专题 14.2 三角形全等的判定（ 知识梳理 +题型精析 + 同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024）

专题 14.2 三角形全等的判定 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】三角形全等的判定方法——边边边（SSS） 1 【知识点2】三角形全等的判定方法——边角边（SAS） 2 【知识点3】三角形全等的判定方法——角边角（ASA） 2 【知识点4】三角形全等的判定方法——角角边（AAS） 3 【知识点5】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL） 3 【知识点6】三角形全等的判定方法的选择 4 【知识点7】找等角和等边常用途径 4 二．题型分类精析 4 【题型1】用SSS证明三角形全等 4 【题型2】全等性质与SSS综合 6 【题型3】用SAS证明三角形全等 8 【题型4】全等性质与SAS综合 10 【题型5】用ASA或AAS证明三角形全等 13 【题型6】全等性质与ASA或AAS综合 15 【题型7】用HL证明三角形全等 18 【题型8】全等性质与HL综合 21 【题型9】添加条件证明三角形全等 23 【题型10】尺规作图与三角形综合 26 【题型11】全等三角形综合问题 28 三．同步练习​ 34 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 34 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 49 【中考真题】（5题） 71 一.知识梳理 【知识点1】三角形全等的判定方法——边边边（SSS） （1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， （3）书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来 【知识点2】三角形全等的判定方法——边角边（SAS） （1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， （3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【知识点3】三角形全等的判定方法——角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 【知识点4】三角形全等的判定方法——角角边（AAS） （1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）重点强调：三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【知识点5】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL） （1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. （2）书写格式：如图，在Rt△ABC和△Rt中， 【知识点6】三角形全等的判定方法的选择 （1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS HL （2）如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【知识点7】找等角和等边常用途径 （1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤平行线的性质得到相相等等. （2）找等角的常用途径：①公共边相等；②对顶角相等；③等边加（减）等边，其和（差）相等；④由中线得到的线段相等等等. 二．题型分类精析 【题型1】用SSS证明三角形全等 【例题 1】 （24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 解：证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 【变式1】 （24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．作图过程可得，，利用判定，可得． 解：由作图得，， 在和中， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】 （24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在中，为边上一点，连接、，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考全等三角形的判定与性质，先利用证明，推出，再根据，求出即可解答． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型2】全等性质与SSS综合 【例题 2】 （23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    【答案】见分析 【分析】由可得，然后利用证明即可证明结论． 解：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式1】 （24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在和中，，与相交于点P，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由条件可证，可求得，再利用三角形内角和求得，即可求解， 解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】 如图，在中，已知， ，．若，则的度数为 ． 【答案】70° 【分析】（1）证△BED≌△CDF； （2）利用AB=AC得到∠B与∠C （3）利用整体法求得∠EDF 解：∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵BD=CF，BE=CD ∴△BED≌△CDE，∴∠EDC=∠BED ∵∠A=40° ∴∠B=∠C=70° ∴在△BED中，∠BED+∠BDE=110° ∴∠EDB+∠FDC=110° ∴∠EDF=70° 【点拨】求角度，常见的方法有： （1）方程思想； （2）整体思想； （3）转化思想 本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度 【题型3】用SAS证明三角形全等 【例题 3】 （24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 解：（1）证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴． 【变式1】 （22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 解：证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 【变式2】 （24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，根据题意得出，进而证明得出，即可求解． 解：如图 ∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【题型4】全等性质与SAS综合 【例题 4】 已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后证明出，即可得到； （2）首先由全等三角形的性质得到，，然后求解即可． 解：（1）∵ ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）∵ ∴， ∴． 【变式1】 （24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． 由题意易得三角形全等，然后根据全等三角形的性质可进行求解． 解：如图所示， 和为直角三角形，且， ∴， ， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】 （22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． （1）与相等吗？请说明理由； （2）求证：． 【答案】（1）与相等，理由见分析；（2）证明见分析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得，，则，结合（1）得，即可证明，有． 解：（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型5】用ASA或AAS证明三角形全等 【例题 5】 （2025·江西·模拟预测）如图，已知，，求证：． 【答案】详见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 首先利用以及对顶角相等，利用三角形内角和得出．然后通过，在等式两边同时加上，从而得出，最后利用判定． 解：证明：∵，， ∴． 又∵， ∴， 即． 在与中， ， ∴． 【变式1】 （24-25八年级上·重庆万州·期中）如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知得到，，再根据选项进行判断即可． 解：∵， ∴，， 选项中只有当时，，添加其它选项都不能证明． 故选：D． 【变式2】 （22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，分别是边上的点，过点作平行于的直线交的延长线于点．若，，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】证明，得出，即可得出答案． 解：， ， 在和中， ， ， ， ， 的长为3， 故答案为：3． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【题型6】全等性质与ASA或AAS综合 【例题 6】 （24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意得先证明，进而可得，，，根据即可求解． 解：∵是的中点， ∴， ∵． ∴． 又∵． ∴． ∴，，， 又∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】 （24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先求出，根据 “”可证得，推出，然后结合已知条件求出的值，进而可得答案． 解：∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】 （24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． （1）求证：； （2）、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 解：（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 【题型7】用HL证明三角形全等 【例题 7】 （24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，与中，，． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据证明全等的方法，在直角三角形里，先考虑用即可解决问题； （2）先根据直角三角形中两个锐角互余可得，再由（1）的全等可得到，即可求出答案． 解：（1）证明：在和中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴ 【点拨】本题主要考查了三角形的全等的判定和性质，角度的计算，直角三角形中两个锐角互余等知识点，解决此题的关键是熟练掌握证明全等的方法． 【变式1】 （24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键． 根据题意，可证，得到，则有，再证，得到，由，即可求解． 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【变式2】 （24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）“文字表达全等形，对应元素未可知”．如图，有一个直角三角形，，，．一条线段．P、Q两点分别在线段和过点A且垂直于的射线上运动，在线段运动过程中，当 ，能使和以P、Q、A为顶点的三角形全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，由于，所以当或时，，从而可得的长． 解：∵，， ∴ 当时， 在和中， ∴； 当时， 在和中， ∴； 故答案为：或． 【题型8】全等性质与HL综合 【例题 8】 （24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，于，于，若，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 解：（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 【变式1】 （24-25八年级上·河北沧州·期中）在和中，，，，已知，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质；过A作于点G，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 解：过A作于点G，过作于点， ∵， ∴， 当在点G的两侧，在点的两侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当在点G的两侧，在点的同侧时，如图， 同理， ∴， ∴， 综上，的值为或． 故选：D． 【变式2】 （24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，交于点．若，，，则： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，于是得到，则，再证明，然后根据全等三角形的性质即可得解． 解：∵，， ， ∵，， ， ， ∴， 同理可证明：， ∴， 故答案为：，． 【题型9】添加条件证明三角形全等 【例题 9】 （24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 【答案】不能；选择条件①（还可选择条件②，但不能选择条件③），理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定． 选择①，证明得到，即可推出； 选择②，证明得到，即可推出． 解：不能． 选择①， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 选择②， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 【变式1】 （24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 【变式2】 （24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，，相交于点O，，试添加一个条件使得，你添加的条件是 （只需写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．添加的条件是，理由：先求出，再根据对顶角相等可得，然后根据定理即可得． 解：添加的条件是，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型10】尺规作图与三角形综合 【例题 10】 （2025·河南驻马店·三模）如图，在中，平分，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点,点即为所求； （2）证明可得结论． 解：（1）解：如图所示． （2）解：由（1）知，，， ，． ， ． 平分， ． 又， ， ，， ． 【变式1】 （24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如下图．这一作法中，“”的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，结合全等三角形的判定可得答案． 解：由作图可知，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等） 故选：B． 【变式2】 （24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 解：由作图方法可得， ∴， 故答案为：． 【题型11】全等三角形综合问题 【例题 11】 （24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在中，，点在的延长线上． （1）如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由； （2）如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）全等，理由见详解；（2），理由见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形． （1）根据为的中线，得出，根据，得出，根据即可证明． （2）在 上截取 ，连接，如图，证明，得出，再证明，得出，结合，即可得． 解：（1）解：全等， 理由如下： ∵为的中线， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：． 理由：在 上截取 ，连接，如图， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， ∴． 【变式1】 （24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【分析】A、根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；B、用反证法即可判断；C、延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；D、作的平分线交于点G，证明，可得，进而可以判断 解：A、在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， 故正确，不符合题意； B、若， ∴， ∴， ∴， 而由已知条件无法证明， 故错误，符合题意； C、如图，延长至G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故正确，不符合题意； D、如图，作的平分线交于点G， 由选项A得， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故正确，不符合题意； 故选B． 【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，三线合一，反证法，作辅助线构建三角形全等是解题的关键． 