专题 14.3 角的平分线（ 知识梳理 +题型精析 + 同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024）

专题 14.3 角的平分线 目录 一.知识梳理 1 （一）角的平分线性质定理 1 （二）角的平分线判定定理 2 （三）尺规作图——角的平分线 2 二．题型分类精析 3 【题型1】利用角平分线的性质定理求值 3 【题型2】利用角平分线的性质定理证明 4 【题型3】利用角平分线的判定定理求值 5 【题型4】利用角平分线的判定定理进行证明 6 【题型5】角平分线的性质定理与判定定理综合求值证明 7 【题型6】尺规作图——利用角平分线的性质与判定求值 8 三．同步练习 10 【基础巩固（16题）】 10 【能力提升（16题）】 14 【中考真题6题】 18 一.知识梳理 （一）角的平分线性质定理 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线; 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 图1 数学语言：为的角平分线（如图1），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 （二）角的平分线判定定理 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 图2 数学语言：（如图2），点在内部，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 证明：,, 在和中 （） （三）尺规作图——角的平分线 尺规作图：如图3，以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，在角的内部交于一点；过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是该角的平分线. 图3 特别注意：（1）作图中 “半径大于线段一半”、角平分线作图中 “在角内部交于一点” 不然就没有交点; （2）角平分线作图和垂直平分线作图题是中考常考点. 二．题型分类精析 【题型1】利用角平分线的性质定理求值 【例题 1】 （2025·山东青岛·模拟预测）如图，中，平分，为延长线上一点，于，已知，， （1）的度数为___________； （2）求的度数． 【变式1】 （24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【变式2】 （24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】 （24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时， （用含的代数式表示）． 【题型2】利用角平分线的性质定理证明 【例题2】 （24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证： （1）， （2）． 【变式1】 （24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】 （24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，是的角平分线，，分别是，的高线．则下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【变式3】 （24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． （1）与全等吗？请说明理由； （2）若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 【题型3】利用角平分线的判定定理求值 【例题 3】 （24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，于点E，于点F，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】 （24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接，于点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，已知于A，于B，且，则 ． 【变式3】 （24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，以它的边为直角边，分别在形外作等腰直角三角形，连接．下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．平分 D． 【题型4】利用角平分线的判定定理进行证明 【例题4】 （23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证： （1）点在的平分线上； （2）． 【变式1】 （24-25八年级上·河北保定·期末）如图，M，N分别是边，上的点，点P在射线上，下列条件不能说明平分的是（   ） A．，， B．， C．， D．，， 【变式2】 （2025七年级下·全国·专题练习）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（       ）　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【题型5】角平分线的性质定理与判定定理综合求值证明 【例题 5】 （24-25八年级下·全国·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P． （1）试探索与的关系； （2）若，求的度数． 【变式1】 （24-25八年级上·天津·期中）如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【变式2】 （24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，的外角平分线与的外角平分线相交于点．则下列结论正确的是（　　） A．点平分 B．平分 C．平分 D． 【变式3】 （24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ． 【题型6】尺规作图——利用角平分线的性质与判定求值 【例题 6】 （2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，已知在中． （1）分别作，的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）当时，的度数为______． （3）当时，用含的代数式表示的度数． 【变式1】 （24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为 ． 【变式2】 （2025·吉林长春·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 三．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东茂名·期末）如图，射线平分，点在上，过点作于点，若，则点到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 4．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，点C是延长线上一点，，并与交于点P，现欲添加一条件，使，下列条件不能满足的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点D，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，、为边上两点，连接、，于点F，若，，，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 8．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有 ．（填序号） 9．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，点在内，于点，于点，且，，则 ． 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ． 11．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）一天数学课堂上，小明忘记了带圆规，于是他尝试用直角三角板来画角平分线．如图，在的两边上，分别取，将两个直角三角板的直角顶点放在点，处作，的垂线，交点为，一个三角板的斜边与另一个三角板直角边交于点，画射线 就得到的平分线． 12．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，，平分交于点，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若的周长为20，求的长． 14．（24-25八年级下·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 15．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． （1）求证：． （2）若．求的值． 16．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． （1）如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．            B．         C．            D． （2）如图2，在射线上任取一点C，作，在射线上截取一点M，使，作射线．根据以上步骤，请说明是的平分线； 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西来宾·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，若，，则的面积是（   ） A．30 B．24 C．15 D．18 3．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接，于点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江西九江·期末）如图，已知，，，用尺规作的平分线，下列四种作法中，正确的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 6．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 7．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 8．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是6，的面积是9，则的长是 ．      9．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 （用含α、β的关系式表示）． 10．（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 11．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是 ． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    三、解答题 13．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 14．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． （1）求证：是的平分线： （2）求证：． 15．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，点在的边上，且． （1）若，则____________（用含的式子表示）； （2）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 16．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知中，平分，且，点是延长线上一点，且，过点作于点． （1）求证：； （2）判断的形状并说明理由． （3）若，求的长． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 5．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 三、解答题 6．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 14.3 角的平分线 目录 一.知识梳理 1 （一）角的平分线性质定理 1 （二）角的平分线判定定理 2 （三）尺规作图——角的平分线 2 二．题型分类精析 3 【题型1】利用角平分线的性质定理求值 3 【题型2】利用角平分线的性质定理证明 6 【题型3】利用角平分线的判定定理求值 11 【题型4】利用角平分线的判定定理进行证明 14 【题型5】角平分线的性质定理与判定定理综合求值证明 17 【题型6】尺规作图——利用角平分线的性质与判定求值 22 三．同步练习 25 【基础巩固（16题）】 25 【能力提升（16题）】 38 【中考真题6题】 54 一.知识梳理 （一）角的平分线性质定理 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线; 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 图1 数学语言：为的角平分线（如图1），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 （二）角的平分线判定定理 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 图2 数学语言：（如图2），点在内部，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 证明：,, 在和中 （） （三）尺规作图——角的平分线 尺规作图：如图3，以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，在角的内部交于一点；过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是该角的平分线. 图3 特别注意：（1）作图中 “半径大于线段一半”、角平分线作图中 “在角内部交于一点” 不然就没有交点; （2）角平分线作图和垂直平分线作图题是中考常考点. 二．题型分类精析 【题型1】利用角平分线的性质定理求值 【例题 1】 （2025·山东青岛·模拟预测）如图，中，平分，为延长线上一点，于，已知，， （1）的度数为___________； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数； （2）结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． 解：（1）解：∵中，，， ∴ 故答案为：． （2）平分， ． 在中，，， ， ． 于， ， ． 【变式1】 （24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 解：过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】 （24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 【变式3】 （24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时， （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，四边形内角和，角平分线的性质，先结合平分，平分，则过点C作，交于一点，过点E作，运用角平分线的性质得，则最小，则，根据，即可作答． 解：依题意，过点C作，交于一点，过点E作 ∵平分，， ∴， 即（垂线段最短） ∵，， ∴ ∵ ∴． 故答案为： 【题型2】利用角平分线的性质定理证明 【例题2】 （24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证： （1）， （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据角平分线的性质，利用证明即可； （2）证明，即可得证． 解：（1）证明：∵平分，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【变式1】 （24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】过E作于F，易证得，得到；而点E是BC的中点，得到，则可证得，得到，也可得到，，即可判断出正确的结论． 解：过E作于F，如图， ∵，平分， ∴，， ∴，， ∴； 而点E是的中点， ∴，所以①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，所以④正确；∴，所以③正确， ∴， ∴，所以②正确． 综上：②③④正确． 故选C． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 【变式2】 （24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，是的角平分线，，分别是，的高线．则下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义与角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，证明，则，即可得出平分；不一定成立，不能证明． 解：∵，分别是，的高线 ∴ ∵是的角平分线， ∴，故①正确 在中， ∴， ∴， 即平分；故②正确 ∵不能证明．故③错误 故答案为：①②． 【变式3】 （24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． （1）与全等吗？