2.7 指数函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

2.7 指数函数 知识梳理 一．指数函数的概念 1. 定义：一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R． 2. 特征： 特征 如，函数y＝－3×4x和y＝x4均不符合指数函数的特征，故不是指数函数．其中函数y＝kax(kR，且k≠0，a＞0，且a≠1)称为指数型函数． 【注】化简后再判断 （a>0且a≠1）是指数函数，因为，满足指数函数定义 如：等都是指数函数，因为 典例剖析 【考点一 指数函数的定义】 【总结归纳】指数函数的特征 y＝ax 特征 【注】化简后再判断 【题型一 指数函数的定义与解析式】 1．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 2．若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 故答案为：4 【变式】（24新疆高一上期末）已知函数是指数函数，则实数的值为 ； 【答案】4 【来源】新疆维吾尔自治区吐鲁番市2024-2025学年高一上学期期末检测数学试题 【分析】根据是指数函数，由求解； 【详解】因为函数是指数函数， 所以 ，解得； 知识梳理 2． 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 定义 ( 0 1 ) ( 0 1 )函数且叫做指数函数 图象 过定点 图象过定点，即当时，. 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 对称性 本身不具对称性，但函数y＝ax与y＝a－x的图象，关于y轴对称 2．复合函数的单调性——同增异减 对于函数， ①内层与外层在相应范围内单调性一致，则为增函数； ②内层与外层在相应范围内单调性相反，则为减函数； 典例剖析 【考点二 指数函数的图象及应用】 【题型一 指数型函数过定点】 【归纳总结】指数型函数过定点：令指数部分=0 3．（25河北高二下期末）函数（，且）的图象恒过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用，令，得，将代入函数中计算即可求得函数的图象恒过点. 【详解】根据题意，函数中， 令，得， 将代入函数可得， 即函数的图象恒过点. 故选：A 【变式】（25云南昭通高一下月考）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数 的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】D 【分析】由已知求出定点的坐标，根据待定系数法求出，从而可得结果. 【详解】函数的图象恒过定点， 又点在的图象上， ，即， 故选：D. 4．（25河北保定高一下月考）已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出指数型函数求出所过定点，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，恒有，因此曲线过定点，， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D 【题型二 指数函数的图象特征】 【归纳总结】指数函数，底数对图象的影响 （1）图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1 （2）在一象限，“底大图高” 5．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系. 【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而. 故选：C． 【练习】已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 6．当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各选项中的图象，由一次函数的图象确定的取值情况，再由指数型函数图象判断特征判断即可. 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 【变式】（24广东顺德高一上月考）二次函数与指数函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数图象可知，结合二次函数零点所处的区间可得结果. 【详解】由选项中指数函数图象可知：， 令，解得：或， ，，可排除ABC. 故选：D. 7．（25河北石家庄高二下期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图像经过的象限，列出关于和的不等式组，进而求解和的取值范围. 【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即 综上分析，可得 故选：C. 【考点三 指数函数的性质】 【题型一 指数型函数的定义域】 8．（24吉林长春高一上期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式】（24甘肃兰州高一上月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【题型二 指数型函数的值域】 （求值域） 9．（多选）下列函数的值域不是的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A， 的值域是；对于B，的值域是；对于C， 的值域是；对于D， 的值域是． 10．（25浙江高一下期中）求下列函数的值域 （1） 【答案】 【分析】应用二次函数、指数函数的性质求复合函数的值域即可. 【详解】由，则， 所以函数的值域为. 故答案为： （2）， 【答案】 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数在上的值域是. 故答案为： 【练习】（24重庆黔江高一上期末）一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且. (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可； （2），设，再利用二次函数性质即可求出其值域. 【详解】（1）由题意有，解得或， 当时，，此时，舍去； 当时，，满足． （2）由题得，令，因为，则， ，， ，所以的值域为． （根据值域求参） 11．（25山东高三下模拟）已知函数的值域为，且，则 . 【答案】 【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求解. 【详解】由指数函数的性质可知， 若，则，为常数，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则， 因为函数的值域为，则， 又，则，解得， 所以. 故答案为：. 12．（25河北保定高一下期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可先确定时的值域，再利用函数的值域为，得到时，函数的单调性及端点函数值的范围即可求. 