精品解析：福建省部分优质高中2025-2026学年高三上学期入学质量检测数学试题

2025~2026学年第一学期福建省部分优质高中高三年级入学质量检测 数学试卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，求出共轭复数即可判断对应点所在象限. 【详解】因为 所以，共轭复数对应的点坐标为，位于第四象限， 故选：D. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，，再根据交集的定义求解即可. 【详解】解：因为，， 所以. 故选：D. 3. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的概念结合平面向量数量积的坐标表示及模长公式计算即得. 【详解】因向量在向量上的投影向量是，则， 故，于是. 故选：B. 4. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 5. 已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得点的坐标，由此建立方程组求出即可求出离心率. 【详解】由，得，由，，不妨令， 由A为双曲线C上的一点，得，又，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：B 6. 福建省平潭综合实验区某中学全体学生参加了一场主题为“印象最美平潭岛”的家乡文化知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，绘制出如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有850人 B. 直方图中的值为0.025 C. 估计全体学生成绩的样本数据的分位数约为95 D. 估计全体学生成绩的中位数为85 【答案】C 【解析】 【分析】根据直方图估计区间内的学生人数判断A；由频率和为1求参数值判断B；应用百分数、中位数的定义求样本数据的分位数和中位数判断C、D. 【详解】由图，可得，B错； 成绩在区间内的学生有人，A错； 由图知，样本数据的分位数在区间内，设为，则，可得，C对； 由图知，样本数据的中位数在区间内，设为，则，可得，D错； 故选：C 7. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求. 【详解】取、的中点、，连接、、， 则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则， ，得，， 在直角梯形中，，则， 则正四棱台的体积为. 故选：A. 8. 已知数列满足，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 是递增数列 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，，两式相减求出数列的通项公式，再结合对数的运算性质判断ABD，设，记，利用导数可得在上恒成立，进而利用放缩判断C. 【详解】因为， 所以, 两式相减得，则， 则，所以，A说法错误； ，，而，故B说法正确； 设，记，则 故，即在上恒成立， 所以，故C错误； ， 所以，故不是递增数列，D说法错误； 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确是（   ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于ABD，可以利用赋值法即可验算；对于C，直接利用二项式定理即可判断. 【详解】对于A，因为， 令可得，故A正确； 对于B，令可得，所以，故B不正确； 对于C，展开式的通项为，所以，故C不正确； 对于D，由通项可知，所以， 令可得，即，故D正确. 故选：AD. 10. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【详解】依题意，且，则在第二象限，在第一象限，且， 由消去，得，则， 于是，B错误； ，而，解得，A正确； 抛物线，，， 因此，，，C正确； 直线与轴交于点，， ，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 与的奇偶性相同 B. 曲线关于直线对称 C. 的最小正周期是最小正周期的2倍 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义可以判断出其奇偶性可判断A，利用抽象函数的对称性区证明即可判断B选项，求出的最小正周期再去验证是否满足即可判断, 【详解】因为，， 所以与均为偶函数，A正确. 因为，所以曲线关于直线对称，B正确. 因为，所以的最小正周期为， 又，所以的最小正周期不是，C错误 由，得， 所以在上单调递增，则在上单调递减，D正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列的前项和为，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件，结合等比数列的前n项公式，可得到公比；再用等比数列的前n项公式可得到答案. 【详解】（1）当公比为1，则，不符合题意，舍去； （2）当公比不1，，解得：， 所以：． 故答案为：. 13. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 14. 设函数，若，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由得到恒成立，可得恒成立，分别令，，通过求导确定单调性，得出最值即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 要使得恒成立，即恒成立， 只需恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以上单调递增，且， 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 所以，从而， 则，又，得， 所以由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值，即， 设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为1，即， 所以只需，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前n项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等比中项可得，即可得公差和通项公式； （2）由题意可得，利用裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为成等比数列，则， 且，则，即，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 设数列的前n项的和为， 因为，则， 所以. 16. 在中，内角的对边分别为.已知. （1）求角的大小； （2）已知.求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和的余弦公式化简结合二倍角的余弦公式即可求出的值，进而可求角； （2）由余弦定理可得，再利用三角形面积公式即可求出. 【小问1详解】 因为， 即，解得或. 因为在中，， 所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理， 得， 整理得， 由，解得， 所以的面积为. 17. 已知椭圆：，点在椭圆上.椭圆上关于原点对称的任意两个不与点重合的点、和点连线的斜率之积为. （1）求椭圆的方程； （2）若一条斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，且线段的中点的纵坐标为，过作直线.定点到直线的距离记为，求的最大值并求出对应的直线的方程. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）设且，根据，及点在椭圆上求椭圆参数值，即可得方程； （2）设，，点差法得，进而得到，则，最后由求参数，直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，应用点线距离公式求的最大值. 【小问1详解】 设且，则， 所以， 又在椭圆上，即，可得， 所以， 由在椭圆上，即，即，故，可得， 综上，椭圆方程为； 【小问2详解】 由题意，直线的斜率存在，设，， 由，，作差得， 整理有， 因为线段的中点，则且， 所以，可得，故， 所以直线，即，过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 由，而，可得，经检验满足题设， 所以的最大值为，直线. 18. 如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，且为的中点，得到，再由平面，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由为的中点，得到，再由（2）平面的法向量为，结合向量的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：在中，因为，且为的中点，所以， 在矩形中，因为和分别为和的中点，可得， 因为平面，且平面，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面. 【小问2详解】 解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以； 因为平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 【小问3详解】 解：因为为的中点，可得，所以， 由（2）知，平面的法向量为， 设点到平面的距离为，则. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，设的两个零点为，求证：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再求切线方程即可； （2）求出导函数，讨论、，分别根据导函数符号分析函数的单调性即可； （3）结合（2）易得是是的一个较小的零点，不妨设，要证，只需证，转化问题为证，进而构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 因为函数， 所以，当时，， 则，即，， 故当时，曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 由， 则， 当时，，在上， 所以在递减； 当，， 令，则； 令，则， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 当时，， 由（2）知在上单调递增，在上单调递减， 又，是的一个较小的零点，不妨设， 要证，只需证， 因为，且在上单调递减， 从而只需证即可. ， 令， ，在上单调递增. ，即，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期福建省部分优质高中高三年级入学质量检测 数学试卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 4. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 1 6. 福建省平潭综合实验区某中学全体学生参加了一场主题为“印象最美平潭岛”的家乡文化知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，绘制出如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有850人 B. 直方图中的值为0.025 C. 估计全体学生成绩的样本数据的分位数约为95 D. 估计全体学生成绩的中位数为85 7. 如图，正四棱台，上下底面中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，，则下列选项正确是（ ） A. B. C. D. 是递增数列 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 10. 设抛物线焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 11. 已知函数，则（ ） A. 与的奇偶性相同 B. 曲线关于直线对称 C. 的最小正周期是最小正周期的2倍 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列的前项和为，，，则__________． 13. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 14. 设函数，若，则的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前n项的和. 16. 在中，内角的对边分别为.已知. （1）求角的大小； （2）已知.求面积. 17. 已知椭圆：，点在椭圆上.椭圆上关于原点对称任意两个不与点重合的点、和点连线的斜率之积为. （1）求椭圆的方程； （2）若一条斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，且线段的中点的纵坐标为，过作直线.定点到直线的距离记为，求的最大值并求出对应的直线的方程. 18. 如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，设的两个零点为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $