1.1—1.2 正数和负数 有理数及其大小比较 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024新教材）

1.1—1.2 正数和负数 有理数及其大小比较 一、正数和负数 1.正数和负数的概念 正数:比0大的数,例如3、1.8%、3.5等。正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。 负数:比0小的数,前面带有“-”号,例如-3、-2.7%、-4.5、-1.2等。需注意,不是所有带“-”号的数都是负数,只有在正数前加“-”号的数才是负数。 0:既不是正数,也不是负数,是正数和负数的分界。 2.数的符号 一个数前面的“+”“-”叫做它的符号,“+”可以省略不写,而“-”不能省略。正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数。 3.具有相反意义的量 正数可以表示某种意义的量,负数则可以表示具有与该正数相反意义的量。例如,若规定收入1000元记作+1000元,则支出300元记作-300元;若规定前进10米记作+10米,则后退5米记作-5米。具有相反意义的量是成对出现的,单独一个量不能成为具有相反意义的量。 4.对“0”的认识 0可以表示“没有”,如在教室里有0个人,即表示教室里没有人;0也可以表示某种量的基准,如在温度计上,0 不表示没有温度,而表示冰点,它是一个确定的温度;0还是正数和负数的分界。 二、有理数及其大小比较 1.有理数的定义与分类 有理数是可以表示为两个整数之比的数。有理数包括正有理数、零和负有理数。其中,正有理数包括正整数和正分数,负有理数包括负整数和负分数。 2.数轴与有理数 数轴是表示有理数的一种直观工具。在数轴上,正数位于零的右边,负数位于零的左边。绝对值越大的数,在数轴上离原点越远。 3.相反数与绝对值 相反数是指符号相反的两个数,它们的和为零。例如,5和-5就是一对相反数。绝对值是一个数与零的距离,它总是非负的。例如,|-5|的绝对值就是5。 4.有理数的大小比较 有理数的大小比较遵循以下规则: (1) 正数大于零,零大于负数,正数大于一切负数。 (2) 对于两个正数或两个负数,绝对值大的数反而小(注意,这一规则仅适用于负数之间的比较)。例如,-5比-3小,因为|-5|大于|-3|。 (3) 在数轴上,右边的数总比左边的数大。 5.有理数的应用 有理数在日常生活和数学学习中有着广泛的应用。例如,在购物时计算价格、在烹饪时调配比例、在科学研究中表示测量值等,都需要用到有理数的概念和运算。 巩固课内例1:标准质量问题 1.某品牌乒乓球产品质量参数是,如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作,那么低于标准质量记作( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数.根据正数和负数表示具有相反意义的量,即可解答. 【详解】解:∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作, ∴那么低于标准质量记作. 故选:A. 2.在乒乓球质量检测中,如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作,那么低于标准质量记作 . 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用,正负数是一对具有相反意义的量,若超出标准质量用“”表示,那么低于标准质量就用“”表示,据此求解即可. 【详解】解:如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作,那么低于标准质量记作, 故答案为:. 3.某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子,并称重、封装.一盒橘子的标准质量为.如果用正数表示超过标准的质量,那么 (1)比标准质量多和比标准质量少各怎么表示? (2)各表示什么意思? 【答案】(1), (2)见解析 【分析】此题考查了正数和负数,弄清题目中正数和负数的意义是解本题的关键. (1)依据正数和负数的意义进行判断即可; (2)依据正数和负数的意义进行判断即可. 【详解】(1)解:如果用正数表示超过标准质量的克数,那么比标准质量多记作:,比标准质量少记作:; (2)如果用正数表示超过标准质量的克数,那么表示比标准质量多,表示比标准质量少. 巩固课内例2:用正负数表示相反意义的量 1.中国是世界上最早使用负数的国家,战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数.如果公元前500年记作年,那么公元2025年应记作( ) A.2525年 B.2025年 C.年 D.年 【答案】B 【分析】本题考查相反意义的量的表示方法.根据题意,公元前用负数表示,则公元后用正数表示,直接对应即可. 【详解】由题意可知,公元前500年记作年,即公元前年份用负数表示,公元后年份则用正数表示. 因此,公元2025年应直接记作年,通常省略正号,即2025年. 故选B. 2.若气温上升,记作,那么气温下降,记作 . 