1.2矩形的性质与判定第2课时（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册 1.2 矩形的性质与判定 第2课时 第一章 特殊平行四边形 学 习 目 标 1.探索并证明矩形的判定定理，并能灵活运用判定定理进行证明和计算;（重点） 2.探索矩形判定条件的过程，以及合理、准确地运用判定定理解决问题。(难点) C B A O 几何语言：∵△ABC为直角三角形，BO为AC的中线, ∴BO= . 知识回顾 1.矩形的定义： 有一个角是 的平行四边形叫作矩形. 直角 2.矩形的性质： （1）一般性质：矩形具有 的一切性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分. （2）特殊性质：矩形的四个角都是 ；矩形的对角线 . 平行四边形 直角 相等 3.直角三角形斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于 . 斜边的一半 AC 情境引入 问题：小华同学想亲手制作一个矩形相框，作为生日礼物送给妈妈。他找来了两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条，通过拼接制成了一个四边形框架，从边的特征看，这显然是一个平行四边形框架。 平行四边形 ？ 矩形 可小华犯愁了，怎样才能确定这个框架是矩形呢？大家开动脑筋想一想，有没有什么办法来验证？？ 根据矩形的定义，再有一个角是直角就是矩形了. 还有没有其他方法呢?下面我们一起探索吧! 新知探究 探究：矩形的判定 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 有一个角是直角的平行四边形是矩形. ∠B=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 几何语言： 除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是矩形?先想一想，再与同伴交流。 定义法： A B C D ∟ 新知探究 做一做 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化． (2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想? (1)随着∠α的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化? 当∠α 逐渐增大时，其中一条对角线逐渐变长，另一条对角线逐渐变短。 当两条对角线长度相等时，平行四边形的四个角都变成直角。 由此可猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 已知：在□ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB. 求证：四边形ABCD是矩形. 新知探究 验证猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC， 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥DC, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC =∠DCB = 180°= 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 新知探究 矩形的判定定理1： 知识归纳 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD, ∴ □ABCD是矩形. AC=BD A B D C 矩形ABCD A B C D □ABCD 对角线相等的平行四边形是矩形. 1.如图，在□ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定□ABCD是矩形的是（　　） A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD 新知探究 A 新知探究 想一想 我们知道，矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流. A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 新知探究 验证猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 新知探究 知识归纳 矩形的判定定理2： 几何语言：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴ □ABCD是矩形. ∠A=∠B=∠C=90° 有三个角是直角的四边形是矩形. A B C D 矩形ABCD 四边形ABCD A B C D 新知探究 议一议 你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流. 方法一：测量三个角 操作：使用量角器测量门框的三个角。 依据：有三个角是直角的四边形是矩形。 方法二：测量两组对边及对角线 操作：先用卷尺测量门框的两组对边，看它们是否分别相等；若两组对边分别相等，再测量两条对角线的长度。 依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形。 新知探究 若仅有一根较长绳子时的方法: 操作：用绳子依次测量出门框的两组对边长度并做好标记，判断两组对边是否分别相等；若两组对边分别相等，再用绳子测量门框的两条对角线长度。 依据：当两组对边分别相等，说明门框是平行四边形。在此前提下，若两条对角线长度相等，依据 “对角线相等的平行四边形是矩形”，能够判定该门框是矩形。 新知探究 2.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 典例分析 如图，如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB = 4，求这个□ABCD的面积. 例1 ∴∠ABC=90°（矩形的四个角是直角）. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OB=OC=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8. ∴□ABCD是矩形. （对角线相等的平行四边形是矩形） 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 , ∴BC=. ∴S□ABCD=AB·BC=4×=16. 如图,矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形. 例2 典例分析 B C D E F G H O A 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD（矩形的对角线相等)， AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）， ∵ AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EO+OG=FO+OH， 即EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形. 巩固练习 基础巩固题 1.下列说法正确的是(　　) (1)对角线相等的四边形是矩形; (2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形; (3)有一个角是直角的四边形是矩形; (4)有三个角是直角的四边形是矩形; (5)四个角都相等的四边形是矩形; (6)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形. A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5) C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(6) B 2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF，MN于A，C两点,AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA， ∠ ACN，∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 D E F M N Q P A B C 巩固练习 基础巩固题 C 3.如图所示,工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行:   ①              ②             ③            ④    (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图①所示,即AB＝CD,EF＝GH.    (2)摆放成如图②的四边形，这时窗框的形状是　　　　　　, 根据的数学道理是　　　　                     .   (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格.这时窗框的形状是            ，根据的数学道理是                   . 巩固练习 基础巩固题 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 4.如图所示,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10,求证：四边形ABCD是矩形. 巩固练习 基础巩固题 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是矩形. 证明:∵在△ABC中， AB=6,BC=8,AC=10, ∴AC2=AB2+BC2, ∴∠ABC=90°. 5.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN. 求证：四边形NDMB为矩形． 巩固练习 基础巩固题 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝OC，OD＝OB. ∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB， ∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD， ∴平行四边形NDMB为矩形． 6.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E. 求证：四边形ADCE是矩形． 巩固练习 基础巩固题 证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠B＝∠ACB，BD＝DC. ∵AE是∠BAC的外角平分线， ∴∠FAE＝∠EAC. ∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC， ∴AE∥CD. 又∵DE∥AB， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∴AE平行且相等BD. 课堂小结 矩形的性质与判定2 矩形的判定方法:定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 矩形的判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形. 作业布置 1.必做题：习题1.5第1-2题。 2.探究性作业：习题1.5第3题。 感谢聆听! $$