精品解析：2025年广东省梅州市五华县中考一模数学试题

2025年初中毕业水平考试模拟试题数学 说明： 1．全卷共6页，分选择题、填空题和解答题3大题23小题，全卷满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号，再在考生号栏下写上14位考生号，最后用2B铅笔把考生号对应的地方涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某种药品的说明书上标明保存温度是，则该药品在（　　）范围内保存才合适． A. B. C. D. 2. 祥蛇纳福，瑞气盈堂．愿君新岁似灵蛇，身姿矫健跃高峰．祝福所有九年级学子6月勇夺桂冠．现将祥蛇纳福图绕某点旋转得到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，直尺边与重合，另一边分别交，于点，，其中点，，，，处的读数分别为8、16、10.5、14.5，已知直尺宽为2；则中边上的高为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 8. 如图物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在线段上，垂直平分，若，则的长为（　　） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 12cm 10. 如图，E、F是的边上的两点，连接，交于点O, 的面积为1，的面积为9，四边形的面积为5，则图中阴影部分的面积为（　　） A 8 B. C. D. 9 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码运动鞋的销量，在平均数、中位数、众数这三个统计量中，该鞋厂最关注的是________． 12. 如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A，轴，垂足为B，P是y轴上一点，若的面积为1，则k的值为______． 14. 某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走6米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上，则新教学楼的高度是___________米．（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：） 15. 如图，已知正方形，点是的中点，连接．交于点，且，连接交于点．交的延长线于点．求的值是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点，请问点在边上什么位置时，四边形是矩形，并说明理由． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下： ①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接． ②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． 引理结论：． （1）任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母． （2）任务二：请你完成引理结论的证明过程． 20. 某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得分的人数所对圆心角为，回答下列问题： （1）条形统计图有一部分污损了，求得分分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数； （2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩． （3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆；②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率． 21. 2025年4月23日是第30个世界读书日，为鼓励同学们积极参加阅读活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买1本科技类图书和2本文学类图书需63元，购买3本科技类图书和4本文学类图书需149元． （1）科技类图书和文学类图书每本各多少元？ （2）经过评选有300名同学在活动中获奖，学校给每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过6800元，那么科技类图书最多能买多少本？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张角越大时，进球的可能性越大． 如图1，___________．（用“>”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点动点， 求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点， 两点， 交轴于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点 作． 于点，过点作轴的平行线交直线于点 ，求周长的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在（2） 问的条件下，将该抛物线沿射线的方向平移 个单位后得到新抛物线．点 为平移后的新抛物线的对称轴上一点． 在平面内确定一点． 使得四边形 是菱形，请求出符合条件的点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业水平考试模拟试题数学 说明： 1．全卷共6页，分选择题、填空题和解答题3大题23小题，全卷满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号，再在考生号栏下写上14位考生号，最后用2B铅笔把考生号对应的地方涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某种药品的说明书上标明保存温度是，则该药品在（　　）范围内保存才合适． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据温度范围的表示方法，以为基准，允许上下浮动，计算最低和最高温度即可确定正确选项． 【详解】药品保存温度标注为， 表示最低温度为， 最高温度为． 由此可得保存温度范围为， 故项：B． 2. 祥蛇纳福，瑞气盈堂．愿君新岁似灵蛇，身姿矫健跃高峰．祝福所有九年级学子6月勇夺桂冠．现将祥蛇纳福图绕某点旋转得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，熟练掌握是解答本题的关键．根据题意做即可． 【详解】解：将祥蛇纳福图绕某点旋转即可得到，大小不变， 故选：B． 3. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据题意得到共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况， 恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”概率是， 故选：A． 4. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：100亿， 故选：C． 5. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 6. 如图，在中，直尺的边与重合，另一边分别交，于点，，其中点，，，，处的读数分别为8、16、10.5、14.5，已知直尺宽为2；则中边上的高为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，灵活应用相似三角形的性质是解题的关键． 过作于，交于，判定出后，利用相似三角形的比值关系求解即可． 【详解】过作于，交于，如图所示： 点，，，，处的读数分别为、、、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵直尺宽为， ∴， ∴， ∴， ∴中边上的高为； 故选：C． 7. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先分别求出的值，再比较大小即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在反比例函数的图象上有三个点， ，，， ， ， 故选：C． 8. 如图物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：设旋转的角度是，滑轮的半径是， 由题意得：， 解得：， ∴滑轮上点A转过的度数为， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在线段上，垂直平分，若，则的长为（　　） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 12cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得是等边三角形，则可得，利用三角函数的定义可求出的长，进而可得的长． 本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质以及利用三角函数解直角三角形．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，，且， ， ∵垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：A． 10. 如图，E、F是的边上的两点，连接，交于点O, 的面积为1，的面积为9，四边形的面积为5，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 8 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．连接．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出．得出的面积，推出的面积．从而推出结果． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码运动鞋的销量，在平均数、中位数、众数这三个统计量中，该鞋厂最关注的是________． 【答案】众数 【解析】 【分析】鞋厂最感兴趣的是各种尺码运动鞋的销售量，销售量最多的即这组数据的众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的销售量最多的尺码即这组数据的众数． 故答案：众数． 【点睛】本题主要考查了学生对统计量的意义的理解与运用，要求学生对对统计量进行合理的选择和恰当的运用，比较简单． 12. 如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，连接，圆周角定理得到，，三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：连接，则：， ∵是的直径， ∴， ∴； 故答案为： 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A，轴，垂足为B，P是y轴上一点，若的面积为1，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】该题考查了反比例函数的图象和性质，设点，根据的面积为1，即可求解． 【详解】解：设点， 因为轴 则， ∴， 故答案为：2． 14. 某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走6米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上，则新教学楼的高度是___________米．（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设米，分别解，求出的长，再根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：米，，设米， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 15. 如图，已知正方形，点是中点，连接．交于点，且，连接交于点．交的延长线于点．求的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，根据题意证明出 即可得到，设，则，表示出，过点作，证明出四边形是正方形，得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，则，，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴设，则， ∵， ∴，， ∴， 如图所示，过点作， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，实数的混合运算，先化简各数，再进行乘法和加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式． 17. 如图，中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点，请问点在边上什么位置时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】点为的中点时，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据平行结合角平分线推出，角平分线结合平角的定义求出，进而得到当时，四边形是矩形，即可． 【详解】解：点为的中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵交的平分线于点，交的外角平分线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，即：， ∴平行四边形为矩形． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下： ①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接． ②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． 引理的结论：． （1）任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母． （2）任务二：请你完成引理结论证明过程． 【答案】（1）图见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据线段和线段垂直平分线的尺规作图方法结合题意作图即可； （2）先由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角得到，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义得到，再根据弦与圆周角的关系推出，则可证明，得到． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：垂直且平分， ， ． ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了线段和线段垂直平分线的尺规作图，圆内接四边形的性质，弦与圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键. 20. 某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得分的人数所对圆心角为，回答下列问题： （1）条形统计图有一部分污损了，求得分分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数； （2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩． （3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆；②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率． 【答案】（1）得分分的人数为8人；中位数为分；众数为分 （2）补测成绩为分或分 （3）小明和小亮选择同一项目的概率为 【解析】 【分析】（1）由题意知，调查总人数为（人），则得分分的人数为（人），根据中位数为第位数的平均数求解即可，根据众数是出现次数最多的数进行求解即可； （2）根据中位数的意义求解作答即可； （3）由题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，调查总人数为（人）， ∴得分分的人数为（人）， ∵，， ∴中位数为第位数的平均数，即（分）， 众数为分； ∴得分分的人数为8人；中位数为分；众数为分； 【小问2详解】 解：∵中位数变大了， ∴该名同学的补测成绩为分或分； 【小问3详解】 解：由题意画树状图如下； 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择同一项目共有3种等可能的结果， ∵， ∴小明和小亮选择同一项目的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，列举法求概率．熟练掌握条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，列举法求概率是解题的关键． 21. 2025年4月23日是第30个世界读书日，为鼓励同学们积极参加阅读活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买1本科技类图书和2本文学类图书需63元，购买3本科技类图书和4本文学类图书需149元． （1）科技类图书和文学类图书每本各多少元？ （2）经过评选有300名同学在活动中获奖，学校给每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过6800元，那么科技类图书最多能买多少本？ 【答案】（1）科技类图书每本23元，文学类图书每本20元 （2）科技类图书最多能买266本 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设科技类图书每本元，文学类图书每本元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，根据题意建立一元一次不等式，解不等式，求出的最大正整数值，由此即可得． 【小问1详解】 解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元， 由题意得：， 解得， 答：科技类图书每本23元，文学类图书每本20元． 【小问2详解】 解：设购买科技类图书本，则购买文学类图书本， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大正整数值为266， 答：科技类图书最多能买266本． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张角越大时，进球的可能性越大． 如图1，___________．（用“>”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点的动点， 求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标． 【答案】 【素材】 【实践探索】证明见解析 【迁移运用】 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质（如圆周角定理、切线的性质、垂径定理等）以及米勒圆（最大视角问题）的相关知识，涉及到利用圆的性质比较角的大小、探究最大视角的位置等内容．解题的关键是熟练运用圆中角的大小关系（如同弧所对的圆周角相等、圆外角与圆周角的大小关系），结合切线的性质和垂径定理等，将实际问题转化为几何图形中的角度关系问题，从而确定最大视角的位置并进行相关计算． 利用“同弧圆周角相等”与“三角形任意一个外角大于与它不相邻的一个内角”可得出与；利用“切线的性质”、“垂径定理”、“矩形的判定和性质”、“勾股定理”可求得的长，从而可写出点A的坐标． 详解】如下图， 设线段与圆弧交于点C，连接，则， 又，所以，， 故答案为：． 【实践探索】连结，其中与圆交于点N，连续．如图所示． ∵， ∴，即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大． 【迁移应用】如图，过点A、点P、点Q作外接圆，圆心为C，根据【实践探索】结论，当点A为的切点时，最大． 连结， 作，垂足为点M． ∵点A为的切点，为圆的半径， ∴， ∵， ∴ （垂径定理），且四边形为矩形（三个角为直角的四边形为矩形） 由点，点知，，则， ∴，即， 在直角三角形中，， 由矩形对边相等知，， ∴． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点， 两点， 交轴于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点 作． 于点，过点作轴的平行线交直线于点 ，求周长的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在（2） 问的条件下，将该抛物线沿射线的方向平移 个单位后得到新抛物线．点 为平移后的新抛物线的对称轴上一点． 在平面内确定一点． 使得四边形 是菱形，请求出符合条件的点 的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、菱形的性质、解直角三角形等知识，注意分类讨论和数形结合思想的运用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据题意求得的最大值，再根据相似三角形的性质求得，进而可求解； （3）根据平移性质和菱形的性质分、、分别为对角线三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 交轴于点， 两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为： 【小问2详解】 解：令， ∴，则， ∵，，则， 设直线的表达式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为 ， 设，则 ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为，此时； ∵， ∴的周长为， ∵轴， ∴， ， ∴ ∴，即 ∴周长的最大值为，此时； 【小问3详解】 解：∵，， ∴根据平移性质，该抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的对称轴为， 设，，， ∴ 当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点N坐标为； 当或为对角线时，或， 则或， 解得或 ∴点N坐标为或， 综上，满足题意的N点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $