第一、二章 有理数 有理数的运算（优质类型）-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第一、二章 有理数 有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、有理数的新定义运算 【解惑】对于有理数a，b定义一种新运算，规定，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【融会贯通】 1．新定义运算：如图，在的正方形网格中，黑色格子表示0，白色格子表示1，每一行都按进行运算，其中x代表第几行，a表示每一行的第一个格子，b表示每一行的第二个格子，c表示每一行的第三个格子．例如：，那么的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．定义运算：，如．则： ． 3．对于任意有理数，定义一种新运算，当时，；当时，，则 ． 类型二、进制问题 【解惑】为了区分不同的进制，常在数的右下角标明基数，例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．通过把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以转化成十进制数．例如：，（规定：当时，），根据以上信息，将转化成十进制数是（   ） A．28 B．29 C．58 D．62 【融会贯通】 1．在计数和运算中，我们常常采用“逢十进一”，这种计数的方法称为“十进制”，10称为“基数”．十进制是一种世界上使用非常广泛的计数方式．但是，在生活中，常常还会遇到其它的“进制”．例如： 关于时间的计数方法：1小时=60分，1分=60秒，这是六十进制，基数为60； 在信息技术中我们采用的是二进制，“逢二进一”，基数为2． 在二进制中，如何表示数呢？ 我们用两个数0和1来表示所有的整数，为与十进制进行区分，我们常把用二进制表示的数a写成，其中a的各个数位均为0或者1． 例如：在十进制中：； 在二进制中：． 故，把二进制表示的数转化为十进制的值为15． （因为：） 那么转化为十进制的值为（   ） A．15 B．27 C．36 D．43 2．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，如二进制数1011转化成十进制数是11（提示：）．人们根据一周有七天，约定逢七进一，即七进制，是以7作为进位基数的数字系统．将七进制2025换算成十进制数是 ．（注：） 3．2021年，第十四届国际数学教育大会在上海召开，如图是大会会徽，会徽右下方的“卦”是用我国古代的计数符号表达的八进制数3745，转换成十进制数为2021，即．七进制也曾是我国古代采用的进制记数法，若会徽将采用七进制数，则（ ）7． 类型三、有理数加、减、乘、除实际应用 【解惑】某邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行9千米到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； (2)求这名邮递员一共骑行了多少千米？ 【融会贯通】 1．流花河的警戒水位是米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作为0点，并且上周末（星期日）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降 (1)请在下表中填写本周流花河每天的实际水位高度情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 (2)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ 2．兰州出租车师傅小郭一天上午驾驶一辆出租车以西关什字为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，向西为负，出租车的行驶里程（单位：）如下： (1)将最后一名乘客送到目的地，相对于西关什字出租车的位置在哪里？ (2)这天上午出租车总共行驶了多少？ (3)已知出租车每行驶耗油，每升汽油的售价为8.3元．如果不计其他成本，出租车师傅小郭每千米收费2.5元，那么这半天他盈利了还是亏损了？盈利（或亏损）了多少元？ 3．小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以为标准，得到的数据分别如下（单位：）：． (1)请计算小明家这10天轿车行驶的路程； (2)若该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用． 类型四、绝对值“1”“-1”化简 【解惑】阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【融会贯通】 1．已知，则的值是多少？ 2．已知，求的值． 3．探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 类型五、绝对值的最值 【解惑】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 【融会贯通】 1．我们知道|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，表示 x 与 a 在数轴上对应的点之间的距离．例：表示数x与1在数轴上表示的点的距离是2个单位长度，如图所示，即可得出x的值为或3． 根据以上材料，解答下列问题： (1)若，则x的值为__________； (2)若数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间，则求的计算结果； (3)已知有理数b，则的计算结果是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说出理由． 2．【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 3．先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 类型六、裂项求和 【解惑】观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 【融会贯通】 1．观察下列等式： ；；；；； 请完成下面的问题： （1）_________________； （2）的值． 2．已知|ab﹣2|与|b﹣1|互为相反数，求的值． 3．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式：①；②；③；把①、②、③三个等式相加，于是．阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) ； (2)根据以上观察，聪明的你发现_____； (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 类型七、数列求和 【解惑】（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 【融会贯通】 1．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 2．观察下列解题过程： 计算：的值 解：设①， 则②， 由②－①，得.即原式 通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算： 3．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)利用你发现的规律可知_______；（填具体数字） (2)写出第（为正整数）个等式：_______， (3)计算的值． 类型八、有理数的圈次方 【解惑】【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________． （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有__________；（横线上填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈n次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【实践应用】 （3）计算：． 【融会贯通】 1．