第一、二章 有理数 有理数的运算（中等类型）-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第一、二章 有理数 有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、数轴上两点之间的距离 【解惑】如图，数轴上两点对应的数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，由数轴可知，数轴上两点对应的数为，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，数轴上两点对应的数为， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴，解题的关键是根据题中提取的数量关系来求解．根据，求出，继而可以求出点A表示的数． 【详解】解：∵，点B表示的数是， ∴， ∵点A在O点右侧， ∴点A表示的数为：， 故选:A． 2．如果数轴上的点A对应有理数为，那么在A点右侧且与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了数轴及有理数，根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，数轴上的点A对应的有理数为， 则， 所以在A点右侧且与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为1． 故答案为：1． 3．如图，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是9，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，在数轴上表示有理数．根据已知条件和两点间的距离公式，求出和，结合数轴求出点表示的数，即可作答． 【详解】解：点表示的数是9， ，， 结合点在点的左边， ∴点表示的数是， 故答案为：． 类型二、字母在数轴上比较大小 【解惑】已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与有理数． 根据数轴可得，据此即可求解． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， ∴选项正确，错误， 故选：． 【融会贯通】 1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上有理数的位置，有理数的运算，不等式的基本性质，计算判断即可． 本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则，不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，且， ∴， 故A选项错误； ∴， 故B选项错误； ∵， ∴故C选项错误； ∵， ∴， 故D选项正确； 故选：D． 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，由此可解． 【详解】解：由图可知，数轴上c在b的右侧， ， ， 故答案为：． 3．有理数在数轴上表示如图所示，用“>”“<”或“=”填空： ， ． 【答案】 < > 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． 根据图示，可得：，，而且，据此逐项判定即可． 【详解】解：根据图示，可得：，，而且， ∵， ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：<、>． 类型三、绝对值化简 【解惑】如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a，b，c，化简（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由数轴判断式子的大小． 由数轴可知：，进而判断出，，，化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简绝对值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选：C． 2．有理数，，的位置如图所示，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，正确根据数轴得到，是解题的关键．根据数轴上点的位置得到，由此化简绝对值即可． 【详解】由数轴可知，， 得， 则 ， 故答案为：． 3．如图所示已知a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简 【答案】/ 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴可得：，，从而得出，，再根据绝对值的性质化简即可得解． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 类型四、有理数加、乘法运算律 【解惑】计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 【答案】C 【分析】本题考查有理数加法运算律的应用．观察第一步的变形，将原式中的加数重新分组并交换位置，需结合加法交换律和结合律进行判断． 【详解】解：由题意可知，将原式中与的位置交换，使与相邻，与相邻，使用了加法交换律，将相邻的加数分组结合，形成和两部分，使用了加法结合律， 因此，第一步同时应用了加法交换律和加法结合律， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【分析】根据题干中的计算步骤即可求得答案．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 此步骤是将原式变形， 此步骤是利用乘法分配律， 此步骤是利用减法法则， 则原计算步骤从②步开始出错， 故选：C． 2．，应用了( )律． 【答案】乘法分配 【分析】此题考查了有理数的乘法，理解乘法的分配律的意义，并且能够正确灵活运用乘法的运算定律进行简便计算是解题的关键． ，运用乘法分配律进行简算． 【详解】解：，应用了乘法分配律进行简算． 故答案为：乘法分配． 3．用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法，解答的关键是灵活运用有理数的加法的运算律． 利用有理数的加法的交换律与结合律对式子进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 类型五、程序流程图 【解惑】如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键．计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果以、、为一个循环组依次循环，然后计算即可． 【详解】解：∵第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴输出结果以、、为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为1， 故选：A． 【融会贯通】 1．若计算机按如图所示程序工作，若输入的数是4，则输出的数是（     ） A．-396 B．36 C．-36 D．396 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，根据新定义题型的意义，列出算式即可； 【详解】解：∵， 而， ∴， 而， ∴结果输出． 故选项：A 2．如图所示，根据程序计算，若输入的值是，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序计算图，代入即可求解，根据流程图正确计算是解题的关键． 【详解】解：第一次：， 第二次：， ∴输出的值为， 故答案为：． 3．如图所示的程序图，当输入1时，输出的结果是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，读懂程序图，列式，得出，再计算，得，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， 故答案为：15 类型六、幻方幻圆问题 【解惑】小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（　　）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论，解题的关键是读懂题意，列出算式． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是，    则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则， 故选：． 【融会贯通】 1．有人建议向火星发射如图①的图案，它叫幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．幻方的排列规律是：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）．