利用直线方程的点斜式即得切线方程；若曲线是光滑的，而在处的导数不存在，则曲线在处的切线方程为. (2)若切线过点但切点未知，则需设出切点坐标及切线的斜率，根据切点既在曲线上，又在切线上，及导数的几何意义，即可构建方程组 将①③代入②消去与得关于的方程，解得代入③即得切线的斜率，从而得切线方程，最后化为一般式即可. 题型1 导数的概念 1．如图，函数在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平均变化率 【分析】根据函数平均变化率的计算公式，结合函数的图象，即可求解. 【详解】由函数平均变化率的计算公式，可得 函数在上的平均变化率为：， 函数在上的平均变化率为：， 函数在上的平均变化率为：， 函数在上的平均变化率为：， 结合函数的图象，可得. 故选：D. 2．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度. 【详解】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B 3．已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据题意，化简得到，结合导数的定义，转化为的值，即可求解. 【详解】因为， 则. 故选：C. 4．（2023·陕西榆林·二模）设函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义，直接求出结果. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 5．（2023·上海青浦·一模）若函数在处的导数等于，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】 根据导数的定义式化简求值. 【详解】由已知得 ， 故选：C. 题型2 导数的运算 6．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数的运算法则 【分析】根据题意，对等式两边求导，再令，求出，从而求得的值 【详解】因为，所以，令，则，， 则，所以. 故选：A. 7．（北京市顺义区2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试卷）下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】按照基础函数的导数计算逐一判断即可. 【详解】对A，，故错误； 对B，，正确； 对C，，故错误； 对D，，故错误. 故选：B 8．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 9．（多选题）已知下列四个命题，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据基本函数的求导公式以及复合函数的求导法则即可结合选项求解. 【详解】对于A, ,故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：BCD 10．（多选题）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】分析函数的构成，利用基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导公式逐一判断即可． 【详解】对于A选项：，故A正确； 对于B选项：令，则，故B正确； 对于C选项：利用复合函数的求导公式得： ，故C不正确； 对于D选项：利用复合函数的求导公式得：，故D不正确． 故选：AB． 11．（多选题）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】通过导数的概念可判断选项，对复合函数求导然后计算可判断选项，直接用除法的求导法则可判断选项，对于选项直接求导然后代数解方程即可. 【详解】对于因为函数在上可导，且， 所以，故错误. 对于因为，若则，即，故正确. 对于因为，故错误. 对于因为,故，故，正确. 故选: 12．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】由基本初等函数的导数公式结合导数的依次运算可得. 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4）． （5）． 题型3 导数的几何意义 考点1 求曲线在某点处的切线方程 13．（2025·海南三亚·一模）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线的方程为，即. 故答案为：. 14．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解. 【详解】设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即， 故答案为： 15．（2025·山东泰安·模拟预测）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . 【答案】/0.25 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程，进而得出截距求出面积即可. 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为， 所以，曲线在处的切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故答案为：. 16．（2025·四川成都·一模）函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】对函数求导，然后根据切点坐标求出切线的斜率和切线方程. 【详解】因为，所以. 所以，而. 所以切线方程为，即. 故选：C. 17．（2025�湖北武汉�模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】利用商的导数来求导，再利用导数的几何意义来求切线斜率，从而可求切线方程，即可求切线与两坐标轴所围成的面积. 【详解】求导得：，则， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为， 则与轴相交于点，与轴相交于点， 所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为， 故选：C. 考点2 求曲线过某点处的切线方程 18．（多选题）过点向曲线作切线，切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】设切点为，利用导数的几可意义，再结合题设条件得到，解得或，即可求解. 【详解】令，则，设切点为， 则切线方程为， 将点代入，整理得， 即，解得或， 当时，切线方程为；当时，切线方程为． 故答案为：AC. 19．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ． 【答案】或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】分点P为切点和点P不为切点两种情况讨论，结合导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 当点P为切点时，则切线的斜率为， 所以所求切线方程为，即； 当P点不为切点时，设切点坐标为， 切线的斜率为， 则切线方程为， 因为切线过点，且， 所以， 整理，得，解得或1（舍去）， 则， 所以切点坐标为，切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 所以所求切线的方程为或或． 故答案为：或． 20．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设出切点，写出切线方程，依题转化成有两个不同得实数根.设，求得的单调区间和最大值即可得解. 【详解】设切点为，由题得：，故切线的斜率为，切线方程为：， 因切线经过点，则，故有两个不同的实数根. 