专题14 三角形相关能力提升题分类训练（5种类型50道）-【暑期培优】2025-2026学年八年级上册数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

专题14 三角形相关能力提升题分类训练 （5种类型50道） 【题型1 三角形相关综合题】 1 【题型2折叠问题角相关】 1 【题型3折叠问题线段相关】 1 【题型4 最值问题】 1 【题型5 动点问题】 1 【题型1 三角形相关综合题】 1．如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等角的余角相等对①进行判断；先利用角平分线的定义和三角形内角和得到，再加上，，则可对②进行判断；根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后证明，则可对③进行判断；利用三角形外角性质对④进行判断． 【详解】解：，， ，， ， ，所以①正确； 是的角平分线， ， ， 而， ，所以②正确； 垂直平分， ， ， ， ， ，所以③正确； ， ，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义和三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 2．如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质，圆内接四边形的判定和性质推出其他选项，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 点是的中点， ，平分，且， ， 又， ， ， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故②正确； ， ， ， ∴，， 故③错误； 当时，的最小，如图所示：   是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， 故④正确； ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积是16，为定值， 故⑤正确， 即正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，外角的性质，三角形的面积，证明是解题的关键． 3．如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角两锐角互余，等腰三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，证明，可得，故①正确；由，可得，再证明为等腰三角形，从而得到，进而得到，易知，故②正确；结合可得，进而证明，故③正确；根据题意无法确定的大小关系，则无法得到，故④错误；结合三角形中线的性质可得，，进而可得，故⑤正确；熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴ ， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 根据题意无法确定的大小的大小关系， 无法得到，故④错误； ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③⑤， 故选：． 4．在中， ，，为中点且，、分别是、边上的动点，且，下列结论：①；②的度数不变；③的面积存在最小值；④的面积存在最小值；⑤四边形的面积为，其中正确的结论个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①易证，从而即可得到；②由可得，再根据即可判断；③综合④的面积存在最小值和⑤四边形的面积为即可判断；④根据，再根据点到直线垂线段最短可知当时，最小，即此时的面积最小；⑤根据全等三角形面积相等可知：，再利用中点平分面积即可得到四边形的面积． 【详解】解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 、是等腰直角三角形， ,， 又， ， ， 在和中， ， ， ，,， 故①正确， ， ， 的度数不变， 故②正确， ,， ， 当时，最小， 当最小时，的面积存在最小值， 故④正确， ， ， ， 是中点， ， ， 四边形的面积为， 故⑤正确， ， ， 的面积存在最小值， 的面积存在最大值， 故③错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、点到直线之间，垂线段最短等知识点，通过推理论证每个命题的正误是解决此题的关键． 5．如图，△是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断； ②求出∠AFG和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此得出答案； ③根据ASA证明△ADF≌△BAH即可判断； ④由∠BAE=45°，∠ADC=∠BAH=15°，则∠EAH=30°，DF=2EH即可得出． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°，∠BAD=90°，AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°， ∴∠AFG=∠ADC＋∠DAE=60°，∠FAG=45°， ∴∠AGF=75°， ∴△AFG三个内角都不相等， ∴△AFG不是等腰三角形，故②错误； 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAH=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF和△BAH中， ∠ADF=∠BAH，DA=AB， ∴△ADF≌△BAH（ASA） ∴DF=AH，故③正确； ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵∠ADC=15°=∠ACD， ∴∠BCG=45°， ∴∠CGB=180°－∠ABC－∠BCG=180°－60°－45°＝75°，故④正确； ∵∠ABE=∠EAB=45°，∠ADF=∠BAH=15°，∠DAF=∠ABH=45°， ∴∠EAH=∠EAB－∠BAH=45°－15°=30°， ∴AH=2EH， ∴DF=2EH=4，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点的应用． 6．如图，直角三角形中，，于，于，则下列说法中正确的有（    ）个． ①图中有4个三角形与相似；②；③；④；⑤若，，则；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据题意，对选项逐一分析，即可得出结论. 【详解】解：因为，，所以 =90°，=90°，所以=90°，可得，所以，所以，即，故选项②正确； 由题意，于，于E，所以=90°，，，，由相似的判定可知图中有4个三角形与相似，分别是、、、，故选项①正确； 因为，所以∠A与∠B互余，于，于，∠BCD与∠B互余，∠CDE与∠DCE互余，∠DCE与∠BCD互余，所以，故选项③正确； 因为，于，于，根据③中结论，所以，，因为，所以，两式相乘即可得，故选项④正确； 若，，由勾股定理可得AB=5，利用等面积可得，故选项⑤错误； 因为DE∥BC，所以，故选项⑥正确； 5个正确， 故答案为：D . 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 7．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论： ； ； ； ，其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，角平分线的性质，三角形内角和定理，根据三角形的中线定义和三角形面积公式可对进行判断； 利用三角形内角和定理得到，，则利用得到，然后根据对顶角相等得到，则可对进行判断，过作于点，利用角平分线的性质可对进行判断； 根据等角的余角相等得到，则利用角平分线的定义得到，于是可对进行判断.根据三角形的高、中线、角平分线，角平分线的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过作于点，如图， ∵，平分， ∴， ∵在中，， ∴，故错误； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：. 8．如图，中，交 于 ，平分 交 于 ，为 的延长线上一点，交 的延长线于 ，的延长线交 于 ，连接，下列结论：①，②，③，④其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，以及角平分线的性质，根据三角形内角和即可判断①，根据角平分线性质得到，由三角形内角和可得，再对其进行变形，即可判断②，根据角平分线性质和三角形面积公式，即可判断③，根据三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，即可判断④． 【详解】解：记于点，如图所示： ，， ， ， ，即①正确； 平分 交 于 ， ， ， 即②正确； 平分 交 于 ， 点到，的距离相等， ， 即③正确； ，， ， ， ， ， 即④正确； 综上所述，正确的有①②③④共4个， 故选：D． 9．如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，于H，交于G，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定和性质，即可判断①结论；利用全等三角形的判定和性质，即可判断②③结论；利用角平分线的性质和三角形的三边关系，即可判断④⑤结论． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ，①结论正确； ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，②结论正确； ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ，③结论正确； 连接， 是等腰直角三角形，， ，即垂直平分， ， 在中，， ，④结论错误； 过点作于点， 平分，，， ， 在中，， ，⑤结论错误； 正确的结论有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形的三边关系的应用等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 10．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得，根据三角形外角的性质得，继而得到，可判断结论①；根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，再根据，可判断结论②；根据角平分线的定义得，由平角定义得，根据三角形外角的性质得，可推出，根据三角形三角和定理得，可判断结论③；根据角平分线的定义得，，由平行线的性质得，，得到，，可推出，可判断结论④；⑤由④得，，由平行线的性质得，继而得到，可判断结论⑤，即可得解． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴，故结论②正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ⑤由④得，， ∵， ∴， ∴，故结论⑤不正确； ∴正确的结论有个． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，平角的定义，解题的关键是三角形外角性质的应用． 【题型2折叠问题角相关】 11．如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边上点处，折痕为，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形内角和定理以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质得到，是的角平分线，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：根据折叠的性质得到，是的角平分线， ， ． 故选B． 12．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、角平分线的定义等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键． 连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∵由折叠得：，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 13．如图，将直角三角形纸片进行折叠，使得点B恰好落到纸片边缘上的点处，折痕为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，根据折叠的性质，得，结合，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形外角性质，熟练掌握性质是阶梯的关键． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴． 故选：B． 14．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理得到的度数，进而得到的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 15．如图，在中，是边上的高，是上一点，连接，将沿处折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 由折叠的性质可求，再由互余关系求解，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，是边上的高， 由折叠的性质可得，，， ， ， 故选：C． 16．如图，取一张三角形纸片，记为，在边上各任取一点，将纸片沿折叠，使点落在的另一侧，落点为，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由三角形内角和定理先求出，再求出，由折叠得到，则由即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 17．如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A'，若∠A＝30°，∠BDA'＝80°，则∠CEA'的度数为（    ） A．20° B．40° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】根据平角的定义可得∠ADA′=100°，根据折叠的性质知∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和可得∠AED=100°，可得∠DEC=80°，根据折叠的性质知∠AED=∠A′ED=100°，进而根据角的和差关系即可得答案． 【详解】∵∠BDA'＝80°， ∴∠ADA′=180°-∠BDA'＝100°， ∵沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A'， ∴∠ADE=∠A′DE=∠ADA′=50°， ∵∠A＝30°， ∴∠AED=180°-∠ADE-∠A=100°， ∴∠DEC=180°-∠AED=80°， ∵沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A'， ∴∠AED=∠A′ED=100°， ∴∠CEA'=∠A′ED-∠DEC=20°， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、三角形内角和及角的和差，熟悉折叠的性质是解决问题的关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 18．如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对折的性质，三角形的外角的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握对折的性质是解题的关键． 先由题意易得，由对折的性质可得，，再由三角形的外角的定义可得，最后由三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，沿所在直线对折得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 19．如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 20．如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质．先根据等边三角形性质得，因此当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，由折叠的性质可得出的度数；②当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：    则， 由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示：    则， ， 由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或． 故选：A． 21．如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点，点分别在上，点沿折叠后与点重合，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设的平分线与交于点E，求出， ，根据垂直平分，得到，即，进一步可得，利用垂直平分，得到，由折叠的性质可知：，所以，进一步可得． 【详解】解：连接，设的平分线与交于点E，如图 ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，即， ∴， ∵，平分， 由三线合一的性质可得：垂直平分， ∴，即， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用． 【题型3折叠问题线段相关】 22．如图，顶角为，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是翻折变换的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，掌握30°所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．根据折叠的性质，，，又，可知，据30°所对的直角边等于斜边的一半，可知． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 23．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，线段沿着射线折叠得到，可得，求解，当共线时，，此时周长最短；再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵线段沿着射线折叠得到， ∴， ∵， ∴， 当共线时， ，此时周长最短； ∴， ∴； 故选C 24．如图，在中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点落在点处， ，， 又∵， ∴， ∴， ， 又为的中点，AE=AE' ∴， ， 即， ． 故选：B． 【点睛】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键． 25．如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的性质得到，，从而，从而即可解答． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴． 故选：D． 26．如图，在中，点是边上一点，，．将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则线段的长度为（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查折叠问题，解题关键是知道折叠前后的两个图形的边长和角度都不改变． 根据沿折叠，可知，即可求解． 【详解】解：由折叠可知， 又， ∴， 故选：D． 27．四边形的边长如图所示，，E为边上一动点（不与A，D两点重合），连接，将沿直线折叠，点A的对应点为点F，则点C与点F之间的距离不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了折叠以及三角形三边的关系，运用折叠的性质是解这道题的关键．E点沿运动时，当折叠F落在时，此时有最小值，再利用三角形三边关系得到，即可得到取值范围，从而对选项进行判断． 【详解】解：如图所示，连接， 根据折叠的性质，我们可以得到， ∴， ∵， 根据三角形三边关系， 可以得到， ∴， 当折叠F落在时， 此时为最小值， ， 故取值范围为：， 故选：D． 28．如图，在中，，，现将折叠，使点B与点A重合，则BC的长为 ． 【答案】45 【分析】根据△ABC折叠，使点B与点A重合，可得∠DAE=∠B=30°，∠DEA=∠DEB=90°，由∠C=90°，∠B=30°，得∠CAB=60°，即知∠CAD=∠CAB-∠DAE=30°，在Rt△ACD中，AD=2CD=30，再求出BD的长即可． 【详解】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合， ∴∠DAE=∠B=30°，∠DEA=∠DEB=90°，BD=AD， ∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°， ∴∠CAD=∠CAB-∠DAE=30°， 在Rt△ACD中，AD=2CD=2×15=30， ∴BD=AD=30， ∴BC=CD+BD=30+15=45， 故答案为：45． 【点睛】本题考查直角三角形中的折叠，解题的关键是掌握折叠的性质及30°所对直角边等于斜边的一半． 29．如图，在Rt中，，cm，现将折叠，使点B与点A重合，则折痕DE的长为 ． 【答案】cm 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠可得进而根据角平分线的性质即可求得 【详解】解：∵将折叠，使点B与点A重合， ∴ 在Rt中，，cm， , , cm， 故答案为：15cm 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角，折叠的性质，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 30．如图，点D、E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若的周长为，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的周长，解题关键是利用折叠的性质说明相关线段相等 先由翻折可得，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点D，E分别在的边，上，将沿直线折叠后，点C与点A重合， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4 最值问题】 31．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是的高时， 故答案为：． 32．如图，在直角三角形中，．则： （1）点B到的距离是 ； （2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 6 // 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到．（1）点B到的距离是即可得出答案；（2）当时，线段的值最小值，利用三角形面积求出结果即可． 【详解】解：（1）， 点B到的距离是； （2）当时，线段的值最小值， ， ， ， ， ∴线段的最小值是， 故答案为：6；． 33．如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形面积的计算，垂线段最短，理解题意，得出当时，取得最小值即是解题关键． 过点A作，过点D作，根据题意得出，确定，得出，确定当时，取得最小值即，结合图形求解面积的最小值即可． 【详解】解：过点A作，过点D作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴当取得最小时，面积最小， ∵D为顶点，E为动点， 当时，取得最小值即， ∴， ∴， ∴， ∴面积最小为， 故答案为：． 34．如图，在 中，，，平分，，， 分别为 ， 上的动点，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接，根据角平分线的性质以及轴对称的性质，垂线段最短，进而根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，    ∵平分， ∴在上， ∴， ∴， 则当、、三点共线，且时，最小， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 即：最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，轴对称的性质求最短距离，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 35．如图，将沿折叠使得恰好落在边上的点处，在上，点在线段上运动，若，，，则的周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】作于，于，于，根据同一三角形的面积相等求出，在根据翻折变换，把周长的最小值，转化为求 的最小值即可． 【详解】如图，作⊥于，于，于，        由折叠的性质可知：，，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 要求周长的最小值，就转化为求的最小值， ∵， ∴当与重合时，取最小值，即， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了翻折变换，轴对称以及三角形三边之间的关系，关键是把求周长的最小值转化为的最小值，即取最小值． 36．如图，等腰三角形的面积为12，其中，底边，腰的垂直平分线分别交边、于E、F两点，点M为线段上一动点，点D为的中点，连接、．在点M的运动过程中，的周长的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，得出 ，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短为：， 故答案为：7． 37．如图，等腰的底边长为，腰长为，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值     【答案】6 【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，，则，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： 由题意可得： ∵垂直平分，点为直线上一动点 ∴ ∴ 由三角形三边关系可得： 即的最小值为6 故答案为：6 【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 38．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为3，则长度的最小值等于 ． 【答案】3 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，根据三角形面积公式求出，利用基本作图得到垂直平分，则，所以，当且仅当A、M、D共线时取等号，从而得到的最小值． 【详解】解：连接，如图， ∵，D为的中点， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得， 由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴当且仅当A、M、D共线时，的最小值为3， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了作图-基本作图-作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和最短路径问题，确定出当且仅当A、M、D共线时，取得最小值是解题的关键． 39．如图，点、点是直线上两点，，点在直线外，，，，若点为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】4.8 【分析】根据垂线段最短可知：当时，有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解的最小值． 【详解】解：当时，有最小值， ，，，， ， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到最小时的点位置是解题的关键． 40．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 【题型5 动点问题】 41．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上，且，则________； （2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________； （3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________． 再探： （4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由． （5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）130 （2） （3） （4），理由见解析 （5）或，图见解析，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键． （1）如图1所示，连接，证明即可得到答案； （2）只需要证明即可得到答案； （3）利用三角形外角的性质求解即可； （4）利用三角形外角的性质求解即可； （5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴ 故答案为：； （3）解：设与交于F， ∵，， ∴， 故答案为：； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴； （5）解：如图5-1所示， ∵， ∴ 如图5-2所示， ∵， ∴ 42．如图，在中，的平分线交于点．点是边上的一个动点，过点作交边于点．设的度数为． (1)如图，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交的延长线于点． ①_____；（用含的代数式表示） ②当时，求的度数； (2)类比（1）的思路，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交直线于点（点不与点重合），求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）①直接根据直角三角形两锐角互余即可解答；②先求出，根据交平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可求得、，再根据角平分线的定义求得，最后根据三角形外角的性质即可解答； （2）当点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，先求出，根据交平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可求得、或，再根据角平分线的定义求得，进而求得，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵在中，，设的度数为， ∴； ②：∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）解：如图：当点P在线段上时， ∵在中，，设的度数为， ∴； ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴ ∴． 如图：当点P在线段的延长线上时， ∵在中，，设的度数为， ∴； ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴ ∴． 综上，的度数为或． 43．如图，在中，，，交于点D．动点P从点C出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为．    (1)求边上的高； (2)当点P在边上运动时，若是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)t的值为或或 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积计算，等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）作于H．根据勾股定理求解即可． （2）先根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理求出；根据点P在上，得出，分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，作于H，    ∵， ∴， ∴， ∴边上的高为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时，， ①如图中，当时，    ∴， 解得：； ②如图中，当时，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ③如图中，当时，过点D作于H．    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，满足条件的t的值为或或． 44．如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，的大小为______． (2)图2，延长，交射线于点． ①请问的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由． ②若，则的面积最大为______，此时______． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】（1）求出，由轴对称的性质得到，再由即可求得答案； （2）①设的大小为则由等腰三角形的性质即可得出答案； ②由题意可得点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点作于，交优弧于点，连接，当时，即点位于点时，的面积最大，利用解直角三角形可得面积最大值；过点作于，则， ，，，得出，再由，即可求得． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形， ， ， ， 边关于对称的线段为， ， ； 故答案为：； （2）的大小不变，始终为． 设的大小为则 关于的对称线段为， ， ＝＝ ， 是的外角， ； ②由①知：， ， 点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接， 当时，即点位于点时，的面积最大， 弦， ，即垂直平分， ，， ， ， ， ，， ， 面积最大值是； 此时，点的位置如图所示，过点作于， 则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，圆的性质，解直角三角形等，正确地作出辅助线是解题的关键． 45．根据以下所给的材料，解答下面的问题． 材料一：如图1，中，若，则． 材料二：如图2，的内角和外角的平分线交于点，则有结论：．    解答问题： 如图3，点与点坐标轴上，且，满足． (1)求点A（ ， ），B（ ， ）的坐标； (2)C为y轴正半轴上一动点，D为的外角的平分线与的平分线的交点，当，求C点坐标； (3)如图4，C为y轴正半轴上A的上方一动点，P为线段上一动点，连延长交x轴于E，和平分线交于F，在点C在运动过程中，下列结论：①是定值，②是定值；请选择你认为正确的结论，并进行证明；若都不正确，也请说明理由． 【答案】(1)0；3；2；0 (2) (3)是定值；证明见解析 【分析】（1）由已知，求出、的值即可求出，的坐标； （2）由题意可求得，根据外角性质求得的外角和的外角的度数，可推得，即可求出，从而得到点坐标； （3）设、交于点，通过三角形角平分线及三角形内角和推出，从而确定是定值． 【详解】（1）解：，，， ，， 解得：，， ，； （2）解：如图3，E为A上方一点， 平分， ，， ∴， 平分， ∴， ， 在中：， ， ， ； （3）解：是定值； 设、交于点，      则，， ，平分，， ， ， 在中： ， ， 在中： ， ． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，绝对值的非负性，平面直角坐标系，熟练掌握三角形角平分线的用法是解答本题的关键． 46．如图，中，，以顶点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点E，F；再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交边于点G． (1)的度数为____________； (2)若，H是边上一动点，则线段的最小值为____________； (3)若的面积为4，则的面积为____________；（不必写出解答过程） 【答案】(1) (2)3 (3)6 【分析】（1）根据作图方法可得是的角平分线，则，再由三角形外角的性质可得； （2）如图所示，过点G作于D，先求出，再证明，得到，根据垂线段最短可知线段的最小值为3； （3）证明，得到，进而求出，则． 【详解】（1）解：由作图方法可知是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，过点G作于D， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵H是边上一动点， ∴当点H与点D重合时，最小， ∴线段的最小值为3， 故答案为：3； （3）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 47．如图，△ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），连接AD． (1)如图1，若BD＝CD，则S△ABD∶S△ACD＝ ； (2)如图2，若AD平分∠BAC，求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC； (3)如图3，若AD平分∠BAC，延长AD到E，使DE＝2AD，连接BE，如果AB∶AC＝3∶2，S△BDE ＝m，直接写出△ABC的面积（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用“等高三角形面积比等于底边长度之比”即可求解； （2）利用角平分线的性质可得S△ABD中AB边上的高等于S△ACD中AC边上的高，再利用三角形面积公式即可证明； （3）利用（1）（2）的结论，结合已知条件可知，S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝3∶2，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点E． ∵BD＝CD， ∴S△ABD∶S△ACD， 故答案为：； （2）证明：如图，作于点M，于点N． ∵AD平分∠BAC，，， ∴， ∴S△ABD∶S△ACD； （3）解：∵DE＝2AD， ∴， ∴． ∵AD平分∠BAC，AB∶AC＝3∶2， ∴由（2）的结论可知S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝3∶2， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形面积公式以及角平分线的性质，掌握“等高三角形面积比等于底边长度之比”以及“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键． 48．已知的高AD恰好平分边BC，点E是线段AD上一动点． （1）如图1，若，，求的度数为 ； （2）如图2，若，，，求AE的长； （3）如图3，若点P是BA延长线上一点且，，求的值． 【答案】（1）130°；（2）；（3） 【分析】（1）由题意依据等腰三角形等边对等角和三线合一以及三角形内角和进行分析即可； （2）由题意根据角平分线性质和等腰直角三角形性质结合勾股定理进行分析计算即可； （3）根据题意利用中垂线性质和等腰三角形等边对等角得到，，进而进行角的等量代换即可. 【详解】解：（1）∵的高AD恰好平分边BC，即是的垂直平分线， ∴，AD是的角平分线， ∵， ∴, ∵， ∴, ∴=； 故答案为：； （2）， 是的中垂线 ， ； （3）连接 是的中垂线 ， ， . 【点睛】本题考查等腰三角形性质和角平分线性质以及勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形等边对等角和三线合一的性质和运用勾股定理求解是解题的关键. 49．如图，在三角形ABC中，G为BC边上的一个动点，，，DG平分． (1)如图1，当G点在BF边上时，求证：； (2)如图2，当G在CF边上时，连接GE，若，，求得度数； (3)如图3，在（1）的条件下，若DM平分，交BC于点M，DN平分，交EF于点N，连接NG，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由角平分线可知，再根据三角形内角和定理可知，最后结合题意即可得出，即证明； （2）由题意可知，即有．设，则，．由三角形内角和定理可求出．即得出．再由平行线的判定条件可证明，得出 ．再次根据三角形内角和定理即可得出，由此即可求出的值，即可求出的大小； （3），由平行线的性质可知，再根据等腰三角形的性质可知．根据角平分线可求出，，即可求出．在结合题意即可求出．最后根据，即得出，最后即得到关于的等式，求出即得出的度数． 【详解】（1）证明：∵DG平分， ∴． ∵，，， ∴，即， ∴； （2）解：∵，， ∴． 设，则，， ∵， ∴在中，． ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∴在中，． ∵DM平分， ∴． ∵DN平分， ∴，即． ∵ ∴，即． ∵， ∴， ∴， 解得：， 故的度数为 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 50．综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）①30，45；②，见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）①根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可解答；②由①即可解答； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，则； 若，则； 故答案为：，； ②由①得； 故答案为：； （2）的平分线及一个外角的平分线相交于点， ，． ， ． ， ． ， ． ． ； （3），理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 三角形相关能力提升题分类训练 （5种类型50道） 【题型1 三角形相关综合题】 1 【题型2折叠问题角相关】 1 【题型3折叠问题线段相关】 1 【题型4 最值问题】 1 【题型5 动点问题】 1 【题型1 三角形相关综合题】 1．如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 4．在中， ，，为中点且，、分别是、边上的动点，且，下列结论：①；②的度数不变；③的面积存在最小值；④的面积存在最小值；⑤四边形的面积为，其中正确的结论个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，△是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 6．如图，直角三角形中，，于，于，则下列说法中正确的有（    ）个． ①图中有4个三角形与相似；②；③；④；⑤若，，则；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论： ； ； ； ，其中正确的有（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，交 于 ，平分 交 于 ，为 的延长线上一点，交 的延长线于 ，的延长线交 于 ，连接，下列结论：①，②，③，④其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，于H，交于G，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2折叠问题角相关】 11．如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边上点处，折痕为，则的度数是（　　） A． B． C． D． 12．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．如图，将直角三角形纸片进行折叠，使得点B恰好落到纸片边缘上的点处，折痕为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在中，是边上的高，是上一点，连接，将沿处折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 16．如图，取一张三角形纸片，记为，在边上各任取一点，将纸片沿折叠，使点落在的另一侧，落点为，若，则 （    ） A． B． C． D． 17．如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A'，若∠A＝30°，∠BDA'＝80°，则∠CEA'的度数为（    ） A．20° B．40° C．60° D．90° 18．