【答案】 【分析】此题主要考查正负数的意义,正数与负数表示意义相反的两种量,看清规定哪一个为正,则和它意义相反的就为负.此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量∶零上温度记为正,则零下温度就记为负,直接得出结论即可. 【详解】解:如果气温上升,记作; 那么气温下降,记作; 故答案为:. 3.找出下列各组相反意义的量:①向南走20米;②进球8个;③高于海平面500米;④盈利2000元;⑤运出粮食330吨;⑥失球3个;⑦亏损286元;⑧运进粮食520吨;⑨向北走30米;⑩低于海平面46米. 【答案】具有相反意义的量分别为:①与⑨;②与⑥;③与⑩;④与⑦;⑤与⑧ 【分析】具有相反意义的量必须是同类量,且只具有相反意义,量不一定相同,所以要先看它们是否是同一类量,再看它们是否意义相反,据此进行逐个分析即可作答.本题考查了正负数的意义. 【详解】解:依题意,具有相反意义的量分别为:①与⑨;②与⑥;③与⑩;④与⑦;⑤与⑧. 巩固课内例3:指出正、负有理数或正、负整数 1.在,,0,1.2,2,中,非负整数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数,理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键. 根据有理数,非负整数的定义进行判断即可. 【详解】解:在,,0,1.2,2,中,非负整数有0,2,共2个, 故选:B. 2.下列各数:4,,,,0,中,非负数有 ;整数有 ;分数有 . 【答案】 4,,0, 4,,0 ,, 【分析】此题考考查了有理数的分类.根据有理数的分类方法进行解答即可. 【详解】解:4,,,,0,中,非负数有4,,0,;整数有4,,0;分数有,,. 故答案为:4,,0,;4,,0;,,. 3.把下面的有理数填入它们属于的集合内: . 正有理数集合:{ …}; 负有理数集合:{ …}; 非负整数集合:{ …}. 【答案】;;3,0,2025 【分析】本题主要考查了有理数的分类,熟知有理数的分类方法是解题的关键. (1)根据正有理数的定义即可解答; (2)根据负有理数的定义即可解答; (3)根据非负整数集合即可解答. 【详解】解:正有理数集合:{}; 负有理数集合:{}; 非负整数集合:{3,0,2025}. 巩固课内例4:在数轴上表示数 1.如图,数轴上蘑菇盖住的点表示的数可能是( ) A. B.1.8 C. D.2.2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴.根据数轴可知数轴上蘑菇盖住的点表示的数在与之间,且靠近,所以符合题意. 【详解】解:由数轴可知,数轴上蘑菇盖住的点表示数在与之间,且靠近, 数轴上蘑菇盖住的点表示的数,可能是, 故选:A. 2.如图,数轴上点A所表示的数是 . 【答案】 【分析】本题考查了数轴,根据数轴的定义即可得出答案. 【详解】解:由数轴可知,数轴上点A表示的数是. 故答案为:. 3.(1)在数轴上表示下列各数:,,0,. (2)将原数按从小到大的顺序用“”连接起来. 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查有理数与数轴,准确表示各数是解题的关键; (1)将各数在数轴上进行表示即可; (2)根据数轴上的数右边的数比左边的数大即可得答案. 【详解】解:(1)在数轴上表示各数,如图: (2)由图可知:. 巩固课内例5:写出一个数的相反数 1.的相反数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数.根据相反数的定义,只有符号不同的两个数互为相反数,即可求解. 【详解】解:的相反数是2. 故选:D 2.的相反数是 . 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义,属于应知应会题型,熟知相反数的概念是关键; 只有符号不同的两个数叫做互为相反数,根据相反数的定义解答即可. 【详解】解:的相反数是; 故答案为:. 3.(1)分别写出和的相反数; (2)a的相反数是2.4,写出a的值. 【答案】(1)7,;(2) 【分析】本题考查了相反数,解题关键是明确只有符号不同的两个数互为相反数. (1)根据相反数的意义求解即可; (2)根据相反数的意义求解即可. 【详解】解:(1)的相反数是7,的相反数是; (2)因为2.4与互为相反数, 所以a的值是. 巩固课内例6:写出一个数的绝对值 1. 的绝对值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的绝对值,根据负数的绝对值等于它的相反数,可直接得出答案. 【详解】解: 的绝对值是2, 故选A. 2.的相反数是 ;的绝对值是 . 【答案】 2 /0.5 【分析】本题主要考查相反数的概念,绝对值的概念等知识点,解决此题的关键是熟练掌握各个知识点 【详解】解:的相反数是2;的绝对值是. 故答案:2;. 3.求下列各数的绝对值: (1); (2)0.15; (3); (4); 【答案】(1)38 (2)0.15 (3) (4) 【分析】根据正数与0的绝对值是其本身,负数的绝对值是其相反数即可求解. 【详解】(1); (2); (3), ∴; (4)∵, ∴, ∴ 【点睛】本题考查了绝对值的性质,准确把握“正数与0的绝对值是其本身,负数的绝对值是其相反数”是解题的关键. 巩固课内例7:比较各组数的大小 1.在下列各数中,最小的数是( ) A. B.0 C.1 D. 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较,利用有理数大小的比较方法:1、在数轴上表示的两个数,右边的总比左边的数大.2、正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.3、两个正数比较大小,绝对值大的数大;两个负数比较大小,绝对值大的数反而小.按照从小到大的顺序排列找出结论即可. 【详解】解:∵,且, ∴, ∴最小的数是, 故选:D. 2.比较大小: 填“”或“号”. 【答案】 【分析】本题考查了绝对值,有理数的大小比较.根据正数大于负数、负数都小于0、两个负数比较大小,其绝对值大的反而小比较即可. 【详解】解:∵,,, ∴; ∵,, 又∵, ∴, ∴, 故答案为:,. 3.比较下列各组数的大小: (1)和; (2)和. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较,求解绝对值; (1)先求解两数的绝对值,再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案; (2)先化简各数,再根据正数大于负数即可比较大小. 【详解】(1)解:∵,,, ∴; (2)解:∵,, ∴ ∴. 类型一、指出下面正、负数 1.在这些数中,是负数的是( ) A. B.0 C. D.4 【答案】A 【详解】本题考查负数的概念,负数是指小于0的数. 根据负数的概念判断即可. 【分析】解:在这些数中,是负数的是, 故选:A. 2.在,,,,,,,这些数中,正数有 ,负数有 . 【答案】 ,,, ,, 【分析】本题考查了正数和负数,根据正数都大于0,负数都小于0即可得解,熟练掌握正负数的定义是解此题的关键. 【详解】解:由题意可得:正数有:,,,;负数有:,,; 故答案为:,,,;,,. 3.在中,哪些是正数,哪些是负数? 【答案】正数有:;负数有:. 【分析】本题是对正数和负数的区分,熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键.正数前边有“”或省略“”的形式,比要大,根据定义可以找到符合条件的正数; 负数是比零小的数,有负号“”,据此可找到负数,注意既不是正数,也不是负数. 【详解】解:根据正数的定义可得正数有:; 根据负数的定义可得负数有:. 类型二、海拔问题 1.我国的海拔零点是以青岛的黄海海面作为零点算起.吐鲁番盆地地势低于青岛黄海海面米,海拔是米.昆明地势高于青岛黄海海面米,海拔记为( ) A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数,理解正数和负数在实际问题中的意义是解题的关键.由题意可知,我国的海拔零点是以青岛的黄海海面作为零点算起.海平面以下用负数表示,海平面以上用正数表示,即可得出答案. 【详解】解:根据题意,低于海平面以上米,记作米,则海平面以上米,记作米. 故选:A. 2.地球上海拔最高的地点是珠穆朗玛峰,其海拔高于海平面8848.86米,记作米,则地球上海拔最低的地点是我国新疆吐鲁番盆地的艾丁湖,其海拔低于海平面154米,记作 米. 【答案】 【分析】本题考查正数和负数,用正负数表示两种具有相反意义的量,据此即可求得答案,理解具有相反意义的量是解题的关键. 【详解】解:由题意可得海拔低于海平面154米,记作米, 故答案为:. 3.某登山队5名队员以海拔1千米处为基地出发,他们先向下走3千米,然后向上走4千米,向下走5千米,向上走1千米后暂时休整,休整处位于海拔多少米位置? 【答案】休整处位于海拔千米的位置. 【分析】本题考查了有理数加减混合运算的应用.规定向上为正,向下为负,根据有理数的加减法计算即可. 【详解】解:(千米), 答:休整处位于海拔千米的位置. 类型三、写出数轴上的点 1.如图,数轴上点A表示的数是( ) A. B. C. D.2 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴.直接观察数轴,即可求解. 【详解】解:数轴上点A表示的数是. 故选:B 2.如图,已知数轴上点表示的数是2024,且,则点表示的数是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算,用数轴表示有理数,先求出,进而得到,由此即可得到答案. 【详解】解:∵数轴上点表示的数是2024, ∴, ∵, ∴, ∵点在原点左侧, ∴点表示的数是, 故答案为:. 3.用直线上的点表示下面各数,并将这些数按照从小到大的顺序排列. ;1.5;; _<_<_<_ 【答案】见解析; 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较,解题关键是熟练掌握把各数表示在数轴上.先把各数表示在数轴上,然后按照从左到右的顺序排列起来,并用小于号连接起来即可. 