精品解析： 浙江省杭州市临平区、余杭区2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（4月份）

2024-2025学年浙江省杭州市临平区、余杭区七年级（下） 月考数学试卷（4月份） 一．选择题（共8小题） 1. 若a与﹣6互为相反数，则的值为（ ） A. ﹣6 B. ﹣5 C. 5 D. 6 2. 下列说法正确的是（　　） A. “万”科学记数为 B. 的绝对值为 C. 的倒数是 D. 的相反数是 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A 3，4，8 B. 5，5，11 C. 8，7，15 D. 13，12，20 4. 给出下列数学式：①；②；③；④；⑤．其中不等式个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 5. 如图，在中，对角线，交于点O，若，且的周长比的周长多2，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 6. 一束光照射到平面镜上的点处后反射到平面镜上的点处，已知入射光线、反射光线与的夹角相等，照射点处的法线（法线与反射面垂直，即），若，则两平面镜的夹角的度数为（ ） A B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=120°．按以下步骤作图：①以B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB、BC于E、F两点；②分别以E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点O，交AD边于点P；则CO的长度为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题） 9. 因式分解： ________． 10. 与最接近的整数是______． 11. 下列事件中是确定事件的是________（填序号）：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数；②车辆随机经过一个路口，遇到红灯；③对于实数、，有；④有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形；⑤人中至少有2人在同一个月过生日． 12. 已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为，则该扇形的面积是______． 13. 已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系________． 14. 已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是______． 15. 如图，是一圆锥的主视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数为______． 16. 如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点R处．_____；若四边形是平行四边形，则的值为_______． 三．解答题（共11小题） 17. 解二元一次方程组： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，是对角线，点E、F在上，，求证：． 20. 在某班级开展的读书活动中，同学们设计了一个抽奖活动．规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《我的阿勒泰》《额尔古纳河右岸》《额尔古纳河右岸》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取相应的书籍． （1）在上述活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，求恰好抽到2张卡片都是《额尔古纳河右岸》的概率，用列表法或画树状图的方法． （2）再添加几张和原来一样的《我的阿勒泰》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《我的阿勒泰》卡片的概率为，那么应该添加《我的阿勒泰》卡片的数量是______． 21. 近期，成都两名学生成功入选某职业队青训营，这一荣誉极大激发了学生的足球热情．某校组织五、六年级各300名学生举行足球知识竞赛，现在分别从两个年级参赛学生中随机抽取6名学生，将他们的竞赛成绩整理如下： 五年级 77 89 73 91 80 70 六年级 80 76 74 85 73 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）依据抽样数据完成下列表格； 平均数 中位数 五年级 78.5 六年级 （2）若90分及其以上算优秀，请你估计五年级竞赛成绩达到优秀的学生人数共有多少人？ （3）若派遣一支队伍参加足球知识竞赛，则应选派五、六年级中的哪个年级更合适？并说明理由． 22. 某市正在修建地铁线路，该项工程使用我国自主研发的“春城一号”盾构机进行挖掘．在挖掘某段长240米的特殊路段时，盾构机的工作效率仅能达到挖掘正常路段的，打通这段路比打通相同长度的正常路段多用了5天．若挖掘正常路段，盾构机每天能掘进多少米？ 23. 在中，，以为直径的交边于点（点不与点重合），交边于点E，点F在边上，且． （1）在图1中，请用无刻度的直尺和圆规作出点F（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （2）借助图2解决问题：若，求⊙O的半径． 24. 某数学小组测量古塔的高度，如图，在A处用测角仪测得古塔顶端D的仰角为，沿方向前进到达B处，又测得古塔顶端D的仰角为．已知测角仪的高度为，测量点A，B与古塔的底部C在同一水平线上，求古塔的高度（结果精确到．参考数据：，，）． 25. 如图，为的直径，为延长线上一点，为上一点，连结，作于点，交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 26. 如图1，抛物线经过点，点． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点作y轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，当点P运动时，的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值； （3）如图3，长度为的线段（点C在点D的左边）在射线上移动（点C在线段上），连接，过点C作CEOD交抛物线于点E，线段在移动的过程中，直线经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值． 27. 如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连接．过点C作，交边于点D，交线段于点F． （1）求的长； （2）当时，求长； （3）连接，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省杭州市临平区、余杭区七年级（下） 月考数学试卷（4月份） 一．选择题（共8小题） 1. 若a与﹣6互为相反数，则的值为（ ） A. ﹣6 B. ﹣5 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义求出a值即可求解． 【详解】解：因为a与﹣6互为相反数， 所以， 所以， 故选：B． 【点睛】本题考查相反数的定义、有理数的减法，正确求得a值是解答的关键． 2. 下列说法正确的是（　　） A. “万”科学记数为 B. 的绝对值为 C. 的倒数是 D. 的相反数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法、绝对值、倒数和相反数定义与求法，熟记科学记数法、绝对值、倒数和相反数定义与求法是解决问题的关键．结合科学记数法、绝对值、倒数和相反数定义与求法逐一分析各选项是否符合数学定义即可得到答案． 【详解】解：A、万，科学记数法应，而选项中写为错误，不符合题意； B、的绝对值为，而选项写为错误，不符合题意； C、的倒数为，而选项写为错误，不符合题意； D、的相反数是，正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，5，11 C. 8，7，15 D. 13，12，20 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断三条线段能否构成三角形，只需要确定较短的两线段之和是否大于最长的线段即可，大于则能，小于则不能，根据原理逐一分析即可得到答案． 【详解】解： 所以为边不能组成三角形，故A不符合题意； 所以为边不能组成三角形，故B不符合题意； 所以为边不能组成三角形，故C不符合题意； 所以为边能组成三角形，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形”是解本题的关键. 4. 给出下列数学式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】运用不等式的定义进行判断． 【详解】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式． 不等式有①②⑤，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 5. 如图，在中，对角线，交于点O，若，且的周长比的周长多2，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，熟练掌握平行四边形性质是解答的关键．先根据平行四边形性质得到，再根据已知得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵的周长比的周长多2， ∴，即， ∴， 故选：B． 6. 一束光照射到平面镜上的点处后反射到平面镜上的点处，已知入射光线、反射光线与的夹角相等，照射点处的法线（法线与反射面垂直，即），若，则两平面镜的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的性质，利用题意求得，再根据平行的性质可得，即可解答，熟练运用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象上分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 点在第四象限，， 点，在第二象限，且， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=120°．按以下步骤作图：①以B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB、BC于E、F两点；②分别以E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点O，交AD边于点P；则CO的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图知，BP平分∠ABC，根据角平分线的定义得到∠ABP=∠PBC=60°，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC=4，求得∠APB=∠PBC=60°，推出△ABP是等边三角形，得到AB=AP=BP=2，根据相似三角形的性质求得，过A作AG⊥BC交CB的延长线于G，根据勾股定理得到AC的长，于是得到结论． 【详解】解：由作图知，BP平分∠ABC， ∵∠ABC=120°， ∴∠ABP=∠PBC=60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=4， ∴∠APB=∠PBC=60°， ∴△ABP是等边三角形， ∴AB=AP=BP=2， ∵AD∥BC， ∴△AOP∽△COB， ∴， 过A作AG⊥BC交CB的延长线于G， ∴∠AGB=90°，∠ABG=60°， ∴BG=AB=1，AG=AB=， ∴AC=， ∴OC=AC=， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 9. 因式分解： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式；原式变形为两数的平方差的形式，再用平方差公式即可求解． 【详解】解：； 故答案为：． 10. 与最接近的整数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，正确理解无理数的估算方法是解题的关键．由，即可估算答案． 【详解】， ， 与最接近的整数是4． 故答案为:4． 11. 下列事件中是确定事件的是________（填序号）：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数；②车辆随机经过一个路口，遇到红灯；③对于实数、，有；④有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形；⑤人中至少有2人在同一个月过生日． 【答案】③⑤##⑤③ 【解析】 【分析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件； ②车辆随机经过一个路口，遇到红灯，随机事件； ③对于实数、，有，是不可能事件，是确定性事件； ④有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形，是随机事件； ⑤人中至少有2人在同一个月过生日，是确定性事件． 故答案为：③⑤． 12. 已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为，则该扇形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】该扇形的面积==12π． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 13. 已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的定义． 延长交延长线于M，延长交于E，根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，结合平角定义和角平分线的定义得到，根据三角形外交的性质求出，列等式计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于M，延长交于E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题．熟练掌握抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系，是解题的关键．抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系：抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴有没有交点． 根据抛物线与x轴有一个交点，根的判别式等于0的性质解答即可． 【详解】二次函数的图象的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，是一圆锥的主视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数为______． 【答案】180° 【解析】 【分析】根据圆锥的底面直径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角． 【详解】解：∵圆锥的底面直径为4， ∴圆锥的底面周长为4π， ∵圆锥的高是2 ， ∴圆锥的母线长为, 设扇形的圆心角为n°， 解得n=180． 即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为180°． 故答案为180°． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 16. 如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点R处．_____；若四边形是平行四边形，则的值为_______． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换的性质，根据折叠的性质证得，根据平行线的性质即可求；根据折叠的性质和平行四边形的性质即可求的值． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：30；． 三．解答题（共11小题） 17. 解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 由加减消元法即可求解． 【详解】解：， 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，分式的化简求值；特殊角的三角函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先利用分式的除法法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，是的对角线，点E、F在上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形及全等三角形，熟练利用平行四边形的性质来判定全等三角形是解题的关键．利用平行四边形的性质可以判定三角形和三角形全等，再利用全等三角形的性质得出． 【详解】证明：在平行四边形中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 在某班级开展的读书活动中，同学们设计了一个抽奖活动．规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《我的阿勒泰》《额尔古纳河右岸》《额尔古纳河右岸》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取相应的书籍． （1）在上述活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，求恰好抽到2张卡片都是《额尔古纳河右岸》的概率，用列表法或画树状图的方法． （2）再添加几张和原来一样的《我的阿勒泰》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《我的阿勒泰》卡片的概率为，那么应该添加《我的阿勒泰》卡片的数量是______． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法以及概率公式；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．概率所求情况数与总情况数之比． （1）画出树状图，由概率公式即可得出答案； （2）设应添加x张《我的阿勒泰》卡片，由概率公式得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：把《我的阿勒泰》《额尔古纳河右岸》《额尔古纳河右岸》分别记为A、B、C， 画树状图如图： 共有6个等可能的结果，恰好抽到2张卡片都是《额尔古纳河右岸》的结果有2个， ∴恰好抽到2张卡片都是《额尔古纳河右岸》的概率为； 【小问2详解】 解：设应添加x张《我的阿勒泰》卡片， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； 答：应添加4张《我的阿勒泰》卡片． 故答案为：4． 21. 近期，成都两名学生成功入选某职业队青训营，这一荣誉极大激发了学生的足球热情．某校组织五、六年级各300名学生举行足球知识竞赛，现在分别从两个年级参赛学生中随机抽取6名学生，将他们的竞赛成绩整理如下： 五年级 77 89 73 91 80 70 六年级 80 76 74 85 73 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）依据抽样数据完成下列表格； 平均数 中位数 五年级 78.5 六年级 （2）若90分及其以上算优秀，请你估计五年级竞赛成绩达到优秀的学生人数共有多少人？ （3）若派遣一支队伍参加足球知识竞赛，则应选派五、六年级中的哪个年级更合适？并说明理由． 【答案】（1）五年级的样本平均数为80分，六年级的样本平均数为80分，六年级的中位数为78分 （2）50人 （3）选派五年级参加足球知识竞赛更合适，见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，求众数、中位数，用样本估计总体的数量等知识，熟练掌握相关统计知识是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的定义解答即可； （2）用总人数乘样本中成绩达到优秀的学生人数所占比例解答即可； （3）根据平均数和中位数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：五年级的样本平均数为：（分）， 六年级的样本平均数为：（分）， 六年级的中位数为：（分）； 填表如下： 平均数 中位数 五年级 80 78.5 六年级 80 78 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计五年级竞赛成绩达到优秀的学生人数共有50人； 【小问3详解】 选派五年级参加足球知识竞赛更合适，理由如下： 虽然两个年级的平均数相同，但五年级的中位数比六年级的高，所以选派五年级参加足球知识竞赛更合适．（答案不唯一）． 22. 某市正在修建地铁线路，该项工程使用我国自主研发的“春城一号”盾构机进行挖掘．在挖掘某段长240米的特殊路段时，盾构机的工作效率仅能达到挖掘正常路段的，打通这段路比打通相同长度的正常路段多用了5天．若挖掘正常路段，盾构机每天能掘进多少米？ 【答案】12米 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据设挖掘正常路段，盾构机每天能掘进米，则挖掘特殊路段，盾构机每天能掘进米，结合“在挖掘某段长240米的特殊路段时，打通这段路比打通相同长度的正常路段多用了5天”，进行列分式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：设挖掘正常路段，盾构机每天能掘进米， 则挖掘特殊路段，盾构机每天能掘进米． 由题意得， 则， 得， 即． ∴． 经检验，是原分式方程的解，且符合题目要求． 答：挖掘正常路段，盾构机每天能掘进12米． 23. 在中，，以为直径的交边于点（点不与点重合），交边于点E，点F在边上，且． （1）在图1中，请用无刻度的直尺和圆规作出点F（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （2）借助图2解决问题：若，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析 （2）2.5 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线、圆周角定理和解直角三角形，正确作图是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”作图即可； （2）连接，由作图得，根据得，得，，求出，可得，从而得出⊙O的半径． 【小问1详解】 解：如图，以点为圆凡，任意长为半径画弧，交于点，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，过作直线交于点，则即为所作； 【小问2详解】 解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∵, ∴， ， ∴ ， ∴， ， ， ， ∴半径为2.5． 24. 某数学小组测量古塔的高度，如图，在A处用测角仪测得古塔顶端D的仰角为，沿方向前进到达B处，又测得古塔顶端D的仰角为．已知测角仪的高度为，测量点A，B与古塔的底部C在同一水平线上，求古塔的高度（结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】古塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点G，根据题意可得：，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点G， 由题意得：，，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴古塔的高度约为． 25. 如图，为的直径，为延长线上一点，为上一点，连结，作于点，交于点，若． （1）求证：是切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可证得，根据平行线的性质和判定，由等腰三角形的性质得到，即可得到，根据切线的判定即可证得结论； （2）根据垂径定理及三角形中位线定理得到，设，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； 【小问2详解】 ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 26. 如图1，抛物线经过点，点． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点作y轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，当点P运动时，的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值； （3）如图3，长度为的线段（点C在点D的左边）在射线上移动（点C在线段上），连接，过点C作CEOD交抛物线于点E，线段在移动的过程中，直线经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值． 【答案】（1） （2）不变，10 （3）F（－2，1），的最小值是 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）过P作PTy轴交x轴于点T，设P（t，）则T（t，0），AT=t+5，TP=，OT=-t，证△OTP∽△OQN，△AQM∽△ATP，得出，，所以QN=，QM=，即可求得4 QM+ QN的值； （3）过O作OFAB交CE于点F．用待定系数法求得直线AB的解析式为，再证四边形CDOF是平行四边形，从而得出F（－2，1）为直线CE经过的定点．过F作FG⊥x轴，交AB于点G，过E作EH⊥x轴，交AB于点H，则FG=，设E（t，）则H（t，），所以EH=() - ()==，再证△EHC∽△FGC，得，又FG= ，所以∴当EH取最大值时，的值最小，所以当n=-3时，EH最大值是2． 此时，即可得解． 【小问1详解】 解：∵经过 A（-5，0），B（-1，-2）， ∴ ， 解得： ， ∴ 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过P作PTy轴交x轴于点T， 设P（t，）则T（t，0），AT=t+5，TP=，OT=-t， ∵Q（-4，0）， ∴AQ=1，OQ=4 ， ∵NQy轴，PTy轴， ∴△OTP∽△OQN，△AQM∽△ATP， ∴，， ∴QN=， QM=， ∴4 QM+ QN=4×+=10； 【小问3详解】 解：定点F（－2，1）， 的最小值是． 如图，过O作OFAB交CE于点F． 设直线AB的解析式为， ∵直线AB经过A（-5，0）、B（-1，-2） ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为， ∵OFAB，且过O（0，0）， ∴直线OF的解析式为， ∴设F（n，）， ∵CEOD， ∴四边形CDOF平行四边形． ∴OF=CD=， ∴ ， ∴n=±2 ∵n<0 ∴n=－2 ∴F（－2，1）为直线CE经过的定点． 过F作FG⊥x轴，交AB于点G，过E作EH⊥x轴，交AB于点H． 则G的横坐标为-2， ∵G在直线AB上， ∴G（-2，）， ∴FG=1-（）=， 设E（t，）则H（t，）， ∴EH=() - ()==， ∵EH⊥x轴，FG⊥x轴， ∴△EHC∽△FGC， ∴， 又∵FG= ， ∴当EH取最大值时，的值最小， ∴当n=-3时，EH最大值是2． 此时， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线与直线的解析式，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质和最值，本题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 27. 如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连接．过点C作，交边于点D，交线段于点F． （1）求的长； （2）当时，求的长； （3）连接，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 【答案】（1）． （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）当时，可得，再证明，可得，，进一步可得答案； （3）当四边形为轴对称图形时，情况一：如答图1，以为对称轴时，则，情况二：如答图2，以为对称轴时，则，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ． 【小问2详解】 解：， 当时， ． ，， ，． ， ∴， ∴． ． 【小问3详解】 解：当四边形为轴对称图形时， 情况一：如答图1，以为对称轴时，则， ． 情况二：如答图2，以为对称轴时，则， ∴点D到、的距离相等． 设点D到、的距离为h，点C到的距离为m， ． ，，， ，即． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握轴对称图形的性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$