概念学习，规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（个，）记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：___________，___________； (2)将下列运算结果直接写成幂的形式：___________，___________； (3)想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为___________； (4)算一算：． 2．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】 直接写出计算结果：_____，_____；（结果直接写成幂的形式） (2)【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式．将下列运算结果直接写成幂的形式． _____：_____；_____． (3)算一算： 3．【概念提出】 求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：，类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”；记作，读作“的圈4次方” 【初步思考】 (1)直接写出计算结果：2③＝ ，＝ ， 【归纳总结】 (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数a的圈n次方等于 (用代数式表示)． 【问题解决】 (3)计算． 类型九、数轴动点求t 【解惑】数轴上有两个点、，分别代表的整数是和，、满足． (1) ______， ______，点与点之间的距离是______． (2)点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，点、同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点对应的数为______；用含的式子表示 ②当时，求点与点之间的距离用含的式子表示 【融会贯通】 1．如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 2．综合与探究： 如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，设运动的时间为（秒）． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； (3)当点到原点的距离为4时，求点到原点的距离． 3．如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 类型十、数轴新定义 【解惑】【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【融会贯通】 1．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 2．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数是 ； (3)若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 3．阅读材料：我们给出如下定义：数轴上有不重合的两点A，B，若数轴上存在一点M，且点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”． 根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为______．若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为______． (2)若数轴上点A与点B的“雅中点”M表示的数为2，A，B两点的距离为9（点A在点B的左侧），则点A与点B表示的数为______． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一、二章 有理数 有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、有理数的新定义运算 【解惑】对于有理数a，b定义一种新运算，规定，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的有理数运算． 根据新定义，先计算括号内的，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．新定义运算：如图，在的正方形网格中，黑色格子表示0，白色格子表示1，每一行都按进行运算，其中x代表第几行，a表示每一行的第一个格子，b表示每一行的第二个格子，c表示每一行的第三个格子．例如：，那么的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，乘方的运算，理解新定义，利用公式求出即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 2．定义运算：，如．则： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算，新定义，理解新定义是解题的关键．根据新定义先计算出的值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．对于任意有理数，定义一种新运算，当时，；当时，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、有理数的加减法运算以及有理数大小比较，理解新定义运算是解题关键． 根据新定义运算逐级计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 原式， ， 原式． 故答案为：． 类型二、进制问题 【解惑】为了区分不同的进制，常在数的右下角标明基数，例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．通过把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以转化成十进制数．例如：，（规定：当时，），根据以上信息，将转化成十进制数是（   ） A．28 B．29 C．58 D．62 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据题中的运算方法进行运算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【融会贯通】 1．在计数和运算中，我们常常采用“逢十进一”，这种计数的方法称为“十进制”，10称为“基数”．十进制是一种世界上使用非常广泛的计数方式．但是，在生活中，常常还会遇到其它的“进制”．例如： 关于时间的计数方法：1小时=60分，1分=60秒，这是六十进制，基数为60； 在信息技术中我们采用的是二进制，“逢二进一”，基数为2． 在二进制中，如何表示数呢？ 我们用两个数0和1来表示所有的整数，为与十进制进行区分，我们常把用二进制表示的数a写成，其中a的各个数位均为0或者1． 例如：在十进制中：； 在二进制中：． 故，把二进制表示的数转化为十进制的值为15． （因为：） 那么转化为十进制的值为（   ） A．15 B．27 C．36 D．43 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．根据题意直接代入即可算出． 【详解】解： ， 故选：D． 2．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，如二进制数1011转化成十进制数是11（提示：）．人们根据一周有七天，约定逢七进一，即七进制，是以7作为进位基数的数字系统．将七进制2025换算成十进制数是 ．（注：） 【答案】705 【分析】本题考查了七进制数转化为十进制数，熟练掌握七进制数转化为十进制数的方法是解题的关键． 根据七进制数转化为十进制数的方法计算即可． 【详解】解：将七进制2025换算成十进制数是， 故答案为705 3．2021年，第十四届国际数学教育大会在上海召开，如图是大会会徽，会徽右下方的“卦”是用我国古代的计数符号表达的八进制数3745，转换成十进制数为2021，即．七进制也曾是我国古代采用的进制记数法，若会徽将采用七进制数，则（ ）7． 【答案】5615 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握十进制转化为7进制的方法．