第一、二章 有理数 有理数的运算（基础类型）-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第一、二章 有理数 有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、相反数、绝对值、倒数的认识 【解惑】有理数的相反数是（   ） A． B． C． D．2024 【融会贯通】 1．一个数的绝对值等于3，则这个数是（    ） A． B． C．3 D． 2．的相反数是 ，的倒数为 ． 3．的倒数是 ，绝对值是 ，相反数是 ． 类型二、相反意义的量 【解惑】中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“米”，那么向西跑20米记为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如果河水的警戒水位记为，汛期时水位高于警戒水位，记为；旱季时水位低于警戒水位，记为 ． 3．马边1月某天白天最高温度为零上摄氏度，记作，则该天夜间最低温度为零下摄氏度记作 ． 类型三、科学记数法与近似数 【解惑】2025年世界园艺博览会在某城市举办，该城市为打造绿色园区，计划种植花卉面积达567890平方米，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．用四舍五入法将精确到后得到的近似数为（   ） A．2.15 B．2.14 C．2.144 D．2.145 2．绥化市是黑龙江省重要的农业产区，2023年全市粮食总产量达到斤．其中用科学记数法表示为 3．将5.649精确到百分位所得的近似数是 ． 类型四、绝对值的非负性 【解惑】，则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【融会贯通】 1．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 2．若，则 ， ． 3．若，则 ． 类型五、点在数轴上表示并比较大小 【解惑】在数轴上表示下列有理数：，，，，，并用“”连接． 【融会贯通】 1．在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来： ，，，，． 2．在数轴上表示出下列各数，并用“＜”连接起来 3，，，0，， 3．已知一组数：0，3，，，． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）： ． 类型六、有理数分类 【解惑】将下列各数填在相应的大括号里： 整数：{    …}； 正分数：{    …}； 非正有理数：{    …}． 【融会贯通】 1．把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 2．将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 3．把下列各数填入相应的集合中（将各数用逗号分开）： ，，，0，，86， 正有理数集合{___________________________________…}； 整数集合{___________________________________…}； 非负数集合{___________________________________…}； 非正整数集合{___________________________________…}； 类型七、有理数加减混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1) (2) 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型八、有理数乘除混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．计算 (1)； (2)． 2．简便计算 (1) (2) 3．计算： (1)； (2)． 类型九、含乘方的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2) 【融会贯通】 1．计算： 2．计算： (1) (2) 3．计算 (1) (2) 类型十、正负数的应用 【解惑】某新能源汽车制造厂一周计划生产2100辆车，平均每天生产300辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)前五天共生产多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ 【融会贯通】 1．某超市采购一批砂糖橘共6箱，以每箱12千克为标准，超过的千克数记作正数．记录数据如下：2千克，千克，千克，千克，3千克，千克 (1)千克和3千克分别是什么含义？ (2)计算这批砂糖橘的总重量是多少千克？ 2．某天一个巡警骑摩托车在条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，， (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？（列式并计算） (2)离开出发点最远时是多少千米？（直接写出） (3)若摩托车行驶1千米耗油0.5升，从岗亭到处共耗油多少升？ 3．出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米） (1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一、二章 有理数 有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、相反数、绝对值、倒数的认识 【解惑】有理数的相反数是（   ） A． B． C． D．2024 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是与原数符号相反、绝对值相等的数，进行作答即可． 【详解】解：有理数的相反数是． 故选：A 【融会贯通】 1．一个数的绝对值等于3，则这个数是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质即可求得答案． 【详解】解：∵一个数的绝对值等于3， ∴这个数是， 故选：B． 2．的相反数是 ，的倒数为 ． 【答案】 【分析】本题属于较为基础的相反数与倒数的概念填空题，主要考查了相反数与倒数的判断，考生做此类题时一定要认真，细心，抓住细节，防止出错． 根据题意，相反数为相加为0的两个数，倒数为乘积为1的两个数． 据此即可求解． 【详解】解：的相反数是， 的倒数为； 故答案为：，． 3．的倒数是 ，绝对值是 ，相反数是 ． 【答案】 【分析】把带分数化成假分数，后根据倒数，绝对值，相反数的定义解答即可． 本题考查了倒数，绝对值，相反数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 故的倒数是，绝对值是，相反数是． 故答案为：，，． 类型二、相反意义的量 【解惑】中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果水位下降记作，那么水位上升记作， 故选：B． 【融会贯通】 1．小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“米”，那么向西跑20米记为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量；根据题意，向东记为“+”，则向西应记为“−”，且数值与方向无关，仅符号相反，即可解答． 