【详解】因为时，，所以， 又的值域为，所以时，的值域至少要取到， 则. 故答案为：. 【变式】（25江西高一下月考）已知函数（，）的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由时的值域，将问题转化成在上恒成立即可求解； 【详解】当时，，又函数的值域为， 所以在上恒成立，所以 解得，即的取值范围是. 故答案为： 【题型三 指数型函数的单调性】 （求单调区间）→复合函数求单调区间 【总结归纳】指数型函数的单调性 复合函数单调区间的求法（3步） 13．（25河北保定高一下月考）求下列函数的单调区间 （1）． 【答案】上单调递减，在上单调递增， 【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求出减区间. 【详解】函数的定义域为R，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增， （2）． 【答案】减区间是，增区间是 【详解】令，则函数t的增区间是减区间是．而函数在上单调递减，故函数的减区间是，增区间是 14．（25浙江高二下学业水平测试）函数的单调递增区间是 . 【答案】或 【分析】根据复合函数的单调性判断可得答案. 【详解】函数， 令， 则在上单调递增，在上单调递减， 由的，而在上单调递增， 所以的单调递增区间是或. 故答案为：或. 【变式】（辽宁沈阳高一上期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形给定函数，换元并借助二次函数、指数函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数，令， 函数在上单调递增，由，得， 而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 故选：A （根据单调性求参） 15．（25陕西西安高三下模拟）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式】（25云南高一下联考）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 16．（25河南平顶山高一下期末）已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为函数在上单调递减， ∵，解得 ∴实数a的取值范围为 故答案为：. 【变式】（25安徽阜阳高一下期末）已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数在定义域内单调递减，结合分段函数解析式，每一段应是减函数，且分界点处左段函数的函数值不小于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可. 【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减， 则一定有，解不等式组得. 故选：B. 【题型四 指数型函数的奇偶性】 17．（24广东东莞高一上期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 【答案】B 【分析】根据奇函数定义结合指数运算判断奇偶性，应用指数函数及复合函数的单调性判断单调性即可判断. 【详解】由，其定义域为R，关于原点对称， ，所以是奇函数. 又， 因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且， 所以在R上单调递减，则在R上单调递增， 那么在R上单调递增. 故单调递增且是奇函数. 故选： 18．（25浙江宁波高二下期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，由奇函数的性质得出，即可得解. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 则当时，，所以，， 此时，. 故选：D. 19．（25云南昆明高三模拟）若函数（且）是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质即可求解. 【详解】，则， 由于是偶函数，故对恒成立， 故，所以， 故选：D 【变式】（24江西赣州高一上期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江西省赣州市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出参数值. 【详解】函数定义域为R，由为奇函数，得，解得， 函数，，是奇函数， 所以. 故选：A 【考点三 指数函数性质的应用】 【题型一 解不等式】 20．（25河北保定高二下期末）已知不等式成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的单调性，可得，解不等式即可. 【详解】 ， 即 ，即 ，故不等式的解集为 ， 故选：D. 【变式】设，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得. 21．（辽宁学业水平测试）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数分别列不等式组，再结合指数函数及幂函数的单调性运算求解. 【详解】因为函数， 则由不等式可得或， 所以或， 所以或. 即得. 故选：C. 22．（25湖南高二下期中）已知函数，则使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数是偶函数，再利用指数函数的单调性，以及奇偶性可得，解不等式即可得出结论. 【详解】函数，定义域为，关于原点对称， 又因为，易知是偶函数， 当时，，则在上单调递增． 由，得，解得． 故选：B 【练习】（25浙江高二下月考）已知函数，则不等式成立的实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性和奇偶性解抽象函数不等式可得. 【详解】，定义域为关于原点对称，所以为偶函数， 又当时，为增函数；当时，为减函数， 所以即， 两边平方整理可得，解得， 所以不等式成立的实数m的取值范围为. 故答案为：. 【题型二 比较大小】 23．（25河南商丘高二下期末）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质比较大小. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以． 故选：D． 【练习】（25福建福州高二下期末）已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用指数函数和的性质，即可求解. 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则， 故选：C. 第 2 页 共 18 页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7 指数函数 知识梳理 一．指数函数的概念 1. 