请说明理由； （2）若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 【答案】（1）全等，见分析；（2）①见分析；②4 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意及全等三角形的判定证明即可； （2）①根据全等三角形的性质得出，，结合题意及全等三角形的判定即可得出结果；②根据全等三角形的性质及角平分线的性质即可求解． 解：（1）解：全等；     理由：因为， 所以. 因为为的中点， 所以.     在与中， 因为，，， 所以； （2）①由（1）知， 所以， 因为， 所以， 即.     在与中， 因为，，， 所以；     所以， 所以；     ②由①知道， 所以， 所以平分， 所以点到的距离等于点到的距离. 因为，， 所以，即，且， 所以点到的距离为4． 【题型3】利用角平分线的判定定理求值 【例题 3】 （24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，于点E，于点F，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，以及全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据“”证明即可； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线定义得出平分，即可得出答案． 解：（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 【变式1】 （24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接，于点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到平分角，得到，即可得到答案． 解：，， ， ，， 平分角， ， 故选：B． 【变式2】 （24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，已知于A，于B，且，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形外角的性质，证明点P在的平分线上是本题的关键．由，，，可证点P在的平分线上，可得，由三角形外角性质可求解． 解：，，， ∴点P在的平分线上， ， ， 故答案为：． 【变式3】 （24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，以它的边为直角边，分别在形外作等腰直角三角形，连接．下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 利用证明则，即可判断A；由于，则，而，故，即可判断B；过点A作于点，过点A作于点，由于，则，而，故，根据角平分线的判定即可判断C；对于D，条件不足，不能证明． 解：由题意得， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 如图：过点A作于点，过点A作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故C正确，不符合题意； ∵现有条件不足以证明，故D错误，符合题意， 故选：D． 【题型4】利用角平分线的判定定理进行证明 【例题4】 （23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证： （1）点在的平分线上； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，证明，根据性质可得，然后通过角平分线的判定方法即可求证； （）由（）可知，得，又，然后通过线段和差即可求证． 解：（1）证明：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2）证明：由（）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】 （24-25八年级上·河北保定·期末）如图，M，N分别是边，上的点，点P在射线上，下列条件不能说明平分的是（   ） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据角平分线的判定可以直接判定平分，判断A不符合题意；根据三角形全等的判定和性质可以直接判断B、D不符合题意，C选项无法判断平分． 解：A．根据，，，利用角平分线的判定可知平分，故A不符合题意； B．∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故B不符合题意； C．，，不能判定平分，故C符合题意； D．∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故D不符合题意； 故选：C． 【变式2】 （2025七年级下·全国·专题练习）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（       ）　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义及判定、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定，先证是的平分线，再证，可证得，成立． 解：如图所示，连接， ， 是的平分线， ， ，①正确； ， ， 是的平分线， ， ， ，②正确； 只是过点，并没有固定，③无法确定； 故选：C． 【题型5】角平分线的性质定理与判定定理综合求值证明 【例题 5】 （24-25八年级下·全国·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P． （1）试探索与的关系； （2）若，求的度数． 【答案】（1），见分析；（2） 【分析】本题考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是关键， （1）先得出，根据角平分线定义得出，进而证明结论； （2）过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，证明，得出平分，即可求出结论． 解：（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上， 即平分， 由（1）得， ∴， ∴． 【变式1】 （24-25八年级上·天津·期中）如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据题意得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 解：作于Z，于Y，于W，如图所示：    ∵平分，，， ∴， 同理， ∴，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，的平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】 （24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，的外角平分线与的外角平分线相交于点．则下列结论正确的是（　　） A．点平分 B．平分 C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是熟知角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点分别作的垂线，垂足分别为，然后根据角平分线的性质和判定即可求解． 解：过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵外角的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分， 故选：． 【变式3】 （24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ． 【答案】/31度 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，从而，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论． 本题考查了角平分线的性质和判定，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线， 在与中， ， ， ， 又， ， ， 为的平分线， 过点作于点， ∵， ． ∴， 为的平分线， ∵， ， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型6】尺规作图——利用角平分线的性质与判定求值 【例题 6】 （2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，已知在中． （1）分别作，的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）当时，的度数为______． （3）当时，用含的代数式表示的度数． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识． （1）根据作角平分线的方法按要求作出图形即可； （2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出，可得结论； （3）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出，可得结论． 