先分别求出，，，，然后写出结果即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴． 故答案为：5615． 类型三、有理数加、减、乘、除实际应用 【解惑】某邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行9千米到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； (2)求这名邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)18千米 【分析】本题考查了数轴、正负数和有理数的加法在实际中的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键； （1）根据已知条件，在数轴上把A、B、C三个村庄的位置表示出来即可； （2）根据绝对值的意义列出算式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由题意可得：千米； 答：这名邮递员一共骑行了18千米． 【融会贯通】 1．流花河的警戒水位是米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作为0点，并且上周末（星期日）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降 (1)请在下表中填写本周流花河每天的实际水位高度情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 (2)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2)星期二的河流的水位最高，星期一的河流的水位最低，它们都位于警戒水位之上，与警戒水位的距离分别是米 【分析】本题主要考查正负数的实际应用，有理数的减法法则； （1）根据正负数进行加减运算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 74 （2）解：由（1）可知：星期二的河流的水位最高，星期一的河流的水位最低， ∵戒水位是米， ∴，， ∴它们都位于警戒水位之上， ∴，， ∴与警戒水位的距离分别是米． 2．兰州出租车师傅小郭一天上午驾驶一辆出租车以西关什字为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，向西为负，出租车的行驶里程（单位：）如下： (1)将最后一名乘客送到目的地，相对于西关什字出租车的位置在哪里？ (2)这天上午出租车总共行驶了多少？ (3)已知出租车每行驶耗油，每升汽油的售价为8.3元．如果不计其他成本，出租车师傅小郭每千米收费2.5元，那么这半天他盈利了还是亏损了？盈利（或亏损）了多少元？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地回到了西关什字处； (2)； (3)盈利，元 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除混合运算，注意正负数的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算，看其结果的正负即可判断其位置； （2）根据绝对值的定义列式计算即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解解：， 所以将最后一名乘客送到目的地，出租车回到了西关什字处， 答：将最后一名乘客送到目的地回到了西关什字处． （2）， 答：这天上午出租车总共行驶了 千米． （3） 答：那么这半天出租车盈利了元． 3．小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以为标准，得到的数据分别如下（单位：）：． (1)请计算小明家这10天轿车行驶的路程； (2)若该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用． 【答案】(1)小明家这10天轿车行驶的路程为 (2)元 【分析】本题考查正数与负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）记录数字的和再加上10个20即可得到结果； （2）用（1）的结论乘以3即可得到总路程，再根据“该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元”列式解答即可． 【详解】（1）解：， 小明家这10天轿车行驶的路程为， 答：小明家这10天轿车行驶的路程为； （2）解：由（1）知，小明家这10天轿车行驶的路程为， 小明家一个月（按30天算）的汽油费用为： （元）， 答：估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用为元． 类型四、绝对值“1”“-1”化简 【解惑】阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，，或，，或，，两负一正或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （2）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，， ，，两负一正， ，，两正一负，． 故的值为或 （3）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 【融会贯通】 1．已知，则的值是多少？ 【答案】或 【分析】本题考查有理数的运算，分都大于0，都小于0，中有一个大于0，两个小于0，中有一个小于0，两个大于0四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当都大于0时，原式； ②当都小于0时，原式； ③当中有一个大于0，两个小于0时，原式； ④当中有一个小于0，两个大于0时，原式． 即的值为或． 2．已知，求的值． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了绝对值的定义以及有理数乘除法的运算，当都是正数和有一个为正数，另两个为负数时两种情况分类讨论即可，熟练掌握有理数乘除法的运算以及分类讨论思想的运用是解题关键． 【详解】， ， 都是正数，即时， ∴， 有一个为正数，另两个为负数时，设时， ∴， 综上所述，的值为3或． 3．探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义， （1）根据，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出、、、中有1个或3个负数，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b同号，即，或，， ∴或； ∴当时，； 故答案为：． （2）解：∵， ∴a、b、c中有3个负数或两正一负， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有两正一负时，设，； ∴时，的值为或； 故答案为：或． （3）解：∵， ∴、、、中有1个或3个负数 设， 设， ∴的最大值是 类型五、绝对值的最值 【解惑】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 【答案】(1) (2)或；， 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，画出数轴数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行计算即可； （2）①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离，表示数轴上和2两点间的距离，然后结合数轴即可得出答案；②同①结合数轴即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：5； （2）解：①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； ②由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为，那么， 当在左边时，； 当在右边时，； 当时，，此时取最小值5． 的最小值是5，这时候的取值范围是． 【融会贯通】 1．我们知道|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，表示 x 与 a 在数轴上对应的点之间的距离．例：表示数x与1在数轴上表示的点的距离是2个单位长度，如图所示，即可得出x的值为或3． 根据以上材料，解答下列问题： (1)若，则x的值为__________； (2)若数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间，则求的计算结果； (3)已知有理数b，则的计算结果是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说出理由． 【答案】(1)或6； (2)5 (3)有最小值，最小值为8． 【分析】本题考查数轴，绝对值，掌握数轴的应用是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意知表示在数轴上表示数a的点到表示与的点的距离之和，即可解答； （3）根据题意知表示在数轴上表示数的点到表示与的点的距离之和，当时，这个距离之和最小，最小值就是表示与的两点之间的距离，为个单位长度，即可解答． 【详解】（1）(1) 如图，在数轴上与对应的点的距离为个单位长度的点表示的数为或． 故答案为：或； （2）表示在数轴上表示数的点到表示与的点的距离之和， 表示数的点位于表示与的两点之间，如图， 即的计算结果为； （3）的计算结果有最小值， 表示在数轴上表示数的点到表示与的点的距离之和， 当时，这个距离之和最小，最小值就是表示与的两点之间的距离，为个单位长度， 即的计算结果有最小值为． 2．【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 【答案】（1）3；（2）；（3）8；（4）；（5）2；（6） 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）由两点间距离直接求解即可； （3）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算即可； （4）由两点距离的意义进行求解即可； （5）当时代数式的值最小，即可得到答案； （6）取最中间点即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （3）， ； （4）①如图1，当时，， ②如图2，当时，， ③如图3，当时，， ∴当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （5）∵表示在数轴上数的点与表示数、和3的点的距离之和， ∴当时，取最小值，且最小值为： ； （6）为了使 2023 户居民到快餐店的距离总和最小，快餐店应建在中间位置，即第1012户居民处，即． 3．先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 【答案】（1）应该在第四台位置；（2）当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置；（3）；（4） 【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类求解即可得到答案．分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由阅读材料可知，7是奇数，故应该在第四台位置； （2）由阅读材料可知： 当为奇数时，应该在第台位置； 当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置； （3）由题意，在直线上相当于有3台机器，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ； （4）表示的点到表示的点距离之和，共有个点，是奇数个， ∴当时，有最小值， ． 类型六、裂项求和 【解惑】观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已知等式得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差． （1）根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得； （2）将原式利用（1）中所得规律裂项求和可得． （3）先利用乘方分配律每一项提出一个，再将式子利用（1）中所得规律裂项求和可得． 【详解】（1）解：根据题意知，①；② 故答案为；． （2）解：＋＋＋ ． （3）解： ． 【融会贯通】 1．观察下列等式： ；；；；； 请完成下面的问题： （1）_________________； （2）的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据所给例子进行解答即可； （2）根据所给例子，找到规律再进行解答即可． 【详解】解：（1） = = =； （2） = = = = 【点睛】本题主要考查数字的变化规律和运用已知规律进行运算能力，是一个运用新知识去解决其他问题的好题目． 2．已知|ab﹣2|与|b﹣1|互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据题目，先解出a、b的值，再将题目化成如已知中数的形式，就很好解决了． 【详解】解：∵|ab﹣2|+|b﹣1|＝0， ∴|ab﹣2|＝0，|b﹣1|＝0， 即ab＝2，b＝1，a＝2， 代入式子 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化，得出以及抵消法的运用是解题的关键． 3．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式：①；②；③；把①、②、③三个等式相加，于是．阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) ； (2)根据以上观察，聪明的你发现_____； (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． （1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 类型七、数列求和 【解惑】（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1），， （2）①，；② 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，数字规律探究，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键． (1)根据题目所给方法，可得，从而求得，根据上面得到的公式进行计算即可求得的值； (2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得(n为正整数) ，据此即可得答案；②根据推理进行计算即可求得的值． 【详解】解：（1）如果欲求的值，可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②式+①式，得， ， 由结论求， 故答案为：，，． （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2． 根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么，； 故答案为：，． ②为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 【融会贯通】 1．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 【答案】探究三：图见见解析； 解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3） 【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可； 解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式 (2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解； (3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解． 