【详解】解:各数在数轴上表示出来为: ,, 类型一、超出与不足问题 1.佛山祖庙的“金漆木雕”是国家级非遗技艺,其工艺要求极高,需通过正负数精确控制雕刻深度,若某次雕刻深度比标准值超出,记作,则比标准值不足应记作( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的概念.根据正负数的概念得出结论即可. 【详解】解:雕刻深度比标准值超出,记作, 则比标准值不足应记作, 故选:B. 2.某牌子可乐的标准容量是,超出标准容量部分记为正数,不足标准容量部分记为负数.若小明买到的可乐的容量是,则记作 . 【答案】 【分析】本题考查了正负数的实际应用,根据相反意义的量即可求解,熟练掌握相反意义的量是解题的关键. 【详解】解:, 则记作 故答案为:. 3.光明牛奶在一次质量检测中,测得六袋牛奶的质量分别为398克,396克,403克,397克,402克,404克. (1)这六袋牛奶质量的平均值是多少? (2)以平均值为标准,用正数表示超出部分,用负数表示不足部分,它们对应的数分别是什么? 【答案】(1)这六袋牛奶质量的平均值是400克;(2)它们对应的数分别是:-2,-4,+3,-3,+2,+4. 【分析】(1)求出六袋牛奶质量的平均数即可; (2)根据多于400克的记为正,少于400克的记为负解答即可; 【详解】(1)(398+396+403+397+402+404) 6=400, 答:这六袋牛奶质量的平均值是400克. (2)答:它们对应的数分别是:-2,-4,+3,-3,+2,+4. 【点睛】此题主要考查了正负数的意义,解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示. 类型二、点在数轴上的平移 1.如图,数轴上点向右平移3个单位后表示的数是( ) A. B.0 C.1 D.2 【答案】D 【分析】本题考查了数轴,掌握数轴的定义是解题的关键.根据数轴的定义和特点可知,点P表示的数为,再根据向右平移3个单位从而求解. 【详解】解:根据题意可知点P表示的数为, 向右平移3个单位后表示的数是2, 故选:D. 2.数轴上点Q表示的数是6,若将点Q向右平移2个单位到点A,再向左平移个单位到B点 ,则点B表示的数是 . 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上的点移动后所表示的数,解题的关键是明确数轴上的点移动时,向左移动几个单位减去几,向右移动几个单位加上几.根据数轴上的数向左移动用减法,向右移动用加法,由此即可得出结论. 【详解】数轴上点Q表示的数是6, 右平移2个单位得到点A, 点A的坐标数为, 再向左平移个单位到B点, 点B表示的数是. 故答案为:. 3.如图,在数轴上有A,B,C三个点,请回答下列问题: (1)点C表示的有理数是:_; (2)将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示,则点D表示的数是_;到点D距离2个单位长度的数是_. (3)用数轴上的点M、N分别表示有理数和. (4)将这5个数用“<”连接的结果是_. 【答案】(1) (2);或1 (3)见详解 (4) 【分析】本题考查了数轴上表示有理数,数轴上两点之间的距离,运用数轴比较有理数的大小,正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)观察数轴,直接作答即可; (2)先得出点A表示的有理数是:4,再结合点A向左平移5个单位长度后的点用D表示,得出点D表示的数是,则点D距离2个单位长度的数是或1; (3)结合点M、N分别表示有理数和,直接在数轴上描点,即可作答. (4)由(3)中的数轴,越在数轴的右边的数越大,得,即可作答. 【详解】(1)解:由数轴得点C表示的有理数是:, 故答案为:. (2)解:由数轴得点A表示的有理数是:4, ∵将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示, ∴ 则点D表示的数是; 或, 即到点D距离2个单位长度的数是或1; 故答案为:;或1; (3)解:依题意,用数轴上的点M、N分别表示有理数和.如下图所示: (4)解:由(3)中的数轴,得, 故答案为:. 类型三、化简符号 1.的值为( ) A. B.2 C. D. 【答案】B 【分析】本题考查相反数的概念,涉及多重符号的化简,根据相反数的定义可得答案. 【详解】解:∵, ∴的值是, 故选:B 2. . 【答案】7 【分析】本题考查了化简多重符号,熟练掌握相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键.根据相反数的定义即可求解. 【详解】解:. 故答案为:7. 3.化简下列各数. (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相反数. (1)根据相反数的定义化简即可; (2)根据相反数的定义化简即可; (3)根据相反数的定义化简即可. 【详解】(1)解:; (2)解:; (3)解:. 类型一、正负数的应用 1.通达桥位于汾河之上,主桥面中心标志高于基准面米,主墩桩基础低于基准面米.