请你类比图①推算出图②幻方中处所对应的数字是（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的运算，根据题意求出右下角的数，进而求解即可． 【详解】∵幻方的排列规律是：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等，且等于中间的数的3倍， ∴右下角的数 ∴． 故选：A． 2．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将－6，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为 ． 【答案】或10 【分析】本题考查了有理数的加法，由所给数字结合题意可得横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和为4，从而求出，或，分别计算即可得解． 【详解】解：如图， ， ∵，横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等 ∴横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和为4， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，的值为或10， 故答案为：或10． 3．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 ． 4 红 色 基 因 7 8 1 6 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出算式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴色， ∴红， 故答案为：9． 类型七、绝对值分类讨论问题 【解惑】已知，且，则的值是（　　　） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法、绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质以及求出的值，再根据除法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴分两种情况：①时，；　②时， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知 且，则 的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值等知识点，由题意可得：，再由得出或，最后代入求值即可，熟练掌握有理数的混合运算法则是解决此题的关键． 【详解】， ， ， ∴或， 当时，， 当时，， 故选：B． 2．若，互为倒数，，互为相反数，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据，互为倒数，，互为相反数，，可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，互为倒数，，互为相反数，， ，，， 当时， ； 当时， ； 故答案为：或． 3．（1）已知，且，则 ． （2）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的除法运算，绝对值，以及有理数的除法运算． （1）利用绝对值的意义及，求出x与y的值，即可求出的值； （2）利用绝对值的意义及，可得出，即可求出的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴当时，，则； 当时，，则； ∴； 故答案为：； （2）当时，； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，． 故答案为：． 类型八、日历问题 【解惑】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年11月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7． (1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算； （1）观察日历得出所求等式即可； （2）设最小的一个数为，其他三个分别为，，，验证即可． 【详解】（1）解：例如：； ； （2）设最小的一个数为，其他三个分别为，，， 则 ． 【融会贯通】 1．观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是3的倍数 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，倍数，整式得加减，掌握数字变化类的规律是解题的关键． （1）根据日历中“阶梯框”中的数字规律即可解答； （2）将6个数相加即可解答； （3）根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能； 【详解】（1）解：如图所示： a （2） 所以日历中"阶梯框"中的数字之和一定是3的倍数； （3）不可能，根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，当 时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能出现32． 2．日历是一份来自时间的礼物，它让生活有迹可循，同时提醒我们要珍惜时间，不负韶华．如图是年月份的日历，小颖用一个“”形框选中了个数． (1)请通过计算说明图中“”形框选中的五个数的和与中间数的关系； (2)若在日历中任意画一个这样的“”形框且选中个数，（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍 (2)成立，理由见详解 【分析】本题考查有理数的加法，求代数式的值，根据题意列代数式是解题的关键； （1）计算这五个数的和，即可找到与中间数的关系； （2）设中间的数为，其余四个数分别为，，，，计算五个数的和即可求解； 【详解】（1）解：； 图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍； （2）解：成立； 设中间的数为，其余四个数分别为，，，， 五个数的和为：； 图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍； 3．如图是某月的日历． （1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？ （2）不改变方框的大小如果将带阴影的方程移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立． 活学活用： 小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题： （3）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？ （4）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由． 【答案】（1）方框中9个数之和为方框正中的数的9倍 （2）成立，理由见解析 （3）十字框中的五个数的和是中间数16的5倍 （4）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查图形与数字规律，有理数的混合运算， （1）根据图示，列式求解即可； （2）设中心数为，根据（1）中的计算方法即可求解； （3）根据图示，列式计算即可求解； （4）设中间的数为，由此列式求解可得，再根据402在第41行的第一个数字进行判定即可求解． 【详解】解：（1）， ， ∴方框中9个数之和为方框正中的数的9倍； （2）成立，理由如下， 设中心数为， ∴， ∴9个数之和是方框正中的数的9倍； 活学活用 （3），， ∴十字框中的五个数的和是中间数16的5倍； （4）不能，理由如下， 设中间的数为， ∴，则， ∵402在第41行的第一个数字， ∴框住的5个数的和不能为2010． 类型九、算“24”点 【解惑】“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 【融会贯通】 1．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是任取四个有理数，将这四个数（每个数都要用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如，对1，2，3，4可作如下运算：与视为相同方式的运算）． (1)现有四个有理数3，4，，10，运用游戏规则写出三种不同方式的算式； (2)另有四个有理数3，，7，，运用游戏规则写出一种算式． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题意，可以写出符合要求的式子，即可． （2）根据题意，可以写出符合要求的式子，即可． 【详解】（1）解：根据“二十四点”游戏规则得： ， ， ， ； （2）解：根据“二十四点”游戏规则得：． 2．