3.5 函数的图像及其应用 讲义-2026届高三数学一轮复习

§3.5 函数的图像及其应用 目录 知识点一：函数图像的作法 2 知识点二：函数图像的四种变换 2 考点1：识图与辩图问题 3 考点2： 函数图像的变换 9 考点3： 函数图像的应用 11  利用函数图像判断交点的个数 11  利用图像求参数取值范围 14  利用图像研究不等式的解集 17 【强化训练】 21 知识点一：函数图像的作法 描点法作图的方法与步骤 知识点二：函数图像的四种变换 （1）平移变换 · 简记“左加右减，上加下减”.“左加右减”只针对本身，如果的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.“上加下减”指的是在整体上加减. （2） 对称变换 1　 关于轴对称;. 2　 关于轴对称;. 3　 关于原点对称;. 4　 关于直线对称；. （3） 伸缩变换 1　 2　 （4）翻折变换 1　 下翻上： ； 2　 右翻左： 考点1：识图与辩图问题 方法提炼 1. 知图选式和知式选式的方法： 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除错误，筛选正确的选项” (1) 抓住函数的性质，定性分析： 1　 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； 2　 从函数的单调性，判断图象的变化趋势； 3　 从周期性，判断图象的循环往复； 4　 从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2) 抓住函数的特征，定量计算：寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 2. 同一坐标系中辨析不同函数图像的方法： 解决此类问题时，常先假设其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图像是否符合要求，逐项进行验证排查. 【例1.1.】 函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一：因为函数的定义域为，故排除A； ，，所以，， 故非奇非偶函数，故排除B，D. 解法二： 由题可知， 当或时，，则在，上单调递增，故ABD错误； 故选：C 【例1.2.】 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从四个选项中可以看出，函数奇偶性、函数值的正负无法排除任意选项， 但满足， 因此的图象关于直线对称，可排除AB， 又，排除D， 故选：C. 【例1.3.】 （多选）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】令，得， ，令，得， 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，，，递减， ，，递增，故D正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递增，时，，递减， 时，，递减，故B正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，时，，递增， 时，，递增，故C错误； 若，，，且时，恒成立， 时，，递增，，，递增， ，，递减，故A错误； 综上，A,C错误，B,D正确． 故选：BD． 【例1.4.】 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 【例1.5.】 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图象可知的图象关于原点对称，所以为奇函数，且， 对于A, ，故不符合，A错误， 对于B, ，则为奇函数，且满足，故B正确， 对于C, ，则为偶函数，不符合，C错误， 对于D, ，为偶函数，不符合，D错误， 故选：B 【例1.6.】 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 【例1.7.】 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】观察二次函数图象可知：， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限． 故选：C． 【例1.8.】 当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 考点2： 函数图像的变换 【例2.1.】 已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同， 当时，所求函数图象与时图象关于轴对称， 即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求， 当时，，，故A正确，C错误. 故选：A. 【例2.2.】 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为定义域为， 则，所以函数的对称中心为， 所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数， 该函数的对称中心为，故函数为奇函数. 故选：A. 【例2.3.】 若函数的最小值为，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 令有：， 则，即， 由此知的函数图象为：的图象通过横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到， 再关于轴对称，得到，最后再向下平移一个单位，得到； 根据已知条件函数的最小值为， 由此可知函数的最大值为. 故选：A 【例2.4.】 将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意可得， 因为， 所以， 所以， 即，且. 因为，当且仅当时，取到最小值. 故选：B 考点3： 函数图像的应用 · 利用函数图像判断交点的个数 方法提炼 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图像来研究方程的根，方程的根就是函数图像与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图像的交点的横坐标. 【例3.1.】 方程实数解的个数为（   ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【详解】，注意到， 则，则方程实数解的个数即为函数两图象的交点个数， 如下图，在同一坐标系中做出两函数图象，则由图可得方程实数解有4个. 故选：B 【例3.2.】 函数的零点的个数为（     ） A． B． C． D．无法确定，与的取值有关 【答案】A 【详解】因为时，由指数函数的图象与性质知， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 又当时，，所以函数只有一个零点，    故选：A. 【例3.3.】 已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】是定义在上的函数，且有， 当时，， 则时，，则 时， 时， 时， 画出函数与函数的图象， 由图象可知方程的根的个数为3. 故选：C. 【例3.4.】 已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图，    由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故选：C · 利用图像求参数取值范围 方法提炼 利用图象求参数时，要准确分析函数图象的特殊点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系较明确的问题. 【例3.5.】 已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线，    由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 【例3.6.】 已知函数若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且； 当时，所以在上单调递增，且， 所以的图象如下所示： 又，且，不妨令， 结合图象可知且，即， 所以，即的取值范围为. 故选：A 【例3.7.】 已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. 【例3.8.】 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为当时，， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 由此可得， 当时，令，解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以； 由题意可得，，是方程，即的三个根， 所以， 即， 所以， 即， 所以． 故选：． · 利用图像研究不等式的解集 方法提炼 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解. 【例3.9.】 已知函数则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在同一坐标系中，作出函数以及的大致图象， 观察的区域， 由图象可知，在区间和上 ，由此的解集. 故选：A 【例3.10.】 已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，令，作出图象，如图所示， 令，由图知，要使对任意的都有恒成立，则必有， 当时，，由，消得到， 由，得到，即，由图可知， 故选：B. 【例3.11.】 已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，则定义域为， 所以的图象是取与图象位于下方的部分， 作出的图象如下所示（实线部分）： 当时，显然在上单调递减，且； 因为，使得关于的不等式成立， 所以，令，解得， 结合图象可得的解集为或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【例3.12.】 若存在实数，对任意的，不等式恒成立，求正数的取值范围. 【答案】 【详解】存在实数，对任意的，不等式恒成立， 等价于或， 整理得①或②， 令，，， 则不等式①②等价于的图象夹在和之间， 令，解得，即，， 的对称轴为，设点关于直线的对称点为点，则， 对任意的，函数的图象必须夹在和图象之间， 所以，即，故. 【强化训练】 1. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B， 又，排除A，当时，，排除D. 故选：C． 2. 已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】A 【详解】因为，所以，即的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 所以函数的图象关于点对称. 故选：A. 3. 已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或. 所以不等式的解集为：. 故选：D. 4. 函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 通过五点法作出周期函数的图象， 再通过两点法作出单调函数的图象， 因为，所以通过图象可判断它们有个交点， 故选：A. 5. 若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】由得，解得或， 画出的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当或时，和与图象还有4个交点，） 故选：D. 6. 已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示：      将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：C． 7. 函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【详解】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 8. （多选）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】， 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故B符合题意，A不符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，故C符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故D符合题意； 当时，恒成立，则函数在上单调递增. 故选：BCD 9. （多选）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A． B．与有相同的值域 C．的最小正周期是6 D． 【答案】ABD 【详解】由图象的变换知A项正确； 因为图象变换中没有上下平移，所以值域不变，可知B项正确； 由得①， 在中用代替得②， 由①②得，所以3是的周期，C项错误， 由知的周期， 则， 在中令得，所以，D项正确. 故选：ABD 10. （多选）已知函数若关于的方程有3个实数解，则（    ） A． B． C． D．关于的方程恰有3个实数解 【答案】ABD 【详解】如图，依题意作出函数的图象， 对于A项，作出关于轴对称的函数的图象，与直线交于点，则，不难看出点在点的右侧，则，故，A项正确； 对于B项，因当时，的图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，则， 由可得：，即，则得，故B项正确； 对于C项，当时，由解得：， 由解得：，， 此时，故C项错误； 对于D项，依题意，，在上单调递增，故， 于是由图知，函数与的图象恰有三个交点，即关于的方程恰有3个实数解，故D项正确. 故选：ABD 11. 已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，求导得， 所以在上单调递增，最大值为. 当时，. 当时，；当时，， 画出的图象如下： 因为存在实数使得函数恰有3个零点，这个问题可以转化为函数与直线有三个交点的问题. 由图可知时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意. 当时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意. 当时，由图可以知道，存在实数使得函数与直线恰有3个交点，符合题意. 故答案为：. 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(2) 抓住函数的特征，定量计算：寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 2. 同一坐标系中辨析不同函数图像的方法： 解决此类问题时，常先假设其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图像是否符合要求，逐项进行验证排查. 【例1.1.】 函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 （多选）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【例1.7.】 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例1.8.】 当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 考点2： 函数图像的变换 【例2.1.】 已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 若函数的最小值为，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 考点3： 函数图像的应用 · 利用函数图像判断交点的个数 方法提炼 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图像来研究方程的根，方程的根就是函数图像与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图像的交点的横坐标. 【例3.1.】 方程实数解的个数为（   ） A．0 B．4 C．8 D．12 【例3.2.】 函数的零点的个数为（     ） A． B． C． D．无法确定，与的取值有关 【例3.3.】 已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3.4.】 已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 · 利用图像求参数取值范围 方法提炼 利用图象求参数时，要准确分析函数图象的特殊点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系较明确的问题. 【例3.5.】 已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【例3.6.】 已知函数若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.7.】 已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 【例3.8.】 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． · 利用图像研究不等式的解集 方法提炼 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解. 【例3.9.】 已知函数则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例3.10.】 已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.11.】 已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【例3.12.】 若存在实数，对任意的，不等式恒成立，求正数的取值范围. 【强化训练】 1. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 3. 已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 4. 函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 5. 若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6. 已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7. 函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 8. （多选）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 9. （多选）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A． B．与有相同的值域 C．的最小正周期是6 D． 10. （多选）已知函数若关于的方程有3个实数解，则（    ） A． B． C． D．关于的方程恰有3个实数解 11. 已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$