【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分， 其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …， 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为：， 最后的空白部分的面积是， 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以3，得； 解决问题： （1） 故答案为： （2）， 故答案为：； （3）拓广应用： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键． 2．观察下列解题过程： 计算：的值 解：设①， 则②， 由②－①，得.即原式 通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算： 【答案】 【分析】利用所给的解答方式进行求解即可． 【详解】解：设①， 则②， 由②①，得． ∴， 即原式． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵活运用． 3．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)利用你发现的规律可知_______；（填具体数字） (2)写出第（为正整数）个等式：_______， (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）根据所给的式子可得，计算即可； （2）根据题目已知式子写出第个（n为正整数）等式； （3）利用（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） （3） ． 类型八、有理数的圈次方 【解惑】【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________． （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有__________；（横线上填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈n次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【实践应用】 （3）计算：． 【答案】 （1）， （2）①②④ （3） 【分析】本题主要考查新定义，有理数的乘除法运算，理解新定义的运算，有理数乘除法运算法则是关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据新定义运算的计算法则判定即可； （3）根据新定义运算的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）：，， 故答案为：，； （2）若n为任意正整数， ①，故任何非零数的圈2次方都等于1，正确； ②，故任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； ③，即的圈2次方不等于它本身，故圈n次方等于它本身的数是1或，错误； ④，，即根据有理数乘除法运算中的“奇负偶正”的都负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 综上所述，正确的有①②④； （3） ． 【融会贯通】 1．概念学习，规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（个，）记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：___________，___________； (2)将下列运算结果直接写成幂的形式：___________，___________； (3)想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为___________； (4)算一算：． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． （1））根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算； （2））根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算； （3））根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算； （4）根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算． 【详解】（1）解：， ； 故答案是：，； （2）解：； ； 故答案是：，； （3）解：， 故答案是：； （4）解： ． 2．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】 直接写出计算结果：_____，_____；（结果直接写成幂的形式） (2)【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式．将下列运算结果直接写成幂的形式． _____：_____；_____． (3)算一算： 【答案】(1)； (2)；； (3) 【分析】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运算是解决本题的关键． （1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，用除法运算直接得出结果即可； （3）根据运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ， ； （3）解： ． 3．【概念提出】 求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：，类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”；记作，读作“的圈4次方” 【初步思考】 (1)直接写出计算结果：2③＝ ，＝ ， 【归纳总结】 (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数a的圈n次方等于 (用代数式表示)． 【问题解决】 (3)计算． 【答案】(1)，； (2)； (3)18． 【分析】(1)根据题中给出的例子进行计算即可； (2)根据(1)中的结果即可得出结论； (3)根据(2)中的结论及有理数混合运算的法则进行计算即可． 本题考查的是有理数的混合运算，根据题意得出运算规律是解题的关键． 【详解】解：(1)由题意得， 故答案为：，； (2)由(1)可知，一个非零有理数的圈次方等于这个数的倒数的次方， 即， 故答案为：； (3) 类型九、数轴动点求t 【解惑】数轴上有两个点、，分别代表的整数是和，、满足． (1) ______， ______，点与点之间的距离是______． (2)点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，点、同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点对应的数为______；用含的式子表示 ②当时，求点与点之间的距离用含的式子表示 【答案】(1)，，； (2)①；②． 【分析】本题考查了数轴、绝对值的非负性及乘方，解题的关键是： （1）根据绝对值的非负性及乘方可得，，，求出a，b的值即可求解； （2）①根据数轴上点移动的规律即可求解； ②根据数轴上点移动的规律得点B对应的数为，当点B与点A相遇时，根据可求得，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点与点之间的距离是 ， 故答案为：，，； （2）解：①秒时，点对应的数为， 故答案为：； 点以每秒个单位长度的速度向左运动， 秒时，点对应的数为， 当点与点相遇时，则， 解得， 当时，点在点的右侧， ， 答：点与点之间的距离． 【融会贯通】 1．如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 【答案】(1)；2；4 (2)16 (3) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值及方程、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长， （1）由绝对值非负性可得答案； （2）首先确定x的范围，再化简绝对值即可; （3）用含t的代数式表示表示的数，再根据列方程可得答案； 【详解】（1）解：∵ ∴，， ，，； （2）解：由题意得：， ∴，， ∴ ； （3）运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为 ∵ 点为的中点，点为的中点 ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴， ∵， ∴，即或， 解得：或（不合题意，舍去） 答：当时，. 