第一章 特殊平行四边形 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 单元试卷 一、选择题 如图，公路 ， 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开，若测得 的长为 ，则 ， 两点间的距离为 A． B． C． D． 如图，已知某广场菱形花坛 的周长是 米，，则花坛对角线 的长度等于 A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 如图，将矩形纸片 折叠，使点 与点 重合，点 落在 处，折痕为 ，若 ，那么 的度数为 A． B． C． D． 下列说法中错误的有 个． ①一条对角线平分一内角的平行四边形是菱形； ②两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形； ③依次连接菱形各边中点得到的图形是正方形； ④两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A． B． C． D． 如图，点 是矩形 的对角线 上一点，过点 作 ，分别交 ， 于 ，，连接 ，．若 ，，则图中阴影部分的面积为 A． B． C． D． 如图，四边形 为矩形纸片，把纸片 折叠，使点 恰好落在 边的中点 处，折痕为 ，若 ，则 等于 A． B． C． D． 如图，在矩形 中，，，点 在 上， 于 ， 于 ，则 等于 A． B． C． D． 如图，正方形 的边长为 ， 在 上，且 ， 是 上一动点，则 的最小值为 A． B． C． D． 二、填空题 如图，平行四边形 的对角线互相垂直，要使平行四边形 成为正方形，还需添加的一个条件是 ．（只需添加一个即可） 如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作 ，垂足为点 ，若 ，则 度． 如图，将边长为 的正方形 绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，使得点 落在对角线 上， 与 相交与点 ，则 = ．（结果保留根号） 已知四边形 是矩形，点 是边 的中点，以直线 为对称轴将 翻折至 ，连接 ，那么图中与 相等的角的个数为 ． 在平行四边形 中，，，点 为 中点，连接 ，，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的有 ． 已知正方形 的边长为 ，点 ， 分别在 ， 上，， 与 相交于点 ，点 为 的中点，连接 ，则 的长为 ． 正方形 中，， 是正方形 内一点，且 ，则 的最小值是 ． 如图，矩形 在平面直角坐标系内，其中点 ，点 ，点 和点 分别位于线段 ， 上，将 沿 对折，恰好能使点 与点 重合．若 轴上有一点 ，能使 为等腰三角形，则点 的坐标为 ． 三、解答题 如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ，， 平分 ．求 的度数． 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，，，连接 ． (1) 求证：； (2) 探究：当 等于多少度时，四边形 是正方形？并证明你的结论． 已知：如图，在平行四边形 中， 平分 交 于 ， 平分 ，交 于 ． (1) 求证：； (2) 当 与 满足什么关系时，四边形 是矩形？请说明理由． 如图，已知在平行四边形 中，点 ， 分别是 ， 的中点，， 与对角线 分别相交于点 ，，连接 、 ． (1) 求证：四边形 是平行四边形； (2) 如果 ，求证：四边形 是菱形． 如图①，在 中，，，， 是边 上的任意两点，且 ． (1) 将 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到 ，请在图①中画出 ． (2) 在（）中，探究线段 ， 和 之间有怎样的数量关系，写出猜想，并说明理由． (3) 如图②，， 分别是正方形 的边 ， 上一点，且 ，试求 的度数． 如图①，在矩形纸片 中，，，折叠纸片使 点落在边 上的 处，折痕为 ，过点 作 交 于点 ，连接 ． (1) 求证：四边形 为菱形； (2) 当点 在 边上移动时，折痕的端点 ， 也随之移动． ①当点 与点 重合时（如图②），求菱形 的边长； ②若限定 ， 分别在边 ， 上移动，求出点 在边 上移动的最大距离． 答案 一、选择题（共8题） 1. 【答案】D 【解析】 ， 为直角三角形， 中点为 ， ，， ． 2. 【答案】A 【解析】 四边形 为菱形，设对角线交点为 ， ，，，（米）， ， 为等边三角形， （米），（米）， 在 中，根据勾股定理得：（米）， 则 米． 3. 【答案】C 【解析】由题意得 ，， ， ， ， ， ， 故选C． 4. 【答案】C 【解析】①有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故①正确； ②两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形，故②错误； ③依次连接菱形各边中点得到的图形是矩形，故③错误； ④两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故④错误； 本题错误的说法有： 个． 5. 【答案】C 6. 【答案】A 【解析】由折叠的性质得 ，， ， 为 中点，故 ， 又 ， ， 则 ， 设 ，则 ， 在 中，根据勾股定理，， ，，（舍去）． ． 7. 【答案】B 【解析】连接 ，过 作 于 ， 四边形 是矩形， ，，，， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 即 ． 8. 【答案】D 二、填空题（共8题） 9. 【答案】答案不唯一，如： 或 10. 【答案】 11. 【答案】 【解析】 四边形 为正方形， ，， 边长为 的正方形 绕点 按照顺时针方向旋转到 的位置，使得点 落在对角线 上， ，， 为等腰直角三角形， ． 12. 【答案】 【解析】由折叠知，，， 点 是 中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 13. 【答案】①②③④ 【解析】如图延长 交 的延长线于 ，取 的中点 连接 ． ，， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ，故③正确； ，，， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是菱形， ， ，，， ， ， ，故④正确． 14. 【答案】 【解析】 四边形 为正方形， ，， 在 和 中， ， ， ， ， ， 点 为 的中点， ， ，， ， ． 15. 【答案】 【解析】当 ，， 在同一直线上时， 是值小． 因为，四边形 是正方形， 所以，． 16. 【答案】 或 【解析】 矩形 ，且点 ，点 ， ，，， 将 沿 对折，恰好能使点 与点 重合． ， ， ， ， ， 为等腰三角形，且 ， ， 点 坐标 或 ． 三、解答题（共6题） 17. 【答案】 ，． 18. 【答案】 (1) ，， 四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形， ，， 四边形 是矩形， ； (2) 当 时，四边形 是正方形，理由如下： 四边形 是菱形，， 四边形 是正方形， ， 又 四边形 是矩形， 四边形 是正方形． 19. 【答案】 (1) 四边形 为平行四边形， ，，， ， 平分 ， 平分 ， ， 在 与 中， ． (2) 当 时，四边形 是矩形．理由： 平分 ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 平行四边形 是矩形． 20. 【答案】 (1) 连接 ，交 于点 ， ，，点 ， 分别是 ， 的中点， ， ，， ， ． 四边形 是平行四边形. (2) 由（）知，四边形 是平行四边形， 点 ， 分别是 ， 的中点， ， ， ， 平行四边形 是菱形． 21. 【答案】 (1) 如图① (2) ， 理由：如图①，连接 ，由旋转可知，，，，． ， ， 在 和 中， ， ， ，， ， ， ， ， ． (3) 如图②，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ， 由旋转，得 ，，，． 在正方形 中，， ，即 ，， 三点共线． ， ，即 ． 在 和 中， ， ． 22. 【答案】 (1) 折叠纸片使 点落在边 上的 处，折痕为 ， 点 与点 关于 对称， ，，． 又 ， ， ， ， ， 四边形 为菱形． (2) ① 四边形 是矩形， ，，． 点 与点 关于 对称， ． 在 中，， ． 在 中，， ， ， 解得 ， 菱形 的边长为 ． ②当点 与点 重合时，如图①． 此时点 离点 最近，由①知，此时 ． 当点 与点 重合时，如图②． 此时点 离点 最远，此时四边形 为正方形，， 点 在边 上移动的最大距离为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$