定义：一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R． 2. 特征： 特征 如，函数y＝－3×4x和y＝x4均不符合指数函数的特征，故不是指数函数．其中函数y＝kax(kR，且k≠0，a＞0，且a≠1)称为指数型函数． 【注】化简后再判断 （a>0且a≠1）是指数函数，因为，满足指数函数定义 如：等都是指数函数，因为 典例剖析 【考点一 指数函数的定义】 【总结归纳】指数函数的特征 y＝ax 特征 【注】化简后再判断 【题型一 指数函数的定义与解析式】 1．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若函数是指数函数，则 ． 【变式】（24新疆高一上期末）已知函数是指数函数，则实数的值为 ； 知识梳理 2． 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 定义 ( 0 1 ) ( 0 1 )函数且叫做指数函数 图象 过定点 图象过定点，即当时，. 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 对称性 本身不具对称性，但函数y＝ax与y＝a－x的图象，关于y轴对称 2．复合函数的单调性——同增异减 对于函数， ①内层与外层在相应范围内单调性一致，则为增函数； ②内层与外层在相应范围内单调性相反，则为减函数； 典例剖析 【考点二 指数函数的图象及应用】 【题型一 指数型函数过定点】 【归纳总结】指数型函数过定点：令指数部分=0 3．（25河北高二下期末）函数（，且）的图象恒过点（   ） A． B． C． D． 【变式】（25云南昭通高一下月考）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数 的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 4．（25河北保定高一下月考）已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【题型二 指数函数的图象特征】 【归纳总结】指数函数，底数对图象的影响 （1）图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1 （2）在一象限，“底大图高” 5．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 【练习】已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 6．当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24广东顺德高一上月考）二次函数与指数函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 7．（25河北石家庄高二下期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【考点三 指数函数的性质】 【题型一 指数型函数的定义域】 8．（24吉林长春高一上期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24甘肃兰州高一上月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型二 指数型函数的值域】 （求值域） 9．（多选）下列函数的值域不是的有（   ） A． B． C． D． 10．（25浙江高一下期中）求下列函数的值域 （1） （2）， 【练习】（24重庆黔江高一上期末）一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且. (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求在上的值域. （根据值域求参） 11．（25山东高三下模拟）已知函数的值域为，且，则 . 12．（25河北保定高一下期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【变式】（25江西高一下月考）已知函数（，）的值域为，则的取值范围是 . 【题型三 指数型函数的单调性】 （求单调区间）→复合函数求单调区间 【总结归纳】指数型函数的单调性 复合函数单调区间的求法（3步） 13．（25河北保定高一下月考）求下列函数的单调区间 （1）． （2）． 14．（25浙江高二下学业水平测试）函数的单调递增区间是 . 【变式】（辽宁沈阳高一上期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． （根据单调性求参） 15．（25陕西西安高三下模拟）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25云南高一下联考）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（25河南平顶山高一下期末）已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 【变式】（25安徽阜阳高一下期末）已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型四 指数型函数的奇偶性】 17．（24广东东莞高一上期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 18．（25浙江宁波高二下期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 19．（25云南昆明高三模拟）若函数（且）是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式】（24江西赣州高一上期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【考点三 指数函数性质的应用】 【题型一 解不等式】 20．（25河北保定高二下期末）已知不等式成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式】设，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 21．（辽宁学业水平测试）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 22．（25湖南高二下期中）已知函数，则使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【练习】（25浙江高二下月考）已知函数，则不等式成立的实数m的取值范围为 ． 【题型二 比较大小】 23．（25河南商丘高二下期末）若，则（ ） A． B． C． D． 【练习】（25福建福州高二下期末）已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 第 2 页 共 18 页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$