解：（1）解：图形如图所示； （2） 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【变式1】 （24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握作角平分线的方法，以及全等三角形的判定和性质进行解题． 根据题意，先证明，则，，即可求出答案． 解：根据题意可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为：． 故答案为：． 【变式2】 （2025·吉林长春·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，，可得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项． 解：连接，， 由作图过程可得，， ∵， ∴， ∴根据可判定， 故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意； 由作图过程可知，射线为的平分线， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 由题意知，当时，取得最小值， ∵为的平分线，， ∴此时， 即的最小值是的长， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 三．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东茂名·期末）如图，射线平分，点在上，过点作于点，若，则点到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 解：， 平分， ． 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 解：作交于点，    由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，点C是延长线上一点，，并与交于点P，现欲添加一条件，使，下列条件不能满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可判断A；根据全等三角形的性质与判定条件可判断B、C，添加条件，无法得到，可判断D． 解：添加条件，结合条件，可以由角平分线的性质得到，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明得到，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明得到，故C不符合题意； 添加条件，无法得到，故D符合题意； 故选：D． 5．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点D，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图---角平分线，直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余得到，再根据角平分线以及三角形的外角性质得到，即可求解． 解：∵， ∴， 由作图可得平分， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，、为边上两点，连接、，于点F，若，，，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，直角三角形的两个锐角互余，邻补角的定义；根据已知得出是的角平分线，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余求得，最后根据邻补角的定义，即可求解． 解：∵，，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 【答案】32.5 【分析】本题主要考查了角平分线的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的判定，全等三角形的证明，灵活运用所学知识是关键．根据角平分线的性质即可判断①；根据角平分线的判定即可判断②；根据条件证明即可判断③；根据条件证明即可判断④． 解：∵， ∴是的平分线，故①正确； ∵， ∴是的平分线，故②正确； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是的平分线，故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是的平分线，故④正确； 故答案为：①②③④． 9．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，点在内，于点，于点，且，，则 ． 【答案】/55度 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得平分，再根据三角形内角和定理求解． 解：∵，，且， ∴ ∴． 故答案为：． 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点D作于H，由作图方法可得平分，则由角平分线的性质得到，再由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 解：如图所示，过点D作于H， 由作图方法可得平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点D到的距离是， 故答案为：3． 11．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）一天数学课堂上，小明忘记了带圆规，于是他尝试用直角三角板来画角平分线．如图，在的两边上，分别取，将两个直角三角板的直角顶点放在点，处作，的垂线，交点为，一个三角板的斜边与另一个三角板直角边交于点，画射线 就得到的平分线． 【答案】 【分析】本题考查作图之应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，证明，推出，即可求得． 解：如图，作射线， 在和中， ， ， ， 射线平分． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形高的计算，根据角平分线的性质得到，根据面积的计算得到，由此即可求解． 解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的高线，， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，，平分交于点，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若的周长为20，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）20 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先证明，根据全等三角形的性质即可得到； 根据角平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得的周长等于，即可求出的长． 解：（1）证明：，， ∴， 平分， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：平分交于点，，， ∴， ∴， ，， ∴， 的周长为， 的周长为， ． 14．（24-25八年级下·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质． （1）证明，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，求出，即可求出结论． 解：（1）证明：于，于， ， 即和均为直角三角形， ，， ， ， 又，， 平分； （2）解：，， 且，， ， ， 又，， ， 15．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． （1）求证：． （2）若．求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． （1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可得． 解：（1）证明：平分，，， ． 在和中， ∵ ． （2）解：由（1），得， ． ，， ． 在和中， ∵ ， ， ， ． 16．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． （1）如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．            B．         C．            D． （2）如图2，在射线上任取一点C，作，在射线上截取一点M，使，作射线．根据以上步骤，请说明是的平分线； 【答案】（1）B；（2）见分析 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据，可由证明两个三角形全等； （2）根据作图可得：，，根据等腰三角形的性质和外角的性质可得，从而得证． 