不妨设，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故，则，即，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 21．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由导数的几何意义可得切线方程，代入点的坐标可得，然后利用导数研究其图像，结合图像即可得到结果. 【详解】 设过点的切线与的切点为， 因为，则切线的斜率为， 所以切线的方程为， 代入得， 即. 设，则， 由，得或， 当或时，，在，上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，， 因为，所以，， 作出的大致图象如图所示， 由图象可知只有一条直线与的图象相切时，或. 故答案为： 22．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求过一点的切线方程、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，从而将问题化为方程有3解，进而转化为与有3个交点，设，从而利用导数研究函数的单调性及极值，即可求解. 【详解】因为，所以， 设过点的切线切曲线于点， 则切线方程为，又其过点， 所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解， 即方程有3解， 所以与有3个交点， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极小值为，的极大值为， 且时，；时，， 所以要使与有3个交点，则需． 故选：A 题型4 已知切线或切点求参数问题 23．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 【答案】(1)，. (2)递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）先根据导数的运算法则求出；再根据切点、切线和导数的几何意义之间的关系列出方程组即可求解. （2）令可求出函数的单调增区间，令可求出函数的单调减区间，进而可得到函数的极值. 【详解】（1）由可得： ，， 则. 由直线方程可得：直线斜率为：. 因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以，解得：. 故，. （2）由（1）可得，. 令，得； 令，得； 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有极小值. 故函数的递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 24．（2025·甘肃白银·三模）已知直线与曲线相切，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式 【分析】根据直线方程特点可得恒过定点，设切点为，求出切线方程代入定点求出可得答案． 【详解】直线变形为， 所以直线恒过点，设切点为， 因为，所以，故切线方程为． 因为切线恒过点，所以， 解得，所以切线方程为， 即，得，所以． 故答案为：． 25．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】设切点为，根据导数的几何意义求得，再由切点在直线和曲线上有，即可求. 【详解】设直线与曲线的切点为， 对求导，得，直线的斜率为1， 导数的几何意义知，在切点处，即． 又切点既在直线上又在曲线上， 且，即． 将代入，得：，即． 故选：A 26．（2025�江西景德镇�模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】先求出，接着由求出参数a得切点代入切线方程即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以由题意得， 所以切点，所以. 故选：C 27．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知函数在处的切线过点，则 . 【答案】1 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】应用导数的几何意义求处的切线，再由点在切线上列方程求参数值即可. 【详解】由题设，则，且， 所以处的切线为， 又点在切线上，故，可得. 故答案为：1 28．（2025·河北张家口·三模）已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为 . 【答案】/0.5 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】对函数求导，代入，可得对应的导数值为0，由此可建立关于的方程，从而得解. 【详解】对函数求导得，， 因为曲线在处的切线与轴垂直， 所以，解得. 故答案为：. 29．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知函数在点处的切线与直线垂直，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由两条直线垂直求方程 【分析】先求，进而得，由函数在点处的切线与直线垂直即可求解. 【详解】由题意有，所以， 由函数在点处的切线与直线垂直， 所以，所以. 故答案为：. 30．（2025·吉林长春·模拟预测）若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 【答案】1 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求导，根据平行得到，解得答案. 【详解】因为，所以， 依题意可得，即，解得. 故答案为：1. 31．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求导可得，结合导数的几何意义代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 则， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 且直线的斜率为，即，解得. 故选：A 32．（2025·山西·三模）已知函数的图象上两点，处的切线互相垂直，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知直线垂直求参数 【分析】求导，由题意可得，可得，分类讨论可求得. 【详解】，，， 根据题意，则有， 当时，显然不成立， 所以，若，，不满足题意； 若，则恒成立，解得. 故选：B． 题型5 两曲线的公切线问题 33．（2025·福建福州·三模）曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程） 【答案】或（写出其中一条即可） 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】方法一：分别设切点，，根据导数的几何意义写出对应切线方程，再利用公切线斜率和截距相等形成方程组，解出方程组即可求出公切线方程； 方法二：利用特殊法，发现指对函数中的一条常用斜率为1的切线，再验证是他们的公切线即可. 【详解】（方法一）设，.公切线与相切于点，与相切于点，因为，，则公切线斜率，所以公切线方程为或， 整理得或， 所以，即. 所以，解得或， 所以公切线方程为或. （方法二）由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.所以直线为曲线与的公切线. 故答案为：或.（写出其中一条即可） 34．（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由导数的几何意义求得切线斜率，由切点求得切线方程，利用导数以及切线方程求得在另外一条曲线上的切点，建立方程，可得答案. 【详解】由，求导可得，切线斜率，切线方程为， 由，求导可得，令，解得， 将代入，可得，将代入， 可得，解得. 故答案为：. 35．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】首先根据题意求出切线方程，然后对求导，根据斜率值和切点的函数值求出的值. 【详解】因为，所以. 所以曲线在点的切线方程为：. 因为，设曲线与该切线的切点为. 所以，所以，即. 又， 所以. 故答案为：. 36．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 37．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值. 【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，， 故两切线方程为，， 即，， 与存在公切线，所以有解，消去后得：， 令，， 易得在上单调递增，且时，；时，， 故在区间上递减，在上递增． 所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为． 故选：B． 38．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设直线与相切于求出切线方程，直线与相切于求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得.令，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】设直线与相切于， 则直线：， 直线与相切于， 则直线：， 因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同， 故， 则. 令，， 则在单调递增，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，于是有， 即. 故选：D. 39．（2025·云南昆明·模拟预测）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设切线分别切两曲线于，，则直线斜率为，从而可得，，再利用导数，即可求解． 【详解】因为和曲线， 所以，，， 设切线分别切两曲线于，， 则直线斜率为，所以， 所以，， 设，，则，， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，且当与时，， 所以 故选：B. 40．（2025·云南·模拟预测）若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设切点为，由题意得解得，令，利用导数研究的单调性求最大值即可求解. 【详解】由题意有：设切点为， 所以，所以，解得，， 令，所以， 令有，由有，有， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，故b的最大值为1. 故选：A. 41．（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参）、已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】由题设公切线分别切，于点，由题可得，据此可将问题化简为有两解，据此可得答案. 【详解】设公切线分别切，于点. 则有以下关系式：①，② 由①得：代入②式变形得：，又. 令，原命题化为：有两解. ，令， 则，为上的减函数. 又注意到，则在区间上，，在区间上递增， 结合，，则此时值域为； 在区间上，，在区间上递减， 结合，则此时值域为. 则当时，存在，使. 故的取值范围是. 故答案为：. 42．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究函数的零点、简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围. 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 而，依题意，，则，因，则， 消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是. 故选：C 题型6 与导数有关的最短距离问题 43．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离 【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可. 【详解】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则或， 则动点到直线的距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：B. 44．函数图象上的点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】通过求与直线平行的切线到该直线的距离求解答案. 【详解】由题意，，令，得（负值已舍去）． 因为，所以曲线在点处的切线与直线平行． 因为点到直线的距离为，所以所求最小值为． 故选：C. 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 2．（2019·全国II卷·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C． 【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数图象及性质 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 5．（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D 【知识点】求过一点的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 二、填空题 6．（2020·全国I卷·高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为， ，所以切点坐标为， 所求的切线方程为，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 7．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 9．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 10．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、求某点处的导数值 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 11．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 【答案】4. 【知识点】求点到直线的距离、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小. 由，得，， 即切点， 则切点Q到直线的距离为， 故答案为． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 三、解答题 12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 13．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得； 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； 14．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； 【答案】(1) 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. 15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1)； 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$