【详解】解：根据题意，向东跑20米记为“米”，说明向东为正方向，向西则为负方向，向西跑的距离与向东跑的距离绝对值相同，方向相反，因此向西跑20米应记为“米”；选项中B符合这一规则； 故答案为：B． 2．如果河水的警戒水位记为，汛期时水位高于警戒水位，记为；旱季时水位低于警戒水位，记为 ． 【答案】 【分析】本题考查相反意义的量，根据高于警戒水位为正，则低于警戒水位为负，进行作答即可． 【详解】解：由题意，水位低于警戒水位，记为； 故答案为： 3．马边1月某天白天最高温度为零上摄氏度，记作，则该天夜间最低温度为零下摄氏度记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：零上摄氏度，记作 ，则零下摄氏度记为： ， 故答案为： ． 类型三、科学记数法与近似数 【解惑】2025年世界园艺博览会在某城市举办，该城市为打造绿色园区，计划种植花卉面积达567890平方米，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】此题考查科学记数法的表示方法．将原数用科学记数法表示，需确定其形式为（，为整数），表示时关键要正确确定的值以及的值． 【分析】解：． 故选：B． 【融会贯通】 1．用四舍五入法将精确到后得到的近似数为（   ） A．2.15 B．2.14 C．2.144 D．2.145 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数．精确到即对千分位上的数字进行四舍五入，据此可得答案． 【详解】解：用四舍五入法将精确到后得到的近似数是． 故选：B． 2．绥化市是黑龙江省重要的农业产区，2023年全市粮食总产量达到斤．其中用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 3．将5.649精确到百分位所得的近似数是 ． 【答案】5.65 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】将5.649精确到百分位所得的近似数是5.65． 故答案为：5.65． 类型四、绝对值的非负性 【解惑】，则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 2．若，则 ， ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值具有非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 3．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 类型五、点在数轴上表示并比较大小 【解惑】在数轴上表示下列有理数：，，，，，并用“”连接． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】此题主要考查了在数轴上表示有理数、借助数轴比较有理数大小等知识． 先把各数表示在数轴上，然后根据数轴上右边的数总比左边的大求解即可． 【详解】如图所示， 由数轴可得，． 【融会贯通】 1．在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来： ，，，，． 【答案】数轴见解析， 【分析】先将各数在数轴上准确找到对应的点进行标注，再依据数轴上数的位置关系（左边的数小于右边的数 ），用“”连接这些数．本题主要考查了数轴的概念（数轴上的点与实数一一对应，右边的数总比左边的数大 ）以及利用数轴比较数的大小，熟练掌握数轴的画法和数在数轴上的位置与大小关系是解题的关键． 【详解】解：数轴如图所示： 2．在数轴上表示出下列各数，并用“＜”连接起来 3，，，0，， 【答案】见解析， 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小，在数轴上正确表示出有理数是解题的关键．先在数轴上正确表示出各数，再结合数轴比较有理数的大小即可解答． 【详解】解：在数轴上表示出各数如下： 由数轴可得，． 3．已知一组数：0，3，，，． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）： ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，利用数轴比较有理数的大小，正确在数轴上表示出各数是解题的关键． （1）根据数轴的特点，在数轴上表示出各数即可； （2）数轴上左边的数小于右边的数，据此用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由数轴可得． 类型六、有理数分类 【解惑】将下列各数填在相应的大括号里： 整数：{    …}； 正分数：{    …}； 非正有理数：{    …}． 【答案】0，2021，；，，；0，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的定义．根据有理数的分类进行填写即可得． 【详解】解：整数：{0，2021，，}； 正分数：{，，， }； 非正有理数：{0，，，，}． 【融会贯通】 1．把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键． （1）根据整数的定义即可得出答案； （2）根据分数的定义即可得出答案； （3）根据正数的定义即可得出答案； （4）根据非负数的定义即可得出答案； 【详解】（1）解：整数集合：， 故答案为：； （2）解：分数集合：， 故答案为：； （3）解：正数集合：， 故答案为：； （4）解：非负数集合：， 故答案为：． 2．将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 【答案】(1)，2024，，， (2)，，， (3)，，2024，0 【分析】本题考查了有理数的分类．根据正有理数，负有理数和整数的定义即可． 【详解】（1）解：正有理数集合：{，2024，，，，…}． （2）解：负有理数集合：{，，，，…}． （3）解：整数集合：{，，2024，0，…}． 3．把下列各数填入相应的集合中（将各数用逗号分开）： ，，，0，，86， 正有理数集合{___________________________________…}； 整数集合{___________________________________…}； 非负数集合{___________________________________…}； 非正整数集合{___________________________________…}； 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类即可解答． 【详解】解：正有理数集合{，86，…}； 整数集合{，0，86…}； 非负数集合{，0，86，…}； 非正整数集合{，0…}． 类型七、有理数加减混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、加法运算律等知识点，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先进行绝对值运算，再运用有理数加减法运算法则求解即可； （4）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算，注意利用加法运算律． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算绝对值，再利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可． 