第15章 轴对称能力提升卷-【千里马·单元测试卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学(人教版2024)

23.解：(1)∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E, ∴AD=BD,AE=CE.又∵BC=15, ∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=15. (2)∵AD=BD,AE=CE, ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE. ∵∠BAC=128°, ∴∠B+∠C=180°-∠BAC=52°, ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=52°, ∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=128°-52°=76°. 24.解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD, ∴△BCD的周长=BD+DC+BC=AD+CD+BC =AC+BC=8. ∵AB=AC=5,∴.BC=8-5=3. (2)由(1)可知△BCD的周长为AC+BC=5+4=9. 见此图标眼微信扫码 分阶突破智趣成长 25.(1)证明：如答图. ∵ BD平分∠ABC, ∴∠1=∠2. A D ∵AD//BC, 35 ∴∠2=∠3, ∴∠1=∠3, B C 25题答图 ∴AB=AD. ∵AB=AC, ∴AC=AD,∴△ACD为等腰三角形. (2)解：由(1)知∠1=∠2=∠3. ∵∠BAD=140°,∠BAD+∠1+∠3=180°, ∠1=∠2=∠3=2(180°-∠BAD)=20°, ∴∠ABC=40°. ∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=40°. 由(1)知AD=AC, ∴∠ACD=∠ADC=∠BDC+∠3=∠BDC+20°. ∵AD//BC,∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴40°+(∠BDC+20°)+(∠BDC+20°)=180°, ∴∠BDC=50°,∴∠ACD=∠ADC=70°. 26.(1)证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠A=60°. ∵E是AB的中点， AE=BE,∠ECB=2∠ACB=30° ∵AE=BD,∴ BE=BD, ⋯∠EDB=∠DEB= —∠ABC=30°, ∴∠EDB=∠ECB,∴EC=ED. (2)证明：∵EF//BC, ∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°, ∴△AEF为等边三角形. (3)解：EC=ED. 理由：∵∠AFE=60°,∠ABC=60°, ∴∠EFC=∠DBE=120°. ∵AB=AC,AE=AF, ∴AB-AE=AC-AF,即BE=FC. ∵AE=BD,AE=EF,∴ BD=EF. 在△DBE和△EFC中，24 ∴△DBE≌△EFC(SAS),∴EC=ED. 第十五章 能力提升卷 1.A 2.A 3.D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9.D 10.D [解析]当OA为等腰三角形的腰时，以0为圆心， OA为半径画弧，与y轴有两个交点；以A为圆心，0A为 半径画弧，与y轴除点0外还有一个交点；当OA为等腰 三角形的底边时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一 个交点.所以符合条件的点一共有4个. 11.垂直平分 12.3 13.6 14.9 15.10 16.15 17.6 18.35 [解析]如答图，连接AB′,BB′,过 点A作AE⊥CD于点E.∵点B关于 AC的对称点B′恰好落在CD上，AC 垂直平分BB′,∴AB=AB′,∠BAC= ∠B'AC.∵AB= AD,∴ AD = AB'. D E B' O C B 又∵AE⊥ CD,∴∠DAE = ∠B'AE, 18题答图 ∴∠CAE=—∠BAD=55°.又∵∠AEC=90°,∴∠ACB= ∠ACB′=35°. 19.解：∵∠EFG=50°,∴ ∠EFC=130°. 由轴对称的性质，知∠EFC=∠EFC', ∴∠GFC′=∠EFC′-∠EFG=130°-50°=80°. ∵ED'//FC′,∴.∠BGD′=∠GFC′=80°. ∵AE//BG,∴∠1=∠BGD′=80°, ∴∠2=180°-∠1=100°. 20.解：(1)如答图所示，△A?B?C?