【变式2】 （24-25七年级下·福建福州·期末）如图分别平分，则下列说法中正确的是 ． ①若，则；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，由垂线的定义得到，由角平分线的定义得到，则可证明得到，据此可判断①；由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，则，据此可判断②；作的角平分线交于H，可证明，得到，，同理可证明，得到，，据此可判断③；过点H作于M，于N，可证明，得到，则，据此可判断④． ∴，故④正确； 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∴， 如图所示，作的角平分线交于H， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理可证明， ∴，， ∴，故③正确； 如图所示，过点H作于M，于N， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 三．同步练习​ 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键．利用“”判定方法判定，再利用全等性质即可求解． 解：在与中， ， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，中，，则由“”可以判定（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据“”证明，即可求解． 解：因为， 所以． 故选B． 3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，根据作图得到，同位角相等，两直线平行，得到，进而得到，进行判断即可． 解：由作图可知：， ∴， ∴， 条件不足，无法得到； 故选A． 4．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）如图，点在内部的一条射线上，，垂足为，且．已知点到射线的距离为4，且则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，根据题意，可证，得到，由直角三角形两锐角互余得到，由此即可求解． 解：如图所示，过点作于点， ∵．已知点到射线的距离为4， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（    ） A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 解：根据“”可证第②个三角形和全等， 根据“”可证第③个三角形和全等， 故选：B． 6．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，为的外角，为内部一点，连接为上一点，连接，，于点，过点作于点，．若，则线段的长为（    ） A．6 B．8 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意可证，得再证，得，根据即可求解． 解：如图所示，设交于点， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 二、填空题 7．（21-22八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为 【答案】41° 【分析】根据题意，用SSS证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理，即可求解． 解：∵AB = CD， ∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD， 在△ACE和△DBF中， ， ∴在△ACE≌△DBF（SSS）， ∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°， ∴∠DBF=180°-55°-84°=41°， 故答案为：41°． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 8．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】根据，，，得到即可得到，结合三角形内角和定理即可得到答案． 本题考查三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系及三角形内角和定理，解题的关键是根据内外角关系得到全等的条件． 解：∵， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差． 解：作于F，于G， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴米， 则（米）． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，点D为的中点，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至点E，使，连接，证明，可得，然后在中，利用三角形的三边关系解答，即可求解． 解：如图，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 11．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，和分别平分和，和相交于P． （1）的度数为 ； （2）若，则线段的长为 ． 【答案】 /度 8 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．在上截取，得出是解题的关键． （1）利用，角平分线的定义即可解答； （2）先利用“边角边”证明，进而得出，再通过角之间的等量变换，利用“角边角”证明，进而得出线段之间的关系即可解答． 解：（1）， ， 和分别平分和， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：8． 12．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 利用全等三角形的判定方法证得、即可逐项分析判断． 解：①为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ②由①得：，且， ， ，故②正确； ③由②得：， 由①得：， ， ， 由①得：，且， ， 在和中， ， ， ，故③正确； ④由③得：， ， ， ， 若，则， ， 现有条件无法得出，故④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题 13．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，，． （1）求证：； （2）若与的交点为M，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）由得，即，再由证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）由得，再由三角形内角和定理可推出，即可解题． 解：（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，和交于点， ， ， ，， ， ． 14．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，于点D，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，试求△的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法， （1）利用即可证明； （2）根据，可得，进而求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 解：（1）证明： 在和中 （2）解：∵ ∴， ∵，，， ∴，， ∴． 15．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，点是上一点，满足，点是上一点，满足，点是延长线上一点，连接． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，点为上一点，连接并延长至点，使，连接，若，且，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角度的和差，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用，得出，再判定，即可求解； （2）利用，得出，再由，得出，证明，得出，，则可得，，证明，即可证明． 解：（1）解：∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，在用尺规作图得到时，先作，再作，，然后连接EF． （1）其中判定三角形全等的方法是__________； （2）延长交于点，若，． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）根据已知直接证明（），即可求解； （2）①根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的性质，得出，进而根据邻补角的定义，即可求解； ②根据全等三角形的性质可得，进而根据即可求解． 解：（1）解：∵，，， ∴（）， 故答案为：． （2）解：①∵，． ∴， ∵， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴． 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等． 证，得出，根据三角形内角和定理求出即可． 解：∵在和中 ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，分别是边上的点，相交于点，若，，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 利用线段的和差可判断A，证明，可判断B，证明，可判断D，选项C无法判断． 