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字和最大，最大值是　　； (2)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是　　； (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出和最大值即可； （2）根据题意列出算式，找出积最小值即可； （3）利用“点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴最大值为； （2）解：， ∴最小值为； （3）解：根据题意得：；， 即符合题意的式子为：；． 3．红红有6张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ； (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子： ， ． 【答案】(1)18 (2) (3)； 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出积最大值即可； （2）根据题意列出算式，找出商最小值即可； （3）利用“24点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ． 故答案为：18； （2）解：由题意，得 ． 故答案为：； （3）解：由题意，得 ；． 故答案为：；． 类型十、数轴对称折叠问题 【解惑】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)①，②、两点表示的数分别是、． 【分析】 本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键． （1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【详解】（1） 解：（1）表示的点与表示的点重合， 对称中心为0， 表示的点与数3表示的点重合； （2）表示的点与2表示的点重合， 对称中心为， ①， 表示的点与数表示的点重合； ②，两点之间的距离为5， 的一半为， 在的左侧， 点表示， 点表示． 、两点表示的数分别是、． 【融会贯通】 1．已知在纸面上有一数轴，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)已知、两点相距个单位长度，请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； (2)在数轴上标出与点的距离为的点（用不同于、的字母表示）； (3)折叠纸面，若数轴上对应的点与对应的点重合，解答以下问题： 对应的点与______对应的点重合； 若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数； (4)如图，半径为的圆周上有一点落在数轴上点处，将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后，点在数轴上所表示的数为______．（结果保留） 【答案】(1)点表示的数为，则点表示的数为； (2)见解析； (3)；点为，点为； (4)． 【分析】（）根据数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数可知表示，表示为，即可求解； （）与点距离为的点，即左右两边距离两个单位长度的点，也就是数为和的点； （）先求出和的中点，再根据中点列式计算即可得解； 根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解； （）先求出圆的周长，再根据平移规律即可得出结论； 本题考查了数轴，数轴上两点间的距离，有理数的加减，熟练掌握掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，点表示的数为，则点表示的数为：， （2）解：如图， 数轴与点的距离为的点分别为和， 即数轴中和为所求； （3）解：，， 故答案为：； 由可知，对折点的数为，且在的左侧， ∴点为，点为； （4）解：∵圆的半径， ∴圆的周长， ∴将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点所处的位置的点在数轴上所表示的数为， 故答案为：． 2．数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ①表示5表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数是多少？ (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①；②，； (3)和． 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点对应的数的绝对值． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与重合； （2）根据对称性找到折痕的点为1，①设5表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②根据数轴上A、B两点之间距离为6可得A到折痕的点距离为3，由此得出A、B两点表示的数； （3）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上表示3的点与表示的点重合， ∴折痕为原点O， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）∵折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ∴折痕表示的点为1， ①设5表示的点与数a表示的点重合， 则， 解得：； 故答案为：； ②∵数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， 则A、B两点表示的数分别是和； （3）由题意可得，，， 即两条折痕处对应的点所表示的数分别是和． 3．【数学活动】 学习了数轴和有理数的加减运算等相关知识后，学校七年级数学兴趣小组利用数轴进行了以下探究： [活动一  阅读] 表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． [活动二  探索] （1）数轴上表示5和的两点之间的距离是______． （2）①若，则______； ②若使x所表示的点到表示和2的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为______． [活动三  折叠] 小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合． （4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，则： ①表示的点和______表示的点重合； ②这时如果（A在B的左侧）两点之间的距离为，且两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是______； ③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且两点经折叠后重合，试求a与b之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①或；②；（3）；（4）①；②，；③ 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据题意可得方程或，求出的值即可； ②根据绝对值的几何意义可知时，，求出符合条件的整数即可；（3）利用中点公式求出折痕点，再求解即可； （4）①利用中点公式求出折痕点，再求解即可； ②点表示的数是，则点表示的数是，根据中点公式求出，即可求解； ③根据①②结合中点公式可求． 【详解】（1）表示5和的两点之间的距离是． （2）①若， 则或， 解得或． ②使x所表示的点到表示和2的点的距离之和为5， ， 与 2之间的距离为， ， 所有符合条件的整数x有， ， 所有符合条件的整数x的和为． （3）1表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是0， 3表示的点与表示的点重合． （4）①3表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是， ， 表示的点和表示的点重合． ②设点表示的数是，则点表示的数是， 则， 解得， 点表示的数是，点表示的数是． ③点A表示的数为a，点B表示的数为b， 且两点经折叠后重合， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一、二章 有理数 有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、数轴上两点之间的距离 【解惑】如图，数轴上两点对应的数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（    ） A．2025 B． C． D． 2．如果数轴上的点A对应有理数为，那么在A点右侧且与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为 ． 3．