专题 1.5 作辅助线构造三角形全等常用方法（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 1.5 作辅助线构造三角形全等常用方法 目录 一．方法梳理与题型分类精析 1 知识点（一）辅助线的理解 1 知识点（二）全等三角形判定的辅助线常用方法与技巧 1 【题型1】连接两点 1 【题型2】延长相交 2 【题型3】作平行线 3 【题型4】作垂直 4 【题型5】倍长中线 5 【题型6】截长补短 6 二．同步练习 7 一．方法梳理与题型分类精析 知识点（一）辅助线的理解 辅助线：在解几何题中，依据题设条件与结论，通过添加的辅助性线段，搭起已知与未知的桥梁，清晰地理解图形结构，寻求解题思路的方法。 知识点（二）全等三角形判定的辅助线常用方法与技巧 方法1：连接两点：连接两个顶点，形成公共边或新三角形； 技巧：当条件分散在不同顶点时，连接两顶点形成公共边，快速构造 “已有两边相等 + 公共边” 的全等条件. 【题型1】连接两点 【例题1】 （24-25八年级上·广东云浮·期中）如图，已知、相交于点O，，．求证：． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，，，求证：． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为 ． 方法2：延长相交：构成新三角形全等； 技巧：当遇到角平分线时，延长相交构造三角形全等进行线段的转化. 【题型2】延长相交 【例题2】 （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，，，延长交于点E，则 度． 【变式1】（24-25八年级上·新疆伊犁·期末）如图，的面积为平分于，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，垂直的平分线于点、为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（    ）      A．1 B．2 C． D．3 方法3：作平行线：利用平行性质转化角或线 技巧：过中点或角平分线作平行线，利用 “同位角 / 内错角相等” 转化角，搭配已知边证 ASA/AAS 全等. 【题型3】作平行线 【例题3】 （21-22八年级上·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【变式1】（2025·天津河北·一模）如图，在中，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧分别交线段于E点，F点，连接，以点D为圆心，线段长为半径画弧交线段于G点，以点G为圆心线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心线段长为半径所画弧于H点，作射线交于点I，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； （2）猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 方法4：作垂线：构造直角三角形全等； 技巧：角平分线上的点向两边作垂线，利用 “角平分线性质 + 直角” 证 AAS 全等； 【题型4】作垂直 【例题4】 （2025八年级下·全国·专题练习）如图，把两块大小相同的含的三角板和三角板如图所示摆放，点D在边上，点E在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 方法5：倍长中线：构造三角形全等。 技巧：中线延长一倍后，连接对应顶点，形成 “对顶三角形”，利用 SAS 证全等. 【题型5】倍长中线 【例题5】 （24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ； ．         B．          C．          D． 【变式1】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（20-21八年级上·北京房山·期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 方法6：截长补短法：截长法或补短法证明三角形全等； 技巧：截长：在长线段上截出短线段，证剩余部分相等；补短：延长短线段至长线段长度，证延长部分相等。 【题型6】截长补短 【例题6】 现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，与交于点O．请判断之间的数量关系： ． 【变式2】（21-22八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 二．同步练习​ 一、单选题 1．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在的内部有一点，过点作与角的两边，分别交于点，，下列四种作法中，面积最小的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 5．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点E，且点E恰好在边上．若四边形的面积为40，，则的长为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．20 6．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，平分，，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 7．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，，是的平分线，且．若，四边形的面积为，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（20-21八年级上·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 10．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 11．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为 ． 13．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 14．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 15．（24-25七年级下·重庆·期中）在中，是上一点，连接，过点作于点交于点是上一点，且满足，过点作于点，连接．若，，则的面积为 ． 16．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ． 三、解答题 17．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．证明：为的平分线． 18．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，，平分，点E为边上任意一点（不与A、C重合），连接交于点F．求证：． 19．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． （1）试说明：； （2）试求的度数； （3）若点是的中点，则，试求的值． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若，，如图，试说明； （2）若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：． 21．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． （1）如图1，连接，试说明． （2）如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 22．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）四边形中，点E在边上，连接、．设，，，，给出下列五个关系式，①；②；③；④；⑤；将其中的三个关系作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题．； （1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果xxx，那么xxx），并给出证明； （2）用序号写出三个真命题（不需要证明） （3）在本题可以书写的命题中，只有一个是假命题，是哪一个？说明理由． 23．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，在和中，． （1）和________兄弟三角形；（填“是”或“不是”） （2）取的中点P，连接，试说明，小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，试判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：． 24．（24-25七年级下·河南·期末）张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔绍阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图所示，则由，可得． 活动2：如图2，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则． 请完式下列任务： （1）在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是______，______填序号 ① ② ③ ④ （2）【迁移探究】 如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展探究】 如图4，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.5 作辅助线构造三角形全等常用方法 目录 一．方法梳理与题型分类精析 1 知识点（一）辅助线的理解 1 知识点（二）全等三角形判定的辅助线常用方法与技巧 1 【题型1】连接两点 1 【题型2】延长相交 3 【题型3】作平行线 6 【题型4】作垂直 10 【题型5】倍长中线 14 【题型6】截长补短 18 二．同步练习 23 一．方法梳理与题型分类精析 知识点（一）辅助线的理解 辅助线：在解几何题中，依据题设条件与结论，通过添加的辅助性线段，搭起已知与未知的桥梁，清晰地理解图形结构，寻求解题思路的方法。 知识点（二）全等三角形判定的辅助线常用方法与技巧 方法1：连接两点：连接两个顶点，形成公共边或新三角形； 技巧：当条件分散在不同顶点时，连接两顶点形成公共边，快速构造 “已有两边相等 + 公共边” 的全等条件. 【题型1】连接两点 【例题1】 （24-25八年级上·广东云浮·期中）如图，已知、相交于点O，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】此题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．连接，利用证得，即可得出结论． 解：（1）证明：如图， 连接， 在和中， ， ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键； 本题先证明，然后根据三角形全等的性质即可求解； 解：证明：连接，如图： 在和中， ， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键；由作图可得：，，可证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定，即可求解． 解：连接，由作图可得：，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ 故答案为：． 方法2：延长相交：构成新三角形全等； 技巧：当遇到角平分线时，延长相交构造三角形全等进行线段的转化. 【题型2】延长相交 【例题2】 （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，，，延长交于点E，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，先根据证明，得出，然后根据等式的性质可得出，最后结合垂直的定义即可求解． 解：延长交于F， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 【变式1】（24-25八年级上·新疆伊犁·期末）如图，的面积为平分于，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线，延长交于点，证明，得到，根据三角形的中线平分面积，推出的面积为的面积的一半，即可得出结果． 解：延长交于点， ∵平分于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，垂直的平分线于点、为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（    ）      A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的判定与性质，三角形中线的性质，延长交于点N，根据条件证明，可得，进而得到，再根据为中点，即可求解． 解：延长交于点N，如图，   ∵平分，垂直的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 故选：A． 方法3：作平行线：利用平行性质转化角或线 技巧：过中点或角平分线作平行线，利用 “同位角 / 内错角相等” 转化角，搭配已知边证 ASA/AAS 全等. 【题型3】作平行线 【例题3】 （21-22八年级上·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ∵CQ＝PA， ∴ 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（2025·天津河北·一模）如图，在中，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧分别交线段于E点，F点，连接，以点D为圆心，线段长为半径画弧交线段于G点，以点G为圆心线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心线段长为半径所画弧于H点，作射线交于点I，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，三角形内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，得到是解题的关键． 由作图可证明，则可证明，再由平行线得到同位角相等，结合三角形内角和定理求解． 解：由作图可知， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； （2）猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到，，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 解：（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【点拨】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 方法4：作垂线：构造直角三角形全等； 技巧：角平分线上的点向两边作垂线，利用 “角平分线性质 + 直角” 证 AAS 全等； 【题型4】作垂直 【例题4】 （2025八年级下·全国·专题练习）如图，把两块大小相同的含的三角板和三角板如图所示摆放，点D在边上，点E在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作交于，证明即可解决问题． 解：作交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．分两种情况讨论，当为线段上时，作于点，证明，求得，，，再证明，求得，即可求解的长；当为线段上时，同理求解即可． 解：当为线段上时，作于点， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 当为线段上时，作交延长线于点， 同理， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为3或7． 故答案为：3或7． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．过A作，交的延长线于E，证明，则，得到的面积的面积，则到四边形的面积的面积，即可求出答案． 解：过A作，交的延长线于E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在与中， ∴， ∴，的面积的面积， ∴四边形的面积的面积， 故选A． 方法5：倍长中线：构造三角形全等。 技巧：中线延长一倍后，连接对应顶点，形成 “对顶三角形”，利用 SAS 证全等. 【题型5】倍长中线 【例题5】 （24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ； ．        B．         C．         D． 【答案】 D C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，倍长中线法证明三角形全等是解题的关键； （1）如图中，延长到点，使，连接，利用证明； （2）根据全等三角形的性质推出，再根据，可得结论； 解：（1）解：延长到点，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：D； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：C； 【变式1】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案． 解：延长至点，使，则，   为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴，即， ∴． 故选：B． 【变式2】（20-21八年级上·北京房山·期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可； （2）延长至点，使得，连接，可证得，则，再通过证明，可得到，从而得到即可． 解：（1）如图所示： （2）如图， 判断： 证明如下： 延长至点，使得，连接 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵AD平分∠BAC ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键． 方法6：截长补短法：截长法或补短法证明三角形全等； 技巧：截长：在长线段上截出短线段，证剩余部分相等；补短：延长短线段至长线段长度，证延长部分相等。 【题型6】截长补短 【例题6】 现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析． 【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得； （2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证． 解：（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，与交于点O．请判断之间的数量关系： ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；根据三角形内角和定理求得，则，在上取一点，使，证，，利用全等三角形的性质即可得出结论 解：∵ ∴ ∴ 在上取一点，使， 在与中： ， ， ， ∵ , 在与中： ， ， . 即 故答案为：． 【变式2】（21-22八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 【答案】见分析 【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证． 解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN， 在△APN和△APC中 ∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP， ∴△APN≌△APC， ∴PC=PN， ∵△BPN中有PB－PN＜BN， 即PB－PC＜AB－AC； 补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM， 在△ABP和△AMP中， ∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP， ∴△ABP≌△AMP， ∴PB=PM， 又∵在△PCM中有CM＞PM－PC， 即AB－AC＞PB－PC． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键． 二．同步练习​ 一、单选题 1．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系问题，熟练掌握“倍长中线法”构造全等三角形是解题关键． 延长至，使，利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围． 解：如图，延长至，使， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． A、错误，不符合题意； B、错误，不符合题意； C、错误，不符合题意； D、正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在的内部有一点，过点作与角的两边，分别交于点，，下列四种作法中，面积最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．构造全等三角形，结合三角形面积进行判断即可． 分①，②，③，三种情况比较与大小，均得到，即得． 解：如图①，当时， 过点E作交于点M， 则 ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图②，当，延长线交于点时， 过点E作于点M， 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图③，当，延长线交于点时， ∵， ∴， ∴是钝角， 过点F作，垂足为点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ 综上，面积最小的是A选项， 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 解：如图所示，连接， ∵于点于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C. 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点E，且点E恰好在边上．若四边形的面积为40，，则的长为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 过点作于点，证明，得到，推出四边形的面积，进行求解即可． 解：在四边形中，的平分线与的平分线交于点，如图，过点作于点，    则：，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∵四边形的面积为， ∴四边形的面积， ， 故选：A． 6．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，平分，，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识点．根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，最后统计即可解答． 解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ∵平分， ， ， ∴平分，故①正确； 如图：在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ，即②不正确，④正确； ∵，， ， ， ∴，即③正确． 综上，正确的有①③④． 故选：C． 7．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，，是的平分线，且．若，四边形的面积为，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，延长，交于点，证，得；再证，得，可推出点到的距离等于点到的距离，设其为；根据即可求解 解：延长，交于点，如图所示： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离，设其为； ∵ ， ∴， 即， ∴， 故选：C 8．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长到点H，使，连接、，则，因为，，得， ，再证明得，，再推导出，进而证明，得，则． 解：延长到点H，使，连接、， 则， ∵，，， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．（20-21八年级上·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依所据全等三角形对就边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点拨】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 10．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键． 解：延长交于， 是的角平分线，， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，分、都在三角形内部，、有一个在三角形外部两种情况，证明，根据全等三角形的性质求解即可． 解：若、都在对应三角形三角形内部，如图1所示，    ∵、分别为、边的高， ∴，都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； 若、有一个在对应三角形外部，如图2所示，    ∵、分别为、边的高， ∴，都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 13．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作交延长线于点，构造一线三垂直全等三角形是解决本题的关键，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 解：如图，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 【答案】6或3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明，得出，①当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了；②当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了． 解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； 综上所述，当点E在射线上移动或时，； 故答案为：6或3． 15．（24-25七年级下·重庆·期中）在中，是上一点，连接，过点作于点交于点是上一点，且满足，过点作于点，连接．若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线，如图，延长，过点作交的延长线于点．证明，得出，再证明，得出，即可得，结合，，即可求出，根据，即可求解． 解：如图，延长，过点作交的延长线于点．则， ∵， ， ， 在和中：，， ， ∴， ∵， ， ， ， ，， ， 在和中， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．过点B作于H，延长至E，使，连接，利用AAS证明，，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 解：过点B作于H，延长至E，使，连接， ， ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题 17．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．证明：为的平分线． 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的判定．过作于点，于点，利用定理证明，得到，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； 解：证明：如图，过作于点，于点， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线． 18．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，，平分，点E为边上任意一点（不与A、C重合），连接交于点F．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质和三角形中角与边的关系，在上截取，连接，证明，再证明即可得出结论． 解：证明：在上截取，连接，如图， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． （1）试说明：； （2）试求的度数； （3）若点是的中点，则，试求的值． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据即可证明； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，可知是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数； （2）过点作于点，证明，则，求出即可． 解：（1）证明：∵，分别是边，边上的高， ∴； 又∵， ∴，． ∴； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 在和中， ∴（） ∴，． ． 是等腰直角三角形． ． ； （3）解：如图，过点作于点， 点是的中点 在和中， ， （）． ． ． 由（2）得，． 又， ． ． ． ． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若，，如图，试说明； （2）若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】（1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，，于是得到结论；作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论． 解：（1）解：，， ， ，， ； （2）平分，平分， ，， ； ， ； 作的平分线交于， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， 同理， ． 故答案为： 21．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． （1）如图1，连接，试说明． （2）如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）4 【分析】本题主要考查了三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）根据已知证明，，即得； （2）根据，，得，结合，证明； （3）由（2）可得，，得出，由（1）得，即得的面积为4． 解：（1）证明：， ， ∵ ， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ， ， ， ， 即； （2）全等，理由如下： 证明：，， ， 在和中， ， ； （3）解：如图，连接， ， ， ∴ ∵ ∴ 由（1） ∴ 22．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）四边形中，点E在边上，连接、．设，，，，给出下列五个关系式，①；②；③；④；⑤；将其中的三个关系作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题．； （1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果xxx，那么xxx），并给出证明； （2）用序号写出三个真命题（不需要证明） （3）在本题可以书写的命题中，只有一个是假命题，是哪一个？说明理由． 【答案】（1）如果①②③，那么④⑤，证明见分析（2）如果①②④，那么③⑤；如果①②⑤，那么③④；如果①③④，那么②⑤；（3）如果②③④，那么①⑤，理由见分析 【分析】（1）如果，那么④⑤；先根据，，利用证出，得出，再根据，得出，即可证出； （2）根据命题的结构和有关性质、判定以及真命题的定义，写出命题即可； （3）根据题意得到和和是全等的等边三角形，此时C、D、E在同一直线上，进而判断即可． 解：（1）解：（1）如果①②③，那么④⑤；理由如下： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）解：如果①②④，那么③⑤；如果①②⑤，那么③④；如果①③④，那么②⑤ （3）如果②③④，那么①⑤． 如图，和和是全等的等边三角形，此时C、D、E在同一直线上， ，，但与不平行． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本的性质和判定，灵活应用． 23．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，在和中，． （1）和________兄弟三角形；（填“是”或“不是”） （2）取的中点P，连接，试说明，小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，试判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：． 【答案】（1）是；（2）①；②见详解 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 解：（1）解：∵， ， 又 ∵， ∴和是兄弟三角形； （2）证明：①． 延长至，使， ∵为的中点， ， 在和中， ， ， ． ②∵， ， ， ， 又 ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ∵， ． 24．（24-25七年级下·河南·期末）张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔绍阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图所示，则由，可得． 活动2：如图2，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则． 请完式下列任务： （1）在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是______，______填序号 ① ② ③ ④ （2）【迁移探究】 如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展探究】 如图4，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）④；①；（2），见分析；（3），见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）活动1：连接，，由尺规作图可知，，进而可依据“”判定和全等； 活动2：在上截取，连接，根据角平分线定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）在上截取，连接，根据得，根据角平分线定义得，，进而可依据“”判定和全等得，和全等得，由此可得出与的数量关系； （3）在上截取，连接，求出，则，，进而依据“”判定和全等得，，则，由此可依据“”判定和全等得，由此即可得出与之间的数量关系． 解：（1）活动1：连接，，如图1所示： 由尺规作图可知：，， 在和中， ， ； 活动2：在上截取，连接，如图2所示： 是的角平分线， ， 在和中， ， ， 故答案为：④；①； （2）与的数量关系是：，理由如下： 在上截取，连接，如图3所示： ， ， ， 的平分线与的平分线恰好交于边上的点， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）猜想与之间的数量关系是：，理由如下： 在上截取，连接，如图4所示： 在中，， ， ，是的两条角平分线，且交于点， ，， ， 是的外角， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$