解：A、由，得，即，故本选项不符合题意； B、由，得，可得，故本选项不符合题意； C、根据题中条件，无法推出，故本选项符合题意； D、由可得，又， 可得，所以，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，由点是边的中点，得到，由平行线的性质得到，再证明，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，点F在边上，于点D，于点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【分析】A、根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；B、用反证法即可判断；C、延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；D、作的平分线交于点G，证明，可得，进而可以判断 解：A、在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， 故正确，不符合题意； B、若， ∴， ∴， ∴， 而由已知条件无法证明， 故错误，符合题意； C、如图，延长至G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故正确，不符合题意； D、如图，作的平分线交于点G， 由选项A得， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故正确，不符合题意； 故选B． 【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，三线合一，反证法，作辅助线构建三角形全等是解题的关键． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，锐角中，D、E分别是、边上的点，，，且，、交于点F．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由全等三角形的性质可得，，，，由三角形外角的定义及性质结合平行线的性质可得，，求出，再利用三角形内角和定理计算即可得解． 解：设，， ∵，， ∴，，，， ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了全等三角形内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 7．（22-23八年级上·四川绵阳·周测）如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为6，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长． 解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选B． 8．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为（  ） A． 10   B．12.5 C．17.5 D．25 【答案】B 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值． 解：如图：延长，交点于， 平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ，即； ∵， ， 当时，取最大值，即取最大值． ． 故答案为：B． 【点拨】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到 二、填空题 9．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在的正方形网格中，等于 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．如图（见分析），先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 解：如图 由题意得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，正确找出两个全等三角形是解题关键．先利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得． 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 11．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的高，余角性质，全等三角形的判定和性质，由三角形的高和余角性质可得，进而可证，得到，进而可得，则，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：∵是的高， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 12．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，在和中，，垂足为，，且，．若，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是证明三角形全等． 证明，得出，再结合，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四边形中，，，，于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 如图，作的延长线于，连接，证明，则，，证明，则，设，则，由，可得，计算求解即可． 解：如图，作的延长线于，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 14．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，已知是上的两点，且．若，则的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据得到，，再证明，得到,再运用三角形内角和定理即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴ 故答案为： ． 15．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，平分交的延长线于点E．若，则 ． 【答案】20 【分析】延长，交于点，证，，得出，，及，则． 解：延长，交于点，      ∵， ，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， 故答案为． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键． 16．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知D点为中点，，过点C作，垂足为点F，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长到点，使，连接，证明△≌△，进而可得，证明△≌△，可得，即，即可解答． 解：延长到点，使，连接， 点为中点， ， ， △≌△， ∴， ， ， ， ， ∵ △≌△， ， ， ， ， ， 故答案为：1． 三、解答题 17．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【答案】；；；；；；；；； 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再证即可． 解：证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以． 故答案为：；；；；；；；；；． 18．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，线段与相交于点，点分别在上，线段过点，猜想线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】，见分析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 证明，即可解答． 解：． ， ， ， 在与中，， ， ． 19．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． （1）试说明：； （2）试求的度数； （3）若点是的中点，则，试求的值． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据即可证明； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，可知是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数； （2）过点作于点，证明，则，求出即可． 解：（1）证明：∵，分别是边，边上的高， ∴； 又∵， ∴，． ∴； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 在和中， ∴（） ∴，． ． 是等腰直角三角形． ． ； （3）解：如图，过点作于点， 点是的中点 在和中， ， （）． ． ． 由（2）得，． 又， ． ． ． ． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 【答案】模型认知：；模型运用：16； 拓展提升∶ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三直角模型是解答本题的关键． 模型认知：根据证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F，由，且点E为中点得，，证明得，然后根据三角形面积公式求解即可； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，同模型认知证明：，得出，，可求出，证明得，求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 解：模型认知：进而得到结论：． 故答案为：； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F， ∵， ∵于点E， 且点E为中点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，如图所示： 同模型认知证明：， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【中考真题】（5题） 一、单选题 1．（2021·重庆·中考真题）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（    ） A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 解：BF=EC， A. 添加一个条件AB=DE， 又 故A不符合题意； B. 添加一个条件∠A=∠D 又 故B不符合题意； C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意； D. 添加一个条件AC∥FD 又 故D不符合题意， 故选：C． 【点拨】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 2．（2021·山东德州·中考真题）如图，点在上，．请添加一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据已知条件中的一边一角，再添加一组对角相等即可． 解：∵， 再添加， 根据“角角边”就能证明． 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 3．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 解：证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论． 解：证明：∵点E为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．（2022·四川广安·中考真题）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、 AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC=AD；②∠ABC=∠BAD；③AC= BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明． 已知： ， 求证：    【答案】BC=AD，∠ABC=∠BAD；AC=BD；证明见详解 【分析】构造SAS，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 解：已知：BC=AD，∠ABC=∠BAD， 求证：AC=BD． 证明：在△ABC和△BAD中， ∵， ∴， ∴， 即命题得证． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 14.2 三角形全等的判定 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】三角形全等的判定方法——边边边（SSS） 1 【知识点2】三角形全等的判定方法——边角边（SAS） 2 【知识点3】三角形全等的判定方法——角边角（ASA） 2 【知识点4】三角形全等的判定方法——角角边（AAS） 3 【知识点5】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL） 3 【知识点6】三角形全等的判定方法的选择 4 【知识点7】找等角和等边常用途径 4 二．题型分类精析 4 【题型1】用SSS证明三角形全等 4 【题型2】全等性质与SSS综合 5 【题型3】用SAS证明三角形全等 5 【题型4】全等性质与SAS综合 6 【题型5】用ASA或AAS证明三角形全等 7 【题型6】全等性质与ASA或AAS综合 8 【题型7】用HL证明三角形全等 9 【题型8】全等性质与HL综合 10 【题型9】添加条件证明三角形全等 10 【题型10】尺规作图与三角形综合 11 【题型11】全等三角形综合问题 12 三．同步练习 13 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 13 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 17 【中考真题】（5题） 23 一.知识梳理 【知识点1】三角形全等的判定方法——边边边（SSS） （1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， （3）书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来 【知识点2】三角形全等的判定方法——边角边（SAS） （1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， （3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【知识点3】三角形全等的判定方法——角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 【知识点4】三角形全等的判定方法——角角边（AAS） （1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）重点强调：三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【知识点5】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL） （1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. （2）书写格式：如图，在Rt△ABC和△Rt中， 【知识点6】三角形全等的判定方法的选择 （1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS HL （2）如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【知识点7】找等角和等边常用途径 （1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤平行线的性质得到相相等等. （2）找等角的常用途径：①公共边相等；②对顶角相等；③等边加（减）等边，其和（差）相等；④由中线得到的线段相等等等. 二．题型分类精析 【题型1】用SSS证明三角形全等 【例题 1】 （24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【变式1】 （24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在中，为边上一点，连接、，，，则的度数为 ． 【题型2】全等性质与SSS综合 【例题 2】 （23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    【变式1】 （24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在和中，，与相交于点P，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】 如图，在中，已知， ，．若，则的度数为 ． 【题型3】用SAS证明三角形全等 【例题 3】 （24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】 （22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么 ． 【题型4】全等性质与SAS综合 【例题 4】 已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式1】 （24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】 （22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． （1）与相等吗？请说明理由； （2）求证：． 【题型5】用ASA或AAS证明三角形全等 【例题 5】 （2025·江西·模拟预测）如图，已知，，求证：． 【变式1】 （24-25八年级上·重庆万州·期中）如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，分别是边上的点，过点作平行于的直线交的延长线于点．若，，，则的长是 ． 【题型6】全等性质与ASA或AAS综合 【例题 6】 （24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 【变式1】 （24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】 （24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． （1）求证：； （2）、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【题型7】用HL证明三角形全等 【例题 7】 （24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，与中，，． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【变式1】 （24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】 （24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）“文字表达全等形，对应元素未可知”．如图，有一个直角三角形，，，．一条线段．P、Q两点分别在线段和过点A且垂直于的射线上运动，在线段运动过程中，当 ，能使和以P、Q、A为顶点的三角形全等． 【题型8】全等性质与HL综合 【例题 8】 （24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，于，于，若，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【变式1】 （24-25八年级上·河北沧州·期中）在和中，，，，已知，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】 （24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，交于点．若，，，则： （1） ； （2） ． 【题型9】添加条件证明三角形全等 【例题 9】 （24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 【变式1】 （24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，，相交于点O，，试添加一个条件使得，你添加的条件是 （只需写一个）． 【题型10】尺规作图与三角形综合 【例题 10】 （2025·河南驻马店·三模）如图，在中，平分，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【变式1】 （24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如下图．这一作法中，“”的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【变式2】 （24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【题型11】全等三角形综合问题 【例题 11】 （24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在中，，点在的延长线上． （1）如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由； （2）如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由． 【变式1】 （24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 【变式2】 （24-25七年级下·福建福州·期末）如图分别平分，则下列说法中正确的是 ． ①若，则；②；③；④． 三．同步练习​ 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，中，，则由“”可以判定（   ） A． B． C． D．以上都不对 3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）如图，点在内部的一条射线上，，垂足为，且．已知点到射线的距离为4，且则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（    ） A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②． 6．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，为的外角，为内部一点，连接为上一点，连接，，于点，过点作于点，．若，则线段的长为（    ） A．6 B．8 C．4 D．5 二、填空题 7．（21-22八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为 8．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为 ． 9．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，点D为的中点，则的取值范围 ． 11．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，和分别平分和，和相交于P． （1）的度数为 ； （2）若，则线段的长为 ． 12．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 三、解答题 13．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，，． （1）求证：； （2）若与的交点为M，，求的度数． 14．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，于点D，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，试求△的面积． 15．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，点是上一点，满足，点是上一点，满足，点是延长线上一点，连接． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，点为上一点，连接并延长至点，使，连接，若，且，求证：． 16．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，在用尺规作图得到时，先作，再作，，然后连接EF． （1）其中判定三角形全等的方法是__________； （2）延长交于点，若，． ①求的度数； ②若，，求的长． 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，分别是边上的点，相交于点，若，，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，点F在边上，于点D，于点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，锐角中，D、E分别是、边上的点，，，且，、交于点F．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·四川绵阳·周测）如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为6，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 8．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为（  ） A． 10   B．12.5 C．17.5 D．25 二、填空题 9．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在的正方形网格中，等于 ． 10．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 11．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，在和中，，垂足为，，且，．若，则的度数为 ． 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四边形中，，，，于点，，，则的长为 ． 14．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，已知是上的两点，且．若，则的度数是 ． 15．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，平分交的延长线于点E．若，则 ． 16．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知D点为中点，，过点C作，垂足为点F，若，则 ． 三、解答题 17．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 18．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，线段与相交于点，点分别在上，线段过点，猜想线段与的大小关系，并说明理由． 19．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． （1）试说明：； （2）试求的度数； （3）若点是的中点，则，试求的值． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 【中考真题】（5题） 一、单选题 1．（2021·重庆·中考真题）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（    ） A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD 二、填空题 2．（2021·山东德州·中考真题）如图，点在上，．请添加一个条件 ，使． 三、解答题 3．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 4．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 5．（2022·四川广安·中考真题）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、 AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC=AD；②∠ABC=∠BAD；③AC= BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明． 已知： ， 求证：    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$