2.6 幂函数与二次函数（课后练习）-2026届高三数学一轮复习

课后训—幂函数与二次函数- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 幂函数的定义与图象特征】 1．（重庆南开高一上期末）（多选）下列四个函数中过相同定点的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数解析式，结合幂指对函数的性质确定各函数所过的定点坐标，即可判断过相同定点的函数. 【详解】A：必过； B：，由知函数必过； C：，由知函数必过； D：，由知函数必过； ∴A、B、C过相同的定点. 故选：ABC. 2．如图是幂函数的部分图象，已知取、2、、这四个值，则与曲线、、、相对应的依次为 ． 【答案】2、、、 【分析】根据幂函数的图象特征即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以、、、相对应的依次为2、、、. 故答案为：2、、、. 3．（24上海高一上月考）若幂函数的图象分布在第一、三象限，则 . 【答案】-3 【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可. 【详解】根据其为幂函数，则，解得或， 当时，，则其定义域关于原点对称， ，故为偶函数，且分布在一、二象限，图象如图所示： 故舍去， 当时，，则其定义域关于原点对称， ，故为奇函数，且分布在一、三象限，图象如图所示： 故答案为：. 4．（24四川凉山高一上期末）函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令 ， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 【题组二 幂函数的性质】 5．（24天津高一上期中）函数为幂函数，若函数在上单调递增，则实数 . 【答案】2 【分析】由幂函数得或，结合幂函数的单调性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当，显然在R上不是增函数，不满足； 当，在R上单调递增，满足. 所以. 故答案为：2 6．（1）（24广西高一上期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上单调递减，所以在上单调递增，即可得结论. 【详解】 ，在上单调递减，，故，所以， 又，在上单调递增，，故， 即，所以. 故选：A. （2）（25天津高三下练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相关幂函数、对数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在上单调递增，则， 由在上单调递减，则， 所以. 故选：D 7．（25贵州毕节高一下期末）已知幂函数满足，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称 C．的图象过点 D． 【答案】D 【分析】先求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质和解析式对选项逐一判断即可. 【详解】设幂函数，因为， 所以，所以（）. 根据幂函数的性质可知，在上单调递减，所以A错误； 因为该函数的定义域为，所以不关于轴对称，B错误； 因为时函数无意义，所以不经过点，C错误； 因为在上单调递减，， 所以，D正确. 故选：D. 8．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，求满足的的取值范围． 【答案】或 【分析】根据函数单调性及奇偶性得出参数，再结合幂函数的单调区间列不等式组计算求解. 【详解】因为函数在上单调递减，所以 ，解得，又，所以． 因为函数的图象关于轴对称，所以为偶数，故， 则原不等式可化为， 因为在，上单调递减， 所以或或， 解得或． 【题组三 二次函数图象与解析式】 9．（24湖北宜昌高一上月考）已知，且关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．命题“，”为假命题 D．若的解集为M，则 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系可得，，可判断选项A；利用二次函数对称轴可判断选项B；根据关系化简不等式可判断选项C；利用两不等式的关系可判断选项D. 【详解】因为，且关于x的不等式的解集为， 所以，且的根为和2，所以，得，， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，所以，， 因为，，所以，故B错误； 对于C，即为，即，无解， 故命题“，”为假命题，故C正确； 对于D，因为是由向上平移一个单位，所以，故D错误. 故选：C． 10．（25湖南株洲高三下模拟）已知二次函数满足，且的图象经过点.求的解析式； 【答案】 【分析】设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式； 【详解】设，由可得： ， 即得，解得，故得， 又的图象经过点，则， 故； 【题组四 二次函数值域问题】 （求值域） （定轴定区间）11．已知二次函数，． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为． (2)． 【分析】（1）根据二次函数的性质和条件，即可联立方程求解； （2）利用分离参数法，结合二次函数性质，即可求解恒成立问题. 