精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024-2025学年下学期 东北师大附中 （数学）科试卷 高（一）年级期末考试 注意事项： 1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后；用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用坐标法求解向量的数量积，若，则它们的数量积为0. 【详解】由，则,解得. 故选：B. 2. 下列叙述正确的是（ ） A. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C. 以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转体的定义逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确； 对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误； 对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台是一个组合体，故C错误； 对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误. 故选：A. 3. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则函数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象平移、伸缩变换法则即可求解. 【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 故选：B. 4. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下面命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过举出反例可判断选项A，B，D；根据线面垂直的性质可判断选项C. 【详解】对于A，当时，若，则由面面平行的判定定理可得， 当时，则平行或相交，故A错误； 对于B，当时，若，则由线面垂直的判定定理可得， 当时，则与不一定垂直，故B错误； 对于C，因为，所以， 又因为，所以，故C正确； 对于D，当时，若，则由面面垂直的性质可得， 当时，则或与相交，故D错误. 故选：C. 5. 从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ） A. 至少有2个红球 B. 至少有2个黄球 C. 都是黄球 D. 至多2个红球 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的定义判断即可. 【详解】从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，只有三红、两红一黄、一红两黄、三黄这四种情况， 则“至少有1个红球”的对立事件是“都是黄球”. 故选：C. 6. 已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体性质可将平移到与相交，再由其棱长关系即可求得其余弦值为，说明即可得解. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形， 即， 所以异面直线与所成的角的平面角即为， 不妨设正方体棱长为，易知； 取的中点为，连接，易知， 所以， 由正方体性质可知，，所以四边形是平行四边形， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 7. 已知一组数据：5，4，3，3，3，2，1，则下列叙述正确的是（ ） A. 极差是5 B. 平均数是 C. 方差是 D. 下四分位数为4 【答案】C 【解析】 【分析】由极差、平均数、方差以及下四分位数的概念逐一判断各个选项即可. 【详解】将这7个数据从小到大排列为：1，2，3，3，3，4，5， 对于A，极差是，故A错误； 对于B，平均数是，故B错误； 对于C，方差是，故C正确； 对于D，，所以下四分位数为从小到大排列的第2个数，即2，故D错误. 故选：C. 8. 如图，在正方形中，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合成点，则下列叙述错误的为（ ） A. B. 二面角的正切值为 C. 点在平面上的射影是的垂心 D. 三棱锥的外接球与内切球的半径之比为 【答案】D 【解析】 【分析】本题中考查的是翻折前后的图形性质，A选项中主要通过正面直线面,证明；B选项中，先作出二面角的平面角，再根据定义求解，C选项需要利用垂心的定义进行判定；D选项中分别计算出外接球与内切球的半径，然后判断正误. 【详解】A，翻折前,翻折后, 又都在平面内，所以面， 面，所以,故A正确； B，取中点，连接. ,又都在平面内，所以面, 面，则，则即为二面角的平面角,且. 设正方体的边长为，则，, 所以,故B正确； C，过点作，则点就是点在平面上的射影. ,所以， 所以，,且. 所以, 即,且，所以是的垂心，故C正确； D，设三棱锥的外接球与内切球的半径分别为, 由于两两垂直，且, 将三棱锥置于长方体模型中，得,. ，得,故,D错误. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. 的虚部为 D. 和都是方程的解 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由模的计算公式验算即可；对于B，由复数的几何意义、共轭复数的概念判断即可；对于C，由虚部的概念判断即可；对于D，由求根公式验算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，在复平面内对应的点在第四象限，故B正确； 对于C，的虚部为1，故C错误； 对于D，方程的解为，故D正确. 故选：BD. 10. 在空间中，下面叙述正确的是（ ） A. 若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补 B. 若两个角的两条边分别对应垂直，则这两个角相等或互补 C. 若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补 D. 若两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补 【答案】AC 【解析】 【分析】由等角定理及二面角的定义即可判断，BD选项举反例即可. 【详解】由等角定理可知：若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补，故A正确； 对于B，在正方体，的两边分别是和，的两边分别是和，，，满足两个角的两条边分别对应垂直，但是和既不相等也不互补，故B错误； 根据二面角的定义可知：若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补，故C正确； 对与D，在正方体，平面平面，平面平面， 二面角与二面角的两个半平面就是分别对应垂直的， 但是这两个二面角既不相等，也不互补，故D错误. 故选：AC 11. 已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（ ） A. 点到平面的距离为 B. 曲线的长度为 C. 线段的最小值为 D. 所有线段所形成的曲面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正四面体的性质进行计算，可判定A；结合球的性质研究得到曲线为正的以中心中心为圆心半径为2的圆在梯形内的部分，为两段圆弧，进而判定BCD. 【详解】设截得已知三棱台的正四面体为，根据正四面体的性质，点到平面的距离平面，垂足为， ，A选项正确； 以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则， 点轨迹为以正中心为圆心半径为2的圆在梯形内的部分，为两段圆弧，每一段的圆心角都是，端点都是正边的三等分点，如图所示. 曲线的长度为，B选项错误； 连接,由圆的性质可得线段的最小值，C选项正确； 所有线段所形成的曲面是以为顶点，圆为底面的圆锥的侧面的了2小部分，其面积为面积，D选项正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家． 【答案】20 【解析】 【详解】试题分析：根据所给的三种超市的数目，相加得到共有的超市数目，根据要抽取的超市数目，得到每个个体被抽到的概率，用中等超市的数目乘以被抽到的概率，得到结果． 解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家， ∴共有超市200+400+1400=2000， ∵按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本， ∴每个个体被抽到的概率是， ∴中型超市要抽取400×=20家， 故答案为20． 点评：本题考查分层抽样，这是一个每年必考的题目，解题的关键是抽样过程中每个个体被抽到的概率相等． 13. 从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、、共个结果； 满足两个数相差为2的有、共个结果； 所以两个数相差为2的概率； 故答案为： 14. 一个棱长为的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正方体的结构特征可得两个球的球心在正方体的一条体对角线上，进而列出方程求解即得. 【详解】铁球与正方体共点的三个面都相切，球心在这个点为端点的正方体体对角线上，设球半径为， 则另一个铁球与这条体对角线的另一端点所在的三个面都相切，该球球心在这条体对角线上， 要球半径最大，两个半径相等的铁球必相切，因此一个球的球心到这条体对角线一个端点距离最小值为 又球心到与球相切的三个面的距离为，因此，解得， 所以铁球半径的最大值为为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，底面，，，，. （1）求的大小； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）只需求出三棱锥的高、底面积，再结合棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 又因为 所以； 【小问2详解】 因为底面，平面，所以， 因为，，所以， 即三棱锥的高为6， 因为，，， 所以三角形的面角为， 所以三棱锥的体积为. 16. 某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了50名学生的成绩，（满分150分），将所有数据整理后绘制成如下频率分布直方图： （1）求的值； （2）求这50名学生的数学成绩的第80百分位数； （3）根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）算出每一组的频率，根据频率之和为1求解的值； （2）确定第80百分位数所在区间，列方程求解即可； （3）根据求频率分布直方图平均数的公式求解平均分即可. 【小问1详解】 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 频率之和为1，故，即，解得， 故. 【小问2详解】 因为，， 所以这50名学生的数学成绩的第80百分位数在内，设为， 则，，， 解得， 故这50名学生的数学成绩的第80百分位数为. 【小问3详解】 这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分为： . 17. （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面上的射影恰好落在上. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角. 【答案】（1）证明：点在平面上的射影恰好落在上， 则平面，平面，所以． 因为四边形是矩形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又，，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）点在平面上的射影恰好落在上，推导出，从而平面，进而，由此能证明平面； （2）由平面，则直线与平面所成的角为，结合边长即可计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，则直线与平面所成的角为， 在矩形中，，， 因为平面，平面，所以 在中，因为，， ，所以， 所以直线与平面所成的角． 18. （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，点是侧棱上一动点，且. （1）若平面，求值； （2）若平面与平面的夹角（锐二面角）的正切值为，求值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得到，进而说明为中点； （2）延长，与的延长线交于点，作出二面角的平面角，然后根据解三角的知识求解. 【小问1详解】 如图，取的中点，连结，, 因为分别是、的中点，且，所以，, 因为平面，平面平面，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，故. 【小问2详解】 延长梯形的两腰交于，连， 因为平面，过作于，连， 则，所以是平面与平面的夹角， 所以，所以． 因为，所以，所以． 因为，所以，所以， 所以．在中，，由余弦定理，得 ， . 因为， 所以， 因为，化简整理得，解得， 且． 所以，． 19. 如图所示，在中，角，，所对的边分别是，，，，，设的面积为，为的角平分线，且. （1）求： （2）求值； （3）点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为的一半，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解的值； （2）中利用角平分线定理求解边长，进一步求面积； （3）则是先利用的面积为的一半得到参数的关系，再消元，最终转化为单变量的函数值域问题求解. 【小问1详解】 ，即. 【小问2详解】 设，则,,,且. 即,得，.所以,. 【小问3详解】 设，.由，得. 因为，所以. 设, 因为三点共线，所以. . 由且，得. 由，得，故. 在上单调递增，. 所以. 【点睛】本题联系角平分线定理，利用等面积法建立等量关系求解边和角，进一步求解面积，通过面积公式联系向量的共线表示，确定参数之间的关系，再进一步消元，利用函数方法求解最值，多元知识点综合应用，具有一定的难度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期 东北师大附中 （数学）科试卷 高（一）年级期末考试 注意事项： 1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后；用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 下列叙述正确的是（ ） A. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C. 以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 3. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则函数（ ） A. B. C. D. 4. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下面命题正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ） A. 至少有2个红球 B. 至少有2个黄球 C. 都是黄球 D. 至多2个红球 6. 已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一组数据：5，4，3，3，3，2，1，则下列叙述正确的是（ ） A. 极差是5 B. 平均数是 C. 方差是 D. 下四分位数为4 8. 如图，在正方形中，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合成点，则下列叙述错误的为（ ） A. B. 二面角的正切值为 C. 点在平面上的射影是的垂心 D. 三棱锥的外接球与内切球的半径之比为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. 的虚部为 D. 和都是方程的解 10. 在空间中，下面叙述正确的是（ ） A. 若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补 B. 若两个角的两条边分别对应垂直，则这两个角相等或互补 C. 若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补 D. 若两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补 11. 已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（ ） A. 点到平面的距离为 B. 曲线的长度为 C. 线段的最小值为 D. 所有线段所形成的曲面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家． 13. 从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______. 14. 一个棱长为的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm. 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，底面，，，，. （1）求的大小； （2）求三棱锥的体积. 16. 某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了50名学生的成绩，（满分150分），将所有数据整理后绘制成如下频率分布直方图： （1）求的值； （2）求这50名学生的数学成绩的第80百分位数； （3）根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分. 17. （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面上的射影恰好落在上. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角. 18. （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，点是侧棱上一动点，且. （1）若平面，求值； （2）若平面与平面的夹角（锐二面角）的正切值为，求值. 19. 如图所示，在中，角，，所对的边分别是，，，，，设的面积为，为的角平分线，且. （1）求： （2）求值； （3）点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为的一半，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $