精品解析：辽宁省重点高中联合体2024-2025学年高一下学期7月期末检测数学试题

辽宁省2024—2025学年度（下）重点高中联合体高一年级期末检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则C和a的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为（ ） A. 75 B. 150 C. 200 D. 400 5. 将函数图象上的每个点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，并将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，，则面积的最大值为（ ）． A. 1 B. C. 3 D. 2 7. 如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（ ） A. B. 1013 C. D. 1012 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（ ） A. 平行关系在直观图与原图中保持不变 B. 斜二测画法不会改变边长比例 C. 斜二测画法会改变直角关系 D. 通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 10. 已知复数，是方程的两个根，且在复平面内，对应的点在对应的点的上方，为坐标原点，则（ ） A B. C. D. 11. 已知，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知边长为4的菱形的一个内角为，则_____． 14. 如图，在三棱锥中，D为BC的中点，平面平面ABC，，，，三棱锥的体积为，则锐二面角的正切值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，. （1）若⊥，求的值； （2）若，且与的夹角为锐角，求的取值范围. 16. 如图，已知正四面体，分别是棱的中点． （1）证明：四边形为菱形； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 在中，A锐角，且. （1）求B； （2）设P是所在平面内一点，A，P位于直线BC两侧，若，且，求四边形的面积. 18. 已知函数. （1）若，求的最小正周期； （2）若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 19. ①斜圆锥，顾名思义，即圆锥锥体中轴线被拉斜后所形成锥体.保持圆锥的顶点到圆锥底面的距离不变，将顶点位置改变后，所得到的锥体即为斜圆锥. ②祖暅原理指出：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等. （1）如图，已知圆柱的上底面圆心为，下底面圆心为，圆锥的顶点为，底面与圆柱的下底面相同. 是圆柱的上底面圆周上一点，将与圆柱下底面圆周上的点相连，记构成的封闭几何体为斜圆锥. 是平行于圆柱底面且与圆柱有交点的平面，A，B是圆柱下底面圆周上的两点，. （i）证明：； （ii）证明：截所得的图形为圆面； （2）已知斜圆锥的底面半径为，底面中心与顶点的连线长度为，且其与底面所成的角为，求该斜圆锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省2024—2025学年度（下）重点高中联合体高一年级期末检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】计算得到，在复平面内对应的点为，得到所在象限. 【详解】，故z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式列式求解. 【详解】依题意，. 故选：C 3. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则C和a的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】由三角形内角和可得， 由正弦定理可得，解得. 故选：D. 4. 已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为（ ） A. 75 B. 150 C. 200 D. 400 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形弧长及面积公式列式求解. 【详解】设该扇形的弧长、半径分别为l，r，则，解得， 所以该扇形的面积为. 故选：C 5. 将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，并将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移的规则进行求解即可. 【详解】将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度， 再向上平移个单位长度，函数解析式变为； 将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍， 可得函数的图象. 故选：B. 6. 在中，已知，，则面积的最大值为（ ）． A. 1 B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理结合基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】由题意可得，，设，， 由余弦定理可得， 所以，可得，当且仅当时取等号， 所以， 故面积的最大值为． 故选：B． 7. 如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直三棱柱条件，可判断为等腰三角形，进而可求出点P到直线的距离. 【详解】因为，，点P为棱的中点， 所以， 所以，， 所以为等腰三角形. 设点P到直线AB的距离为h，因为，， 则. 故选：A. 8. 已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（ ） A. B. 1013 C. D. 1012 【答案】A 【解析】 【分析】画出在区间内的图象，可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，从而得到，求出答案. 【详解】当时，，当时，，当时，，…， 由题意及曲线在区间内的图象， 可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同， 所以需满足，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（ ） A. 平行关系在直观图与原图中保持不变 B. 斜二测画法不会改变边长比例 C. 斜二测画法会改变直角关系 D. 通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 【答案】AC 【解析】 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可． 【详解】对于选项A，根据斜二测画法的规则，平行关系在直观图与原图中保持不变，故选项A正确； 对于选项B，斜二测画法可能会改变边长比例，故选项B错误； 对于选项C，斜二测画法会改变直角关系，故选项C正确； 对于选项D，直观图的面积是原图面积的，故选项D错误． 故选：AC． 10. 已知复数，是方程的两个根，且在复平面内，对应的点在对应的点的上方，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，计算出方程的两根，从而得到；A正确；B选项，，利用向量数量积公式计算；C选项，计算得到，利用模长公式进行求解；D选项，计算出，利用复数的乘方运算法则求解. 【详解】A选项，方程判别式， 的两根为， 两根对应的点分别为，故，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，，， 故，C正确； D选项，，故，D正确. 故选：ACD 11. 已知，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正切的和角公式可得，把表示成关于的函数，进而可求出的范围，转化即可得到的范围. 【详解】由题可得， 整理得，所以， 所以， 又因为， 所以. 记，则， 解得， 故可能取值有，. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】10 【解析】 【分析】利用诱导公式可求得，利用诱导公式与同角三角函数的商数关系化简即可. 详解】由正切函数诱导公式可得， 故. 故答案为：10 13. 已知边长为4的菱形的一个内角为，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义即可求解． 【详解】由题可知，或， 若，则， 若，则， 故答案为：或． 14. 如图，在三棱锥中，D为BC的中点，平面平面ABC，，，，三棱锥的体积为，则锐二面角的正切值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点P作，垂足为E，根据面面垂直，线面垂直及线线垂直的性质得到为二面角的平面角，再结合锥体的体积公式及勾股定理即可求解． 【详解】如图，在平面PAD内，过点P作，垂足为E， 因为平面平面ABC， 又平面平面，平面PAD， 所以平面ABC， 又因为平面ABC， 所以， 因为，即， 又，PD，平面PAD， 所以平面PAD， 又因为平面PAD， 所以， 又因为， 所以为二面角的平面角， 因为三棱锥体积，解得， 由勾股定理可得， 所以二面角的正切值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，. （1）若⊥，求的值； （2）若，且与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直得到数量积0，得到，齐次化变形，代入求值； （2）计算出，利用夹角为锐角，得到且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ⊥，故， 故， ； 【小问2详解】 ，，， 与的夹角为锐角，故， 解得， 且与不同向共线，即，即， 综上，且； 16. 如图，已知正四面体，分别是棱的中点． （1）证明：四边形为菱形； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用中位线即可求证四边形为平行四边形，再求证即可； （2）根据异面直线所成角的定义找出或其补角为所求角，在中利用余弦定理求得即可. 【小问1详解】 由题知，为的中位线，是的中位线， 所以，且，，且， 故，且，故四边形为平行四边形， 又是的中位线，则， 因为在正四面体中，，所以，故四边形为菱形． 小问2详解】 因为，所以或其补角为异面直线与所成的角， 设正四面体的棱长为，则，， 在中，利用余弦定理得，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 17. 在中，A是锐角，且. （1）求B； （2）设P是所在平面内的一点，A，P位于直线BC两侧，若，且，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式化简即可求得结果； （2）本题可先判断和的形状，再结合已知条件求出相关角度，最后计算和的面积，即求得结果. 【小问1详解】 依题意得，故. 在中，，，， 所以， 所以，故. 【小问2详解】 由（1）知，，因为， 所以，且点B为的外接圆的圆心，圆的半径为2. 由正弦定理得，，解得. 因为，所以， 故. 故的面积为， 的面积为， 所以四边形的面积为. 18. 已知函数. （1）若，求的最小正周期； （2）若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据正切型函数最小正周期的计算公式直接计算即可； （2）根据正切型函数的定义域与对称中心直接计算. 【小问1详解】 当时，， 易得的最小正周期； 【小问2详解】 （i）当时，，， 若函数在区间上有定义，则， 解得，故的最大值为； （ii）函数的对称中心满足，， 解得，， 其图象至少有两个对称中心在区间上， 则在区间上至少有两解， 故至少存在两个值使， 故至少有，两个取值， 所以，综上，的取值范围为. 19. ①斜圆锥，顾名思义，即圆锥锥体中轴线被拉斜后所形成的锥体.保持圆锥的顶点到圆锥底面的距离不变，将顶点位置改变后，所得到的锥体即为斜圆锥. ②祖暅原理指出：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等. （1）如图，已知圆柱的上底面圆心为，下底面圆心为，圆锥的顶点为，底面与圆柱的下底面相同. 是圆柱的上底面圆周上一点，将与圆柱下底面圆周上的点相连，记构成的封闭几何体为斜圆锥. 是平行于圆柱底面且与圆柱有交点的平面，A，B是圆柱下底面圆周上的两点，. （i）证明：； （ii）证明：截所得的图形为圆面； （2）已知斜圆锥的底面半径为，底面中心与顶点的连线长度为，且其与底面所成的角为，求该斜圆锥的体积. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)（ⅰ）利用面面平行的性质定理可以证得，根据平行线分线段成比例得到，即可得证； （ii）同（ⅰ）类似，记，则可以证明,从而得到，即可得证； (2)设，圆柱的高为， 由（1）知， 从而可以说明斜圆锥、圆锥分别与平面的截面圆半径相同，再由祖暅原理将的体积转化为的体积进行计算. 【小问1详解】 （ⅰ）由题可知平面平面OAB，且平面平面. 又因为，即平面，所以. 由于平行线分线段成比例，所以，即. （ii）如图，连接，记，连， 因为，，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，于是有， 同理可得，所以，又，所以， 由于是圆柱下底面圆周上的任意两点，故结论具有一般性，所以截所得的图形是以为圆心的圆面. 【小问2详解】 不妨去除斜圆锥的顶点在圆柱上底面圆周的限制，保留在圆柱上底面所在平面内，则即为（2）中所述的斜圆锥. 记，圆柱的高为. 则与（1）类似可得 令，根据相似可得平面截圆锥所得的圆的半径为， 又，所以在圆锥中，截所得的圆的半径同样为. 由于在区间上可以任意取值，故不同高度的平面截所得的圆其面积始终等于截所得的圆的面积， 又斜圆锥与圆锥的高度均为，根据祖暅原理可知：斜圆锥与圆锥的体积相等. 由于圆锥的体积为，其中是顶点到底面的距离，且， 故，所以斜圆锥的体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$