【详解】（1）由题意知， 解得，所以， 由知， 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意知，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 由，知在区间上是减函数， 则，所以， 即的取值范围是． （动轴定区间）12．已知函数，求当时，的最大值． 【答案】 【分析】对的取值范围进行分类讨论，由此求得的最大值的表达式. 【详解】二次函数开口向上， ， 当时，， ； 当时，， ， 综上有 （定轴动区间）13．（24江西宜春高一上期中）已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）根据不等式解集与二次函数、一元二次方程的关系计算参数即可； （2）利用二次函数的性质分类讨论动区间端点与对称轴的关系可得表达式，再利用二次函数的性质计算最小值即可. 【详解】（1）∵，不等式的解集， ∴0，5为的两个根， ∴， ∴. （2）由（1）知，，其对称轴是， i.当时，易知在 递增， 故， ii．当即时，， iii．当即时，函数在上单调递减，， 综上，， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，则． （根据值域、最值求参数） 14．（24浙江杭州高一上月考）时，函数的最小值为，则实数a的值为 . 【答案】或3 【分析】按二次函数对称轴与给定范围的关系分类探讨最小值求解. 【详解】二次函数图象开口向上，其对称轴为， 当时，，，则； 当时，，，解得或，无解； 当时，，，解得，则， 所以实数a的值为或3. 故答案为：或3 15．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合二次函数性质和图象分析求解即可. 【详解】因为函数， 可知函数图象的对称轴为直线，且函数的最小值为． 令，解得或4， 因为在区间上的最大值为5，最小值为，    所以的取值范围是． 故答案为：. 【题组五 二次函数的单调性求参】 16．（24广东江门高一上期中）如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 ； 【答案】 【分析】求出对称轴，结合二次函数的性质可得. 【详解】的对称轴为，且开口朝上， 因函数在区间上是增函数，则， 故的取值范围为. 故答案为：. 17．函数.若在区间上单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性列不等式求解. 【详解】因为函数的对称轴为，且开口向上， 函数在区间上单调，则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 18．（25广西柳州高一下联考）“”是“二次函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合二次函数的性质和充分不必要条件判断即可. 【详解】二次函数在区间上单调递增可得，解得， 又是的充分不必要条件. 故选：A 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后训—幂函数与二次函数- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 幂函数的定义与图象特征】 1．（重庆南开高一上期末）（多选）下列四个函数中过相同定点的函数有（    ） A． B． C． D． 2．如图是幂函数的部分图象，已知取、2、、这四个值，则与曲线、、、相对应的依次为 ． 3．（24上海高一上月考）若幂函数的图象分布在第一、三象限，则 . 4．（24四川凉山高一上期末）函数的图象恒过点 . 【题组二 幂函数的性质】 5．（24天津高一上期中）函数为幂函数，若函数在上单调递增，则实数 . 6．（1）（24广西高一上期末）若，则（    ） A． B． C． D． （2）（25天津高三下练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（25贵州毕节高一下期末）已知幂函数满足，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称 C．的图象过点 D． 8．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，求满足的的取值范围 ． 【题组三 二次函数图象与解析式】 9．（24湖北宜昌高一上月考）已知，且关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．命题“，”为假命题 D．若的解集为M，则 10．（25湖南株洲高三下模拟）已知二次函数满足，且的图象经过点.求的解析式； 【题组四 二次函数值域问题】 （求值域） （定轴定区间）11．已知二次函数，． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围． （动轴定区间）12．已知函数，求当时，的最大值． （定轴动区间）13．（24江西宜春高一上期中）已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． （根据值域、最值求参数） 14．（24浙江杭州高一上月考）时，函数的最小值为，则实数a的值为 . 15．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为，则的取值范围是 ． 【题组五 二次函数的单调性求参】 16．（24广东江门高一上期中）如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 ； 17．函数.若在区间上单调，则实数的取值范围是 . 18．（25广西柳州高一下联考）“”是“二次函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$