若高于基准面米记作米,则低于基准面米记作( ) A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义.理解正负数的意义是解题的关键. 用正负数来表示具有意义相反的两种量:选基准面为标准记为0,高于基准面为正,则低于基准面为负. 【详解】解:已知高于基准面米记作米,说明,高于基准面用正数表示, 那么低于基准面米就应该记作米. 故选B. 2.郑州二七纪念塔高63米,共14层,是为了纪念1923年2月7日在郑州牺牲的工人运动领袖而建立的,象征着工人阶级不屈不挠的斗争精神.假期期间小余和妈妈在二七纪念塔3楼,若上2层到达5楼记为,10分钟后,他们到达1楼,可以记为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用,正负数是一对具有相反意义的量,若在3楼的基础上向上爬楼用“”表示,那么在3层的基础上下楼就用“”表示,据此求解即可. 【详解】解:假期期间小余和妈妈在二七纪念塔3楼,若上2层到达5楼记为,10分钟后,他们到达1楼,可以记为, 故答案为:. 3.2021年9月28日,第十三届中国航展在广东珠海举行,中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行,表演从空中某一位置开始,上升的高度记作正数, 四次特技飞行高度记录如下:,,,(单位:千米) (1)求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低?高了或低了多少千米? (2)若飞机平均上升千米需消耗升燃油,平均下降千米需消耗升燃油,则飞机在这4次特技飞行中,一共消耗多少升燃油? 【答案】(1)飞机比起飞点高了千米 (2)升 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算,正负数在实际生活中的应用, (1)直接把各数相加即可得出结论; (2)根据题意列式计算即可. 【详解】(1)解: (千米) 答:此时飞机比起飞点高了千米; (2)解: (升) . 答:一共消耗升燃油. 类型二、有理数分类 1.下列说法正确的是( ) A.一定是负数 B.整数和分数统称为有理数 C.有理数分为正数,负数和零 D.正整数和负整数统称为整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的基本概念. 根据有理数的基本概念逐一分析即可. 【详解】解:A:当为负数时,为正数,故原说法错误; B:根据有理数的定义,整数和分数统称为有理数,故原说法正确; C:有理数分为正有理数、负有理数和零,而非笼统的“正数、负数和零”,故原说法错误; D:整数包括正整数、负整数和零,选项中遗漏了零,故原说法错误; 故选:B. 2.在,3,,0,,,中,负数有 个. 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的分类,根据负数是小于0的数进行解答即可. 【详解】解:在,3,,0,,,中,负数有,,,共3个,其余都不是负数, 故答案为:3 3.所有正有理数组成正有理数集合,所有负有理数组成负有理数集合.把下面的有理数填入它们属于的集合内. 正有理数集合{ ……}; 负有理数集合{ ……}; 整数集合{ ……}. 【答案】;; 【分析】本题考查了有理数的分类,熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键.有理数可分为整数和分数,整数分正整数,零和负整数;分数分正分数和负分数.有理数也可分为正有理数,零和负有理数,正有理数分为正整数和正分数,负有理数分为负整数和负分数.据此解答即可. 【详解】解:正有理数集合{,……}; 负有理数集合{,……}; 整数集合{,……}. 故答案为:;;. 类型三、绝对值分类讨论 1.若,则的值不可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】此题考查了化简绝对值,分别讨论中正数和负数的个数,再去绝对值计算,判断的符号是解题的关键. 【详解】解:∵, ∴若都为正数,则, 则, 若中个为正,个为负,不妨设,则, 则, 若中个为正,个为负,不妨设,则, 则, 若都为负数,则, 则, ∴的值可能是或或, 故选:. 2.如果有理数、、满足,那么 . 【答案】 【分析】此题考查绝对值,解题关键在于得出,,中必有两正一负.根据可以看出,,中必有两正一负,从而确定,进而可出求的值. 【详解】解:根据绝对值的意义:一个非零数的绝对值除以这个数,等于或. , 其中必有两个和一个,即,,中必有两正一负. , 则, 故答案为:. 3.有理数在数轴上的位置如图: (1)_,_,_0;填(“”或“”) (2)如果互为相反数,则_; (3)计算:. 【答案】(1),,; (2); (3). 【分析】(1)根据、、在数轴上的位置即可求解; ()根据相反数的定义即可求解; ()结合数轴,根据绝对值性质去绝对值符号,再合并即可求解; 本题考查了数轴,绝对值的性质,相反数的定义,掌握知识点的应用是解题的关键. 【详解】(1)解:由数轴可知:,, ∴,,, 故答案为:,,; (2)解:∵互为相反数, ∴,即, ∴, 故答案为:; (3)解:由数轴可知:, ∴ . 1 学科网(北京)股份有限公司 $$ 1.1—1.2 正数和负数 有理数及其大小比较 一、正数和负数 1.正数和负数的概念 正数：比0大的数，例如3、1.8%、3.5等。正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。 负数：比0小的数，前面带有“-”号，例如-3、-2.7%、-4.5、-1.2等。需注意，不是所有带“-”号的数都是负数，只有在正数前加“-”号的数才是负数。 0：既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界。 2.数的符号 一个数前面的“+”“-”叫做它的符号，“+”可以省略不写，而“-”不能省略。正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数。 3.具有相反意义的量 正数可以表示某种意义的量，负数则可以表示具有与该正数相反意义的量。例如，若规定收入1000元记作+1000元，则支出300元记作-300元；若规定前进10米记作+10米，则后退5米记作-5米。具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能成为具有相反意义的量。 4.对“0”的认识 0可以表示“没有”，如在教室里有0个人，即表示教室里没有人；0也可以表示某种量的基准，如在温度计上，0℃不表示没有温度，而表示冰点，它是一个确定的温度；0还是正数和负数的分界。 二、有理数及其大小比较 1.有理数的定义与分类 有理数是可以表示为两个整数之比的数。有理数包括正有理数、零和负有理数。其中，正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。 2.数轴与有理数 数轴是表示有理数的一种直观工具。在数轴上，正数位于零的右边，负数位于零的左边。绝对值越大的数，在数轴上离原点越远。 3.相反数与绝对值 相反数是指符号相反的两个数，它们的和为零。例如，5和-5就是一对相反数。绝对值是一个数与零的距离，它总是非负的。例如，|-5|的绝对值就是5。 4.有理数的大小比较 有理数的大小比较遵循以下规则： （1） 正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数。 （2） 对于两个正数或两个负数，绝对值大的数反而小（注意，这一规则仅适用于负数之间的比较）。例如，-5比-3小，因为|-5|大于|-3|。 （3） 在数轴上，右边的数总比左边的数大。 5.有理数的应用 有理数在日常生活和数学学习中有着广泛的应用。例如，在购物时计算价格、在烹饪时调配比例、在科学研究中表示测量值等，都需要用到有理数的概念和运算。 巩固课内例1:标准质量问题 1．某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 2．在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ． 3．某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装．一盒橘子的标准质量为．如果用正数表示超过标准的质量，那么 (1)比标准质量多和比标准质量少各怎么表示？ (2)各表示什么意思？ 巩固课内例2:用正负数表示相反意义的量 1．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元2025年应记作（   ） A．2525年 B．2025年 C．年 D．年 2．若气温上升，记作，那么气温下降，记作 ． 3．找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 巩固课内例3:指出正、负有理数或正、负整数 1．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各数：4，，，，0，中，非负数有 ；整数有 ；分数有 ． 3．把下面的有理数填入它们属于的集合内： ． 正有理数集合：{    …}； 负有理数集合：{    …}； 非负整数集合：{    …}． 巩固课内例4:在数轴上表示数 1．如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数可能是（　　） A． B．1.8 C． D．2.2 2．如图，数轴上点A所表示的数是 ． 3．（1）在数轴上表示下列各数：，，0，． （2）将原数按从小到大的顺序用“”连接起来． 巩固课内例5:写出一个数的相反数 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．的相反数是 ． 3．（1）分别写出和的相反数； （2）a的相反数是2.4，写出a的值． 巩固课内例6:写出一个数的绝对值 1． 的绝对值是（    ） A． B． C． D． 2．的相反数是 ；的绝对值是 ． 3．求下列各数的绝对值： (1)； (2)0.15； (3)； (4)； 巩固课内例7:比较各组数的大小 1．在下列各数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 2．比较大小： 填“”或“号”． 