如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 20．如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 21．如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点，点分别在上，点沿折叠后与点重合，则是（    ） A． B． C． D． 【题型3折叠问题线段相关】 22．如图，顶角为，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 23．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 24．如图，在中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．3 D．4 25．如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 26．如图，在中，点是边上一点，，．将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则线段的长度为（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 27．四边形的边长如图所示，，E为边上一动点（不与A，D两点重合），连接，将沿直线折叠，点A的对应点为点F，则点C与点F之间的距离不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 28．如图，在中，，，现将折叠，使点B与点A重合，则BC的长为 ． 29．如图，在Rt中，，cm，现将折叠，使点B与点A重合，则折痕DE的长为 ． 30．如图，点D、E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若的周长为，则线段的长为 ． 【题型4 最值问题】 31．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 32．如图，在直角三角形中，．则： （1）点B到的距离是 ； （2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ． 33．如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 34．如图，在 中，，，平分，，， 分别为 ， 上的动点，则 的最小值是 ． 35．如图，将沿折叠使得恰好落在边上的点处，在上，点在线段上运动，若，，，则的周长的最小值为 ．    36．如图，等腰三角形的面积为12，其中，底边，腰的垂直平分线分别交边、于E、F两点，点M为线段上一动点，点D为的中点，连接、．在点M的运动过程中，的周长的最小值为 ． 37．如图，等腰的底边长为，腰长为，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值     38．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为3，则长度的最小值等于 ． 39．如图，点、点是直线上两点，，点在直线外，，，，若点为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 40．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． ∵， 【题型5 动点问题】 41．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上，且，则________； （2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________； （3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________． 再探： （4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由． （5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由． 42．如图，在中，的平分线交于点．点是边上的一个动点，过点作交边于点．设的度数为． (1)如图，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交的延长线于点． ①_____；（用含的代数式表示） ②当时，求的度数； (2)类比（1）的思路，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交直线于点（点不与点重合），求的度数．（用含的代数式表示） 43．如图，在中，，，交于点D．动点P从点C出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为．    (1)求边上的高； (2)当点P在边上运动时，若是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值． 44．如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，的大小为______． (2)图2，延长，交射线于点． ①请问的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由． ②若，则的面积最大为______，此时______． 45．根据以下所给的材料，解答下面的问题． 材料一：如图1，中，若，则． 材料二：如图2，的内角和外角的平分线交于点，则有结论：．    解答问题： 如图3，点与点坐标轴上，且，满足． (1)求点A（ ， ），B（ ， ）的坐标； (2)C为y轴正半轴上一动点，D为的外角的平分线与的平分线的交点，当，求C点坐标； (3)如图4，C为y轴正半轴上A的上方一动点，P为线段上一动点，连延长交x轴于E，和平分线交于F，在点C在运动过程中，下列结论：①是定值，②是定值；请选择你认为正确的结论，并进行证明；若都不正确，也请说明理由． 46．如图，中，，以顶点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点E，F；再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交边于点G． (1)的度数为____________； (2)若，H是边上一动点，则线段的最小值为____________； (3)若的面积为4，则的面积为____________；（不必写出解答过程） 47．如图，△ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），连接AD． (1)如图1，若BD＝CD，则S△ABD∶S△ACD＝ ； (2)如图2，若AD平分∠BAC，求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC； (3)如图3，若AD平分∠BAC，延长AD到E，使DE＝2AD，连接BE，如果AB∶AC＝3∶2，S△BDE ＝m，直接写出△ABC的面积（用含m的式子表示）． 48．已知的高AD恰好平分边BC，点E是线段AD上一动点． （1）如图1，若，，求的度数为 ； （2）如图2，若，，，求AE的长； （3）如图3，若点P是BA延长线上一点且，，求的值． 49．如图，在三角形ABC中，G为BC边上的一个动点，，，DG平分． (1)如图1，当G点在BF边上时，求证：； (2)如图2，当G在CF边上时，连接GE，若，，求得度数； (3)如图3，在（1）的条件下，若DM平分，交BC于点M，DN平分，交EF于点N，连接NG，若，，求的度数． 50．综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$