2．综合与探究： 如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，设运动的时间为（秒）． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； (3)当点到原点的距离为4时，求点到原点的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)2或6 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后返回距离原点为，点Q到原点O的距离为4，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 因为，所以， 所以当时，点到原点的距离为6； （2）解：当时，点运动的距离为， 因为，所以， 所以当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到原点的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时，，，则， 运动时间为（秒），所以； ②点向右运动时，，运动的距离为， 运动时间为（秒），所以． 综上，点到原点的距离为2或6． 3．如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，熟练掌握以上知识点，正确表示出点、表示的数是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求得点表示的数； （2）①根据数轴上两点之间的距离公式用表示出点、分别为、，当、相遇时，有，解之即可；②先求得，然后求得点，再算得的距离即可． 【详解】（1）解：点表示的数为1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4， 点表示的数为， 故答案为：5． （2）解：①点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动， 点表示的数为， 点表示的数为1，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 点表示的数为， 点、在数轴上表示的数分别是，1， 当、相遇时，有， 解得， 故当时，、两点相遇； ②由①可知，当点表示的数为2时，即， 解得， 此时点表示的数为， 点表示的数为5， 点、两点间的距离， 故当点表示的数为2时，点、两点间的距离为． 类型十、数轴新定义 【解惑】【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)120 (2)20，60 (3)16，40，64 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100， ∴， ∴点之间的距离是120． （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为60； ∴线段的“理想点”所对应的数是20，60． （3）∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， ①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 【融会贯通】 1．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 【答案】(1)；2；9 (2)G；或11 (3)秒或秒或秒． 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据非负数的性质求得和的值，再利用两点之间的距离求解即可； （2）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化； （3）根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况，分情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴M在数轴上所表示的数为，N在数轴上所表示的数为，M、N两点间的距离为， 故答案为：；2；9； （2）解：①根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． ②根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点M的左侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件． 点的右侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 综上，【M，N】美好点H所表示的数是或11； 故答案为：或11； （3）解：根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况， 第一种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第二种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，M为【N，P】的美好点，点在，之间，如图， 当时，， 因此秒； 综上所述，秒或秒或秒． 2．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数是 ； (3)若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键. （1）利用“倍分点”的定义即可求得答案； （2）设D点对应的数值为，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案； （3）利用“倍分点”的定义，结合点在点的右侧，分两种情况讨论即可求出答案. 【详解】（1），， ， ∴点是点的“倍分点”； 故答案为：； （2）解：， 设点对应的数值为， ①当时，， ， 解得：或； ②当时，， ， 解得：或； 综上所述，则点对应的数分别是,， 故答案为：； （3）解：， 当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 综上所述，点表示的数为或． 3．阅读材料：我们给出如下定义：数轴上有不重合的两点A，B，若数轴上存在一点M，且点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”． 根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为______．若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为______． (2)若数轴上点A与点B的“雅中点”M表示的数为2，A，B两点的距离为9（点A在点B的左侧），则点A与点B表示的数为______． 【答案】(1)1； (2)、 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算： （1）根据题意可得当点M为点A与点B的“雅中点”，点M为的中点，据此根据数轴上两点中点公式求解即可； （2）根据定义可得点A和点B到点M的距离都为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点M为点A与点B的“雅中点”， ∴点M到点A的距离等于点M到点B的距离， ∴点M即为的中点， ∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5， ∴点M表示的数为； 同理可得当数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1时，点M表示的数为； 故答案为：1；； （2）解：∵数轴上点A与点B的“雅中点”M表示的数为2，A，B两点的距离为9（点A在点B的左侧）， ∴点A和点B到点M的距离都为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； 故答案为：、． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$