3．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 类型一、指出下面正、负数 1．在这些数中，是负数的是（    ） A． B．0 C． D．4 2．在，，，，，，，这些数中，正数有 ，负数有 ． 3．在中，哪些是正数，哪些是负数？ 类型二、海拔问题 1．我国的海拔零点是以青岛的黄海海面作为零点算起．吐鲁番盆地地势低于青岛黄海海面米，海拔是米．昆明地势高于青岛黄海海面米，海拔记为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．地球上海拔最高的地点是珠穆朗玛峰，其海拔高于海平面8848.86米，记作米，则地球上海拔最低的地点是我国新疆吐鲁番盆地的艾丁湖，其海拔低于海平面154米，记作 米． 3．某登山队5名队员以海拔1千米处为基地出发，他们先向下走3千米，然后向上走4千米，向下走5千米，向上走1千米后暂时休整，休整处位于海拔多少米位置？ 类型三、写出数轴上的点 1．如图，数轴上点A表示的数是（    ） A． B． C． D．2 2．如图，已知数轴上点表示的数是2024，且，则点表示的数是 ． 3．用直线上的点表示下面各数，并将这些数按照从小到大的顺序排列． ；1.5；； ______<______<______<______ 类型一、超出与不足问题 1．佛山祖庙的“金漆木雕”是国家级非遗技艺，其工艺要求极高，需通过正负数精确控制雕刻深度，若某次雕刻深度比标准值超出，记作，则比标准值不足应记作（   ） A． B． C． D． 2．某牌子可乐的标准容量是，超出标准容量部分记为正数，不足标准容量部分记为负数．若小明买到的可乐的容量是，则记作 ． 3．光明牛奶在一次质量检测中，测得六袋牛奶的质量分别为398克，396克，403克，397克，402克，404克． （1）这六袋牛奶质量的平均值是多少？ （2）以平均值为标准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，它们对应的数分别是什么？ 类型二、点在数轴上的平移 1．如图，数轴上点向右平移3个单位后表示的数是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．数轴上点Q表示的数是6，若将点Q向右平移2个单位到点A，再向左平移个单位到B点 ，则点B表示的数是 ． 3．如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)点C表示的有理数是：___________； (2)将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，则点D表示的数是_________；到点D距离2个单位长度的数是_________． (3)用数轴上的点M、N分别表示有理数和． (4)将这5个数用“<”连接的结果是__________________． 类型三、化简符号 1．的值为（    ） A． B．2 C． D． 2． ． 3．化简下列各数． (1) (2) (3) 类型一、正负数的应用 1．通达桥位于汾河之上，主桥面中心标志高于基准面米，主墩桩基础低于基准面米．若高于基准面米记作米，则低于基准面米记作（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2．郑州二七纪念塔高63米，共14层，是为了纪念1923年2月7日在郑州牺牲的工人运动领袖而建立的，象征着工人阶级不屈不挠的斗争精神．假期期间小余和妈妈在二七纪念塔3楼，若上2层到达5楼记为，10分钟后，他们到达1楼，可以记为 ． 3．2021年9月28日，第十三届中国航展在广东珠海举行，中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数， 四次特技飞行高度记录如下：，，，（单位：千米） (1)求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？ (2)若飞机平均上升千米需消耗升燃油，平均下降千米需消耗升燃油，则飞机在这4次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 类型二、有理数分类 1．下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 2．在，3，，0，，，中，负数有 个． 3．所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合．把下面的有理数填入它们属于的集合内． 正有理数集合{ 　                      　……}； 负有理数集合{ 　                      　……}； 整数集合{ 　                          　……}． 类型三、绝对值分类讨论 1．若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 2．如果有理数、、满足，那么 ． 3．有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$