如图，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是9，则点表示的数是 ． 类型二、字母在数轴上比较大小 【解惑】已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（    ） A． B． C． D． 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”或“”） 3．有理数在数轴上表示如图所示，用“>”“<”或“=”填空： ， ． 类型三、绝对值化简 【解惑】如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a，b，c，化简（    ） A．0 B． C． D． 【融会贯通】 1．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．有理数，，的位置如图所示，化简 ． 3．如图所示已知a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简 类型四、有理数加、乘法运算律 【解惑】计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 【融会贯通】 1．如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 2．，应用了( )律． 3．用简便方法计算： ． 类型五、程序流程图 【解惑】如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【融会贯通】 1．若计算机按如图所示程序工作，若输入的数是4，则输出的数是（     ） A．-396 B．36 C．-36 D．396 2．如图所示，根据程序计算，若输入的值是，则输出的值为 ． 3．如图所示的程序图，当输入1时，输出的结果是 ． 类型六、幻方幻圆问题 【解惑】小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（　　）    A．或 B．或 C．或 D．或 【融会贯通】 1．有人建议向火星发射如图①的图案，它叫幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．幻方的排列规律是：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）．请你类比图①推算出图②幻方中处所对应的数字是（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 2．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将－6，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为 ． 3．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 ． 4 红 色 基 因 7 8 1 6 类型七、绝对值分类讨论问题 【解惑】已知，且，则的值是（　　　） A．6 B． C． D． 【融会贯通】 1．已知 且，则 的值为（   ） A．2 B． C． D． 2．若，互为倒数，，互为相反数，，则的值为 ． 3．（1）已知，且，则 ． （2）已知，则的值为 ． 类型八、日历问题 【解惑】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年11月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7． (1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【融会贯通】 1．观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 2．日历是一份来自时间的礼物，它让生活有迹可循，同时提醒我们要珍惜时间，不负韶华．如图是年月份的日历，小颖用一个“”形框选中了个数． (1)请通过计算说明图中“”形框选中的五个数的和与中间数的关系； (2)若在日历中任意画一个这样的“”形框且选中个数，（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由． 3．如图是某月的日历． （1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？ （2）不改变方框的大小如果将带阴影的方程移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立． 活学活用： 小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题： （3）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？ （4）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由． 类型九、算“24”点 【解惑】“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【融会贯通】 1．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是任取四个有理数，将这四个数（每个数都要用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如，对1，2，3，4可作如下运算：与视为相同方式的运算）． (1)现有四个有理数3，4，，10，运用游戏规则写出三种不同方式的算式； (2)另有四个有理数3，，7，，运用游戏规则写出一种算式． 2．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字和最大，最大值是　　； (2)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是　　； (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子． 3．红红有6张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ； (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子： ， ． 类型十、数轴对称折叠问题 【解惑】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【融会贯通】 1．已知在纸面上有一数轴，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)已知、两点相距个单位长度，请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； (2)在数轴上标出与点的距离为的点（用不同于、的字母表示）； (3)折叠纸面，若数轴上对应的点与对应的点重合，解答以下问题： 对应的点与______对应的点重合； 若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数； (4)如图，半径为的圆周上有一点落在数轴上点处，将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后，点在数轴上所表示的数为______．（结果保留） 2．数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ①表示5表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数是多少？ (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？ 3．【数学活动】 学习了数轴和有理数的加减运算等相关知识后，学校七年级数学兴趣小组利用数轴进行了以下探究： [活动一  阅读] 表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． [活动二  探索] （1）数轴上表示5和的两点之间的距离是______． （2）①若，则______； ②若使x所表示的点到表示和2的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为______． [活动三  折叠] 小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合． （4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，则： ①表示的点和______表示的点重合； ②这时如果（A在B的左侧）两点之间的距离为，且两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是______； ③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且两点经折叠后重合，试求a与b之间的数量关系． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$