专题4.1 指数（高效培优讲义）数学人教A版2019高一必修第一册

专题4.1 指数 教学目标 1.理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化。 2.掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。 3.掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。 教学重难点 1.重点：掌握无理数、实数指数幂的计算。 2.难点：掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算. 知识点01 整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）；（2）；（3）；（4）． 【即学即练】 1．计算： ． 2．设，下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 根式的概念和运算法则 1、次方根的定义：若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有_____，是_____，记为；负数的奇次方根有_____，是_____，记为；零的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有_____，记为；负数_____偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，；（2） 【即学即练】 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．计算下列各题： (1)； (2)． 知识点03 分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 【即学即练】 1．的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 2．若，则（   ） A． B． C．64 D． 知识点04 有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1）（2）（3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做__________．负指数幂化为_______________．底数是负数，先确定_____，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用__________表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 【即学即练】 1．（1）化简：． （2）已知，求． 2．（1）求值：. （2）设，且，求的值. 知识点05 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的_____；②它是有理数指数幂__________的结果． （2） 定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【即学即练】 1．计算： (1) (2) 2．已知函数 (1)若，求的值； (2)若，求函数的最小值. 知识点06 实数指数幂的运算性质 ①．②．③． 【即学即练】 1．， 2．（1）化简：（其中）； （2）化简：（其中）． 题型01：由根式的意义求范围 【典例1】求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 使根式有意义 【变式1】若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】求使等式成立的实数a的取值范围. 【变式3】满足方程的实数解的个数为 . 题型02：利用根式的性质化简或求值 【典例1】已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 【变式1】若，则的立方根为 . 【变式2】使得等式成立的实数a的值为 ． 【变式3】计算下列各式的值： (1)； (2)． 题型03：有限制条件的根式的化简 【典例1】，求 ． 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可 【变式1】已知，，则的值为 ． 【变式2】若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 【变式3】设，且，求= . 题型04：根式与指数幂的互化 【典例1】已知函数，则 ． （1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂． 【变式1】（多选），下列运算（化简）中正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式2】化简： (1) (2)（） 【变式3】计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 题型05：利用分数指数幂的运算性质化简求值 【典例1】已知，则 ． 根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 【变式1】下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则满足的的取值范围 . 【变式3】下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 题型06：整体代换法求分数指数幂 【典例1】若，则 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 【变式1】已知，，则的值为 . 【变式2】已知正数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若实数、、满足，，则的最小值是 . 1．计算： . 2．设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 3．已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 5．已知幂函数的图象分别经过两点，则（   ） A． B． C． D． 6．已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 10．若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D．对恒成立，则的取值范围为 11．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，则 ． 13．若函数是奇函数，则 . 14．设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是 ． 15．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 16．已知 ，求： (1)； (2)． 17．已知是方程的两根，求的值． 18．（1）化简：； （2）设，求的值． 19．设，且的图象过点， (1)求表达式； (2)计算； (3)试求的值． 20．（1）计算的值； （2）已知点在函数的图象上，求的解集. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 指数 教学目标 1.理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化。 2.掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。 3.掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。 教学重难点 1.重点：掌握无理数、实数指数幂的计算。 2.难点：掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算. 知识点01 整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）；（2）；（3）；（4）． 【即学即练】 1．计算： ． 【答案】1 【详解】． 2．设，下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A中，；B中，；C正确；D中，． 知识点02 根式的概念和运算法则 1、次方根的定义：若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，；（2） 【即学即练】 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，. 故选：C. 2．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． （2）． 知识点03 分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 【即学即练】 1．的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【详解】原式． 2．若，则（   ） A． B． C．64 D． 【答案】D 【详解】． 知识点04 有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1）（2）（3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 【即学即练】 1．（1）化简：． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）. （2）∵，∴，即， ∴，∴，故， ∴. 2．（1）求值：. （2）设，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）      . （2）因为，且， 所以 . . 知识点05 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2） 定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【即学即练】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) ； (2)1 ． 【详解】（1） ． （2）原式． 2．已知函数 (1)若，求的值； (2)若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，对其两边平方得，即 （2），， 设，则，当且仅当时取等号；所以，所以，因为函数在时单调递增， 所以当即时，取最小值为 知识点06 实数指数幂的运算性质 ①．②．③． 【即学即练】 1．， 【答案】 【详解】因为，所以 ， 则 . 故答案为：. 2．（1）化简：（其中）； （2）化简：（其中）． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 题型01：由根式的意义求范围 【典例1】求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 故答案为：. 使根式有意义 【变式1】若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由， 可得，即．实数的取值范围是． 故选：． 【变式2】求使等式成立的实数a的取值范围. 【答案】[-3，3] 【详解】， 要使|成立， 需解得a∈[-3，3]． 【变式3】满足方程的实数解的个数为 . 【答案】无数个 【详解】设，则 方程化为 即，即 当时，则，解得 当时，则恒成立，即满足方程. 当时，则，解得 所以满足方程，即，解得 故满足方程的实数解的个数为无数个 故答案为：无数个 题型02：利用根式的性质化简或求值 【典例1】已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 【变式1】若，则的立方根为 . 【答案】2 【详解】由，得， 所以， 所以，所以的立方根为. 故答案为：. 【变式2】使得等式成立的实数a的值为 ． 【答案】8 【详解】解：由题意可得，，所以，故. 设，则. 解得，或（舍），或（舍） 所以 所以 故答案为：8 【变式3】计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）解：原式 . （2）解：原式 题型03：有限制条件的根式的化简 【典例1】，求 ． 【答案】 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可 【变式1】已知，，则的值为 ． 【答案】 【详解】由，，可得， 设，则，则， 解得，（舍去）， 故， 故答案为： 【变式2】若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】，，．由 ，得 . 故选C. 【变式3】设，且，求= . 【答案】 【详解】对左右同时平方得 同时由可判断，则， 故答案为 题型04：根式与指数幂的互化 【典例1】已知函数，则 ． 【答案】/-0.5 【详解】因为，所以将代入中，可得 因为，所以将代入中，可得. 故答案为:. （1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂． 【变式1】（多选），下列运算（化简）中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：ABD． 【变式2】化简： (1) (2)（） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 （2）原式 【变式3】计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 题型05：利用分数指数幂的运算性质化简求值 【典例1】已知，则 ． 【答案】 【详解】 ， 因为，所以原式 故答案为： 根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 【变式1】下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 【变式2】若，则满足的的取值范围 . 【答案】 【详解】由题意，则且，而， 所以，即，故，可得. 故答案为： 【变式3】下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】C 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B错误； C中，（），故C正确； D中，（），故D错误． 故选：C． 题型06：整体代换法求分数指数幂 【典例1】若，则 【答案】 【详解】由于，故. 这就意味着，从而. 故答案为： 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 【变式1】已知，，则的值为 . 【答案】/ 【详解】因为，两边平方得，所以， 因为，所以，，所以， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 【变式2】已知正数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正数、满足，即，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 【变式3】若实数、、满足，，则的最小值是 . 【答案】 【详解】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 1．计算： . 【答案】 【详解】. 故答案为： 2．设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【详解】，，， 即，又均为不等于1的正数， 所以. 故选：C. 3．已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：有意义，，， 又，，，. 故选：A. 4．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【详解】因为 所以，当且仅当即时等号成立， 故选：D． 5．已知幂函数的图象分别经过两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为幂函数的图象分别经过两点， 所以把两点分别代入可得， 故，故. 故选：B. 6．已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正实数a，b满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：D 7．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式． 故选：D 8．已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为，，且， 所以，所以， 所以. 故选：C 9．已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 10．若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D．对恒成立，则的取值范围为 【答案】BCD 【详解】因为，——① 所以， 又因为是奇函数，是偶函数，所以，——② 由①②，解得，. 对于A，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，，故C正确； 对于D，， 令， 则原式变为， 令， 由二次函数的性质可得要使在时恒成立，则，故D 正确. 故选：BCD 11．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为.所以 即，得（当且仅当时，等号成立），故A正确； 当时，满足，此时，故B错误； （当且仅当时，等号成立），故C错误； 由得，所以 （当且仅当时，等号成立），故D正确. 故选：AD 12．已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 13．若函数是奇函数，则 . 【答案】 【详解】已知是奇函数，则. 先求：将替换为，可得. 对进行化简： 因为，所以. 移项可得：. 可得. 故答案为：. 14．设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，得；由，得，则； 由，得，则；由，得，则， 而，， 所以的取值范围是. 故答案为： 15．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2）因为，， 所以 ． （3）因为，， 所以 ． 16．已知 ，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ，所以   即 ，. . 因为 ，所以 ，则 . （2）. 已知，所以. 17．已知是方程的两根，求的值． 【答案】 【详解】解：由题意，得．又，而，所以．所以 18．（1）化简：； （2）设，求的值． 【答案】（1）；（2）8 【详解】解：（1）原式． （2）令，则，． 所以． 19．设，且的图象过点， (1)求表达式； (2)计算； (3)试求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)1012 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）. （3）由（2）得，，，， 所以. 20．（1）计算的值； （2）已知点在函数的图象上，求的解集. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【详解】（1） ； （2）因为点在函数的图象上， 所以，即， 则可化为， 当时，解得， 当时，， 当时，解得或， 当时，可化为， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 故时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$