解：（1）解：根据作图可得：， ， ， ， 射线就是的平分线， 用到的三角形全等的判定方法是， 故选：． （2）解：根据作图可得：， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 射线就是的平分线． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西来宾·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，若，，则的面积是（   ） A．30 B．24 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟知角平分线的性质是解题的关键． 过点D作交于点E，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积计算公式进行求解即可 ． 解：过点D作交于点E， ∵平分，， ∴， ∵ ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接，于点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 利用三角形的内角关系求出的度数，再利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，能正确掌握与角平分线有关的三角形内角和问题是解题的关键． 求出O为的三条角平分线的交点，求出，根据三角形内角和定理求出，求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可； 解：∵ 在中，点O是内的一点，且点O到三边距离相等， ∴ O为的三条角平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 5．（24-25八年级下·江西九江·期末）如图，已知，，，用尺规作的平分线，下列四种作法中，正确的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质．根据等腰直角三角形的特殊性可知斜边中垂线，斜边上的高，做一个的角都是角的平分线，即可解题； 解：①根据图像可知是的平分线，正确； ②根据图像可知是 的垂直平分线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴是的平分线，正确； ③根据图像可知是的高， ∵是等腰直角三角形 ∴是的平分线，正确； ④根据图像可知是做一个 等于另一个角， ∵， ∴ ∴是的平分线，正确； 故选：D. 6．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，作于E，，根据角平分线的点到角的两边的距离相等，可得，进而证明，推出，，，再逐项判断即可． 解：如图，作于E，于F． 则， 又点P为定角的平分线上的一个定点， ， 与互补， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，故（1）正确； ，， ， 的值不变；故（2）正确； ， 四边形的面积四边形的面积，故（3）正确； 点M，N的位置是变化的， 的长改变，故（4）错误； 综上可知，正确的个数是3个， 故选B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质． 解：延长，过点作于点，作于点，作于点， 的外角的平分线与内角平分线交于点， ，， ， 是的平分线， ∵， ∴， ∴， 平分，平分， ，， ，， ， ； 故答案为：． 8．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是6，的面积是9，则的长是 ．      【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积公式． 过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质及三角形的面积得出，再根据，代入数据进行计算即可得到答案． 解：如图，过点作于，于，于，连接，    平分，，， ， 同理可得， ， ，的面积是6， ， ， ， 的面积是9， ， ，即， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 （用含α、β的关系式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于点，过点作于点，过点作于点，判定为的平分线，为的平分线，即可得出的度数． 解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又是的平分线， ， 又，， ， 为的平分线， ， ． 为的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．过点分别作、的垂线交、于点、点，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 解：如图，过点分别作、的垂线交、于点、点，连接， ，分别平分和，，，，， ， ， 的周长， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，由作图可知，平分，根据三角形的内角和定理，高线的定义，求出，的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系求出的度数即可． 解：∵， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    【答案】 【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解． 解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∴，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等，几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 三、解答题 13．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． 解：（1）证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． （1）求证：是的平分线： （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． 解：（1）过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． （2）， 在和中 ， 同理可得， ． 15．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，点在的边上，且． （1）若，则____________（用含的式子表示）； （2）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）作图见分析；（3），证明见分析 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、平行线的判定等知识点；熟练掌握上述基础知识是解题的关键． （1）利用三角形的外角的性质求解即可； （2）根据角平分线的作图步骤作图即可； （3）根据三角形的外角定理可得；由（1）可知，从而得出，即可证明. 解：（1）解：∵，， ∴； （2）解：作图如下： （3）解：；理由如下： 在中，， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 16．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知中，平分，且，点是延长线上一点，且，过点作于点． （1）求证：； （2）判断的形状并说明理由． （3）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）是等腰三角形；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据角平分线的定义可得，，进而结合已知条件根据证明即可； （2）过作，与的延长线交于点，证明，便可得出结论； （3）设，证明，用表示，进而表示，再由线段和差求得结果． 解：（1）证明：平分， ， 在和中， ， ， （2）是等腰三角形． 证明：过作，与的延长线交于点，如图， ，，， ， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （3）设， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 二、填空题 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 5．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 三、解答题 6．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见分析 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$