即为所求. y AI B O CCCJ B Au. 20题答图 (2)A?(0,-4),B?(-2,-2),C?(3,0). (3)7 21.解：(1)∵MN垂直平分BC, ∴DC=BD,CE=EB. 又∵EC=4,: BE=4. 又∵△BDC的周长为18, ∴BD+DC=10, ∴ BD=5. (2)∵∠ADM=60°, ∴∠CDN=60°. 又∵MN垂直平分BC, ∴∠DEC=90°, ∴∠C=30°. 又∵∠DBC=∠C=30°,∠ABD=20°, ∴∠ABC=50°, ∴∠A=180°-∠C-∠ABC=100°. 22.(1)证明：∵AF平分∠DAC, ∴∠DAF=∠CAF. ∵AF//BC, ∴∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB, ∴∠ACB=∠B,∴AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形. (2)解：∵∠ACB=∠B=40°, ∴∠BAC=100°, ∴∠ACE=∠BAC+∠B=140°. ∵CG平分∠ACE, LACG=2∠ACE=70° ∵AF//BC, ∴∠AGC=180°-∠BCG=180°-40°-70°=70°. 23.(1)解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=60°, ∴∠APC=∠BAP+∠B=80°. ∵AP=AQ, ∴∠AQB=∠APC=80°. (2)①解：补全图形如答图所示. ②证明：∵△ABC为等边三角形， A ∴∠B=∠C=∠BAC=60°. ∵AP=AQ, ∴∠APQ=∠AQP, ∴∠APQ-∠B=∠AQP-∠C, B P Q C 即∠PAB=∠QAC. 23题答图 ∵点Q,M关于直线AC对称， ∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM, ∴∠PAB=∠MAC,AP=AM, ∴∠PAM=∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°, ∴△APM为等边三角形， ∴PA=PM. M 24.解：该直升机继续向机场N飞行无危险. 理由：如答图，过点C作CD⊥AN于点D, ∵∠NAC=15°,∠NBC=30°, ∠ACB=15°,CD=—BC, ∴∠ACB=∠NAC, ∴ BC=AB. 由题意可得AB=200 km, ∴BC=200 km,CD=100 km. ∵100>80, ∴该直升机继续向机场N飞行无危险. CD北 东 B A 24题答图 25.解：(1)如答图，延长CD至点E,使DE=CD,连接BE交 AD于点P,则点P就是所作的点. (2)如答图，连接CP,过点E作 EH⊥BA,交BA的延长线于点H. ∵∠DAB=∠ADC=90°, ∴CD//AB, ∴EH=AD=2,∠1=∠3. E D C P 2 3 H A B ∵BC=2CD,CE=2CD, 25题答图 ∴BC=CE, ∴∠1=∠2,∴∠2=∠3. ∵∠ABC=60°,∴∠3=30°. 又∵∠H=90°,∴BE=2HE=2×2=4. 在△PDE和△PDC中， ∴△PDE≌△PDC(SAS),∴PE=PC, ∴PB+PC=PE+PB=BE=4. 故PB+PC的最小值为4. 26.解：(1)作CB的垂直平分线分别交AB,BC于点P,D,连 接PC, ∴PC=PB,∴∠PCB=∠B=30°. ∵∠ACB=90°,∴∠A=60°,∠ACP=60°, ∴∠APC=∠A=∠ACP=60°, ∴△ACP是等边三角形，∴AC=AP=PC, AC=AP=PB= —AB,即AC= —AB. (2)BE=DE.理由如下： F是AB的中点，AF= —AB ∵∠C=90°,∠ABC=30°, AC=2AB,∠CAB=60°,.AC=AF ∵△ADE是等边三角形， ∴AD=AE=DE,∠EAD=60°, ∴∠CAB=∠DAE, ∴∠CAB-∠3=∠DAE-∠3,即∠1=∠2. ·44· 八年级(上册) 在△ACD和△AFE中， ∴△ACD≌△AFE(SAS), ∴∠C=∠AFE=90°,∴.EF⊥AB. ∵F是AB的中点， ∴EF是AB的垂直平分线，∴ AE=BE,.BE=DE. (3)BE=DE.理由如下： 取AB的中点F,连接EF, AF=—AB ∵∠C=90°,∠ABC=30°, AC=—AB,∠CAB=60°,AC=AF. ∵△ADE是等边三角形， ∴AD=AE=DE,∠EAD=60°, ∴∠CAB=∠DAE, ∴∠CAB+∠BAD=∠DAE+∠BAD, 即∠CAD=∠BAE. 在△ACD和△AFE中， 5= ∴△ACD≌△AFE(SAS), ∴∠C=∠AFE=90°,∴EF⊥AB. ∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线， ∴AE=BE,∴BE=DE. 期中综合测试卷 1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.D 8.A 9.B 10.C 11.有两个锐角互余的三角形是直角三角形 12.-2 13.9 14.AC=DF(答案不唯一) 15.(1.5,1) 16.75 17.或6 18.①②③④ 19.解：如答图，△A'B'C′即为所求. 关于x轴对称的点的坐标分别为A”(-3,-2), B”(-4,3),C"(-1,1). 4y 3? A -2 4' -4 -3-21 0 2 3 C LBL 3 B' 19题答图 20.证明：在Rt△ABD和 Rt△CAE中，D=c6 ∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL), ∴∠ABD=∠CAE. ∵∠DAB+∠ABD=90°, ∴∠DAB+∠CAE=90°, ∴∠BAC=90°,∴AB⊥AC. 21.证明：∵点0在∠BAC的平分线上，BD⊥AC,CE⊥AB, ∴OE=OD,∠BEO=∠CDO=90°. 在△BEO和△CDO中， ∴△BEO≌△CDO(ASA), ∴OB=0C. 22.证明：∵DE//AB, ∴∠DEC=∠ABC. 在△ABC和△CED中， ∴△ABC≌△CED(AAS), ∴AB=EC. 23.解：∵在△ABC中，∠B=66°,∠C=54°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-66°-54°=60°. ∵AD平分∠BAC, ∠BAD= —∠BAC=2×60°=30°, ∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-30°-66°=84°, ∴∠ADC=180°-∠ADB=180°-84°=96°. ∵DE平分∠ADC, ∠ADE=2∠ADC=2×96°=48°, ∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=84°+48°=132°. 24.证明：(1)∵∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE, ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE, 即∠DBC=∠ECB, ∴OB=OC. (2)∵AD=AE,∴ ∠AED=∠ADE, ∠AED=—(180°-∠A)=90°-—∠4. ∵∠ABC=∠ACB, ∠ABC=—(180°-∠A)=90°-—∠A, ∴∠AED=∠ABC,∴ED//BC, ∴∠EDB=∠DBC. ∵ED=EB,∴ ∠EDB=∠EBD, ∴∠EBD=∠DBC,∴ BD平分∠ABC. 25.解：如答图. ∵A'F⊥BD,AC⊥BD, B ∴∠ACB=∠A'FB= 2 90°, C A A' 3.∴∠1+∠3=90°. F ∵A'B⊥AB, ∴∠1+∠2=90°, 地面- H D E ∴∠2=∠3. 25题答图 在△ACB和△BFA'中， ∴△ACB≌△BFA'(AAS),∴A'F=BC. ∵BD=2.5m,AE=CD=1.5m, ∴BC=BD-CD=2.5-1.5=1(m), ∴A'F=1m,即点A'到BD的距离A'F为1m. 26.解：(1)∵△ABC是等边三角形，PQ//AC, ∴∠BQP=∠C=60°,∠BPQ=∠A=60°, ∴△BPQ是等边三角形，∴BP=BQ. 由题意可知AP=t,则BP=9-t, ∴9-t=6, 解得t=3. (2)易知当点Q在边BC上时，△APQ不可能为等边三 角形. 当点Q在边AC上时，如答图. 要使△APQ为等边三角形， A 则AP=AQ. 由题意可知 BC+CQ=2t, PA Q ∴AQ=BC+AC-(BC+CQ) B C =9+9-2t=18-2t. 26题答图 又∵AP=t,∴18-2t=t,解得t=6, ∴当t=6时，△APQ为等边三角形. 数学 第十六章 基础测试卷 1.B 2.A 3.C 4.A 5.B 6.B 7.A 8.A 9.A 10.A 11.2 12.-36 13.16 14.(a-b)2=a2-2ab+b2 15.2 16.2 17.622B2+4ab3 18.129 19.解：(1)原式=9x?+x?=10x?. (2)原式=4a2-9b2-(a2-6ab+9b2) =3a2+6ab-18b2. 20.解：4"=2?=5,8”=23=3,3"=4. (1)2+3=2·2=5×3=15. (2)2-=2“=2=(2)2÷(2”)2=2 (3)12?=(3×4)2?=3?×42?=(3")2×(4")2=42× 52=16×25=400. 21.解：(1)(ax-3)·(2x+4)-x2-b =2ax2+4ax-6x-12-x2-b =(2a-1)x2+(4a-6)x+(-12-b). ∵化简后不含x2项和常数项， ∴2a-1=0,-12-b=0, a=2,b=-12 (2)原式=4a2+4ab+b2-a2+4b2-3a2+3ab =7ab+5b2. 当a=2,b=-12时， 原式=7×÷×(-12)+5×(-12)2=678. 22.解：(1)原式=4ab3÷4ab-8a2b2÷4ab+4a2-b2 =b2-2ab+4a2-b2 =4a2-2ab. ∵(a-2)2+|b-1|=0, ∴a-2=0,b-1=0, 解得a=2,b=1, ∴原式=4×22-2×2×1=12. (2)原式=[(x2+4xy+4y2)-(x2-4xy+4y2)-(x2 -4y2)-4y2]÷2x =(x2+4xy+4y2-x2+4xy-4y2-x2+4y2-4y2)÷2x =(-x2+8xy)÷2x 2+4y 当x=-2,y=2时， 原式=-2×(-2)+4×2=1+2=3. ·45· 八年级(上册) 数学 考号 班级_ 装订⋯⋯ 姓名 线⋯⋯内⋯'不要-⋯- 答⋯'题⋯⋯ 第十五章 能力提升卷 [答案：P44] 答题卡 【考查范围：轴对称】 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.[传统文化]三门石窗是浙江省的传统工艺.下列石窗图案 中，不能看作轴对称图形的是 ( ) A B C D 2.若等腰三角形的一边长为3cm,周长为13cm,则这个等腰三 角形的腰长为 ( ) A.5 cm B.3cm C.5 cm或3cm D.不确定 题 号 一 二 三 总 分 得 分 3.下列定理有逆定理的是 ( ) A.对顶角相等 B.全等三角形的对应角相等 C.同角的余角相等 D.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 4.如图，直线a//b,等边三角形ABC的顶点B在直线b上.若 ∠1=34°,则∠2等于 ( ) A.84° B.86° C.94° D.96° A 0 B a. 1 D C A p米 2 A C b- B A' Q* 4题图 5题图 6题图 5.新情境如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点0旋转了 86°,小孩的位置也从A点运动到了A'点，则∠OA'A的度数 为 ( ) A.33° B.37° C.43° D.47° 6.如图，在△ABC中，分别以点A,C为圆心，大于4C的长为 半径画弧，两弧交于点P,Q,作直线PQ交AB于点D,连接 CD.若∠A=35°,∠B=95°,则∠BCD的度数为 ( ) A.10° B.15° C.20° D.25° 7.如图，A,B,C三个居民小区的位置呈三角形分布，现决定在 三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离 分别相等，则超市应建在 ( ) A.AC,BC两边高的交点处 B.AC,BC两边中线的交点处 C.AC,BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A,∠B两角平分线的交点处 A yL B Q o x BC c 7题图 8题图 8.如图，在平面直角坐标系中，有点A(-2,4)和点B(4,2),在 x 轴上取一点P,使点P到点A和点B的距离之和最小，则点 P的坐标是 ( ) A.(-2,0) B.(4,0) C.(2,0) D.(0,0) 9.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角 形的底角为 ( ) A.30°或60° B.75° C.30° D.75°或15° 10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,-2),在y轴上确定 一点P,使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.小军做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH,ED=FD,则 DH是EF的____线. D MA E F D C D H C4 N B A- E B 11题图 13题图 14题图 12.已知点A(a,5)与点B(2,b)关于y轴对称，则a+b=___. 13.如图，△ABC的边 BC的垂直平分线MN交AC于点D,若 △ADB的周长是10cm,AB=4cm,则AC=_____cm. 14.如图，在三角形纸片ABC中，AB=8cm,BC=5cm,AC=6cm, 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点 E处，折痕为BD,则△AED的周长等于_____cm. 15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,点E是线 段BC延长线上的一点，连接AE,点C在AE的垂直平分线 上.若DE=10,则AB+BD=_______ A B D C E A D< B C 15题图 16题图 16.(辽宁大连期中)如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB,BD =AB,则∠DCB=_____。. 17.如图，∠AOB=30°,OC为∠AOB内部一条射线，P为射线 OC上一点，OP=6,点M,N分别为OA,OB边上的动点，则 △MNP周长的最小值为________ A M C P 0 N -B 17题图 D B′ A C B 18题图 18.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,点B关于AC的对称点 B′恰好落在CD上，若∠BAD=110°,则∠ACB的度数为_______。. 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.(本题6分)如图，将一个长方形沿EF折叠后，点D,C分别 落在点D',C′的位置上，ED′和BC的交点为点G,若 ∠EFG=50°,求∠1,∠2的度数. A 19E D 2 B D'C F C C' 19题图 ·11· 见此图标眼微信扫码 分阶突破智趣成长 20.(本题6分)如图，已知A(0,4),B(-2,2),C(3,0). (1)作△ABC关于x轴对称的△A?B?C?; (2)写出点A?,B?,C?的坐标； (3)△A?B?C?的面积为______ y A B o C x 20题图 21.(本题6分)如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边 于点D,连接BD. (1)若CE=4,△BDC的周长为18,求BD的长； (2)若∠ADM=60°,∠ABD=20°,求∠A的度数. M A D B E C IN 21题图 22.(本题8分)如图，已知AF是△ABC的外角∠DAC的平分 线，AF//BC,CG是△ABC的外角∠ACE的平分线，AF与CG 相交于点G. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)若∠B=40°,求∠AGC的度数. D A G F B C E 22题图 23.(本题8分)新考法已知△ABC是等边三角形. (1)如图①,P,Q是BC边上两点，AP=AQ,∠BAP=20°.求 ∠AQB的度数； (2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点 P在点Q的左侧，且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称 点为M,连接AM,PM. ①依题意将图②补全； ②求证：PA=PM. A B C 4 B P Q C 23题图① 23题图② 24.(本题10分)某市发生地震后，为了抢救伤员，一架救援直 升机从该市A地起飞，运送一批地震伤员沿正北方向到机 场N,如图.上午8时，直升机从A地出发，以200 km/h的速 度向正北方向飞行，9时到达B地，此时，机场的导航站传 来信息：在C处有一座高山，因受天气影响，高山周围80km 内能见度低，飞行时会遇到危险.经测量得∠NAC=15°, ∠NBC=30°.问：该直升机继续向机场N飞行是否有危险， 请说明理由. C IN北 →东 B A 24题图 25.(本题10分)如图，在四边形ABCD中，AD=2,∠A=∠D= 90°,∠B=60°,BC=2CD. (1)作图：在AD上找一点P,使PC+PB的值最小； (2)求PC+PB的最小值. D C A B 25题图 26.(本题12分)【问题探究】如图①,在Rt△ABC中，∠ACB= 90°,∠ABC=30°,为探究Rt△ABC中30°角所对的直角边AC 与斜边AB的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线. (1)请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②,在Rt△ABC中，∠C=90°,∠ABC= 30°,点D在线段CB上，以AD为边作等边三角形ADE,连 接BE,为探究线段BE与DE之间的数量关系，组长已经添 加了辅助线：取AB的中点F,连接EF. (2)线段BE与DE之间的数量关系为________,并说明理由； 【探究应用2】如图③,在Rt△ABC中，∠C=90°,∠ABC= 30°,点D在线段CB的延长线上，以AD为边作等边三角形 ADE,连接BE. (3)线段BE与DE 之间的数量关系为____,并说明理由. A E E A 2 P 1 3 F A c二 D B C D B C B D 26题图① 26题图② 26题图③ 眼 抖音/微信 扫码解锁 ◎AI伴学老师 ◎基础打扎实 ◎方法速掌握 ◎难点秒突破 ·12·