本题考查有理数的加减混合运算，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)4.5 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加减混合运算计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算计算即可； （4）根据有理数的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 类型八、有理数乘除混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【融会贯通】 1．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律，简便计算是关键． （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．简便计算 (1) (2) 【答案】(1)64 (2) 【分析】（1）根据乘除混合运算解答即可． （2）根据乘法的交换律，逆用分配律，解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了乘除混合运算，分配律，加法运算，交换律，熟练运算法则是解题的关键． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算，有理数的乘除运算，进行计算，即可． （1）根据有理数的加减混合运算，进行计算，即可． （2）根据有理数的乘除运算，先化除为乘，然后进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 类型九、含乘方的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行计算． 根据乘方的定义可知，根据绝对值的定义可知，所以可得：原式，再根据有理数的运算法则进行计算即可； 理用乘法分配律可得：原式，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【融会贯通】 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算括号内的以及乘方，然后计算乘除，最后计算加减，即可求解． 【详解】解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1)20 (2)6 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是关键： （1）根据加减运算法则，进行计算即可； （2）先乘方，去绝对值，再乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 3．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)45 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）利用有理数加法运算律计算，即可求解； （2）先计算乘方和乘除，再计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 类型十、正负数的应用 【解惑】某新能源汽车制造厂一周计划生产2100辆车，平均每天生产300辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)前五天共生产多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ 【答案】(1)1504； (2)29 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的运算，对于（1），用5天的计划量再加上5天增减量的和，可得答案； 对于（2），先确定增加最多的，和减少最少的，再求差即可． 【详解】（1） ， 答：前五天共生产1504辆； （2）因为， 所以． 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产29． 【融会贯通】 1．某超市采购一批砂糖橘共6箱，以每箱12千克为标准，超过的千克数记作正数．记录数据如下：2千克，千克，千克，千克，3千克，千克 (1)千克和3千克分别是什么含义？ (2)计算这批砂糖橘的总重量是多少千克？ 【答案】(1)千克表示低于标准千克1.5千克；3千克表示超出标准千克3千克 (2)72.9千克 【分析】本题考查有正负数的意义，有理数的加法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据正负数的意义解答即可； （2）先把记录的数相加，然后再加上6箱砂糖橘的标准重量计算即可得解． 【详解】（1）解：∵以每箱12千克为标准， ∴千克表示比12千克少1.5千克，3千克表示比12千克多3千克； （2）千克， 千克． 2．某天一个巡警骑摩托车在条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，， (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？（列式并计算） (2)离开出发点最远时是多少千米？（直接写出） (3)若摩托车行驶1千米耗油0.5升，从岗亭到处共耗油多少升？ 【答案】(1)A在岗亭南，距岗亭13千米 (2)离开出发点最远时是15千米 (3)从岗亭到A处共耗油33.5升 【分析】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．（1）求出记录数据之和，即可作出判断；（2）找出各个位置离出发点的距离，比较即可；（3）求出各数据绝对值之和，乘以0.5即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：（千米）， 答：A在岗亭南，距岗亭13千米； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 答：离开出发点最远时是15千米； （3）根据题意得： （千米）， ∵摩托车行驶1千米耗油0.5升， ∴（升）， 答：从岗亭到A处共耗油升． 3．出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米） (1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)小张向西行驶1千米才能回到出发地 (2)小张今天上午不需要加油，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的加法，正数和负数，熟练掌握有理数的加法是解答本题的关键． （1）根据题意，将小张所有行程按照向东为“正”，向西为“负”，依次相加，得到结果，判断小张最后地点距离出发地的距离，以此分析小张该如何行驶才能回到出发地． （2）根据题意，计算出小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地一共行驶的距离，然后计算行驶了这些距离耗的油量，最终得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， （千米）， 小张将最后一名乘客送达的目的距离出发地正东方向千米， 故小张向西行驶1千米才能回到出发地． 答：小张向西行驶1千米才能回到出发地． （2）不用加油，理由如下： 小张将最后一名乘客送达目的地一共行驶了：（千米）， 再返回出发地一共行驶了：（千米）， 汽车耗油：． 答：小张今天上午不需要加油． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$