第一章 第8节 空间距离（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第8节　空间距离 第一章　立体几何与空间向量 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(8) 温馨提示 谢谢观看！ 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题． 2．通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 一、点P到直线l的距离 如图1，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设 eq \o(AP,\s\up16(→))＝a，则向量 eq \o(AP,\s\up16(→))在直线l上的投影向量 eq \o(AQ,\s\up16(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝_____________． 图1 eq \r(a2－（a·u）2) 二、点P到平面α的距离 如图2，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是 eq \o(AP,\s\up16(→))在直线l上的投影向量 eq \o(QP,\s\up16(→))的长度．因此PQ＝______________＝____________. 图2 | eq \o(AP,\s\up16(→))· eq \f(n,|n|)| eq \f(|\o(AP,\s\up16(→))·n|,|n|) 三、两条平行直线间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离． 四、直线与平面、平面与平面之间的距离均可转化为点到平面的距离，用求点到平面的距离的方法求解： 直线a与平面α之间的距离d＝ eq \f(|\o(AB,\s\up16(→))·n|,|n|)，其中A∈a，B∈α，n是平面α的法向量． 两平行平面α，β之间的距离d＝ eq \f(|\o(AB,\s\up16(→))·n|,|n|)，其中A∈α，B∈β，n是平面α，β的法向量． 一、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第一册P34例6改编)已知平面ABC的一个法向量为n＝(1，2，1)，向量 eq \o(AF,\s\up16(→))＝(0， eq \f(1,2)，0)，则点F到平面ABC的距离为________________． 答案： eq \f(\r(6),6)　解析：由题意，点F到平面ABC的距离为 eq \f(|\o(AF,\s\up16(→))·n|,|n|)＝ eq \f(|（0，\f(1,2)，0）·（1，2，1）|,\r(6))＝ eq \f(\r(6),6). 2．(人教A版选择性必修第一册P35T1改编)已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝( eq \f(\r(2),2)，0， eq \f(\r(2),2))为l的一个单位方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为________________. 答案： eq \f(\r(2),2)　解析：因为 eq \o(PA,\s\up16(→))＝(－2，0，－1)，且n＝( eq \f(\r(2),2)，0， eq \f(\r(2),2))为l的一个单位方向向量，故点P到直线l的距离为d＝ eq \r(|\o(PA,\s\up16(→))|2－（\o(PA,\s\up16(→))·n）2)＝ eq \r(5－（－\r(2)－\f(\r(2),2)）2)＝ eq \f(\r(2),2). 二、易误易混澄清 1．(点到直线的距离公式记错)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形A1ABB1的中心，E为棱BC的中点，则点O到直线A1E的距离为________________． 答案： eq \f(\r(2),3)　解析：以点D为坐标原点， eq \o(DA,\s\up16(→))， eq \o(DC,\s\up16(→))， eq \o(DD1,\s\up16(→))分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A1(2，0，2)，O(2，1，1)，E(1，2，0)，所以 eq \o(A1O,\s\up16(→))＝(0，1，－1)， eq \o(A1E,\s\up16(→))＝(－1，2，－2)，所以cos 〈 eq \o(A1O,\s\up16(→))， eq \o(A1E,\s\up16(→))〉＝＝ eq \f(2＋2,\r(2)×3)＝ eq \f(2\r(2),3).因为〈 eq \o(A1O,\s\up16(→))， eq \o(A1E,\s\up16(→))〉∈[0，π]，所以sin 〈 eq \o(A1O,\s\up16(→))， eq \o(A1E,\s\up16(→))〉＝ eq \f(1,3)，所以点O到直线A1E的距离为|A1O|sin 〈 eq \o(A1O,\s\up16(→))， eq \o(A1E,\s\up16(→))〉＝ eq \r(2)× eq \f(1,3)＝ eq \f(\r(2),3). 2．(点到平面的距离公式忽略绝对值出错)已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(x，3，0)在平面α内，点P(－2，1，4)到平面α的距离为 eq \f(10,3)，则x＝________________． 答案：－1或－11　解析：由题可知 eq \o(PA,\s\up16(→))＝(x＋2，2，－4)，则点P到平面α的距离d＝ eq \f(|\o(PA,\s\up16(→))·n|,|n|)＝ eq \f(10,3)，则 eq \f(|－2（x＋2）－4－4|,\r(4＋4＋1))＝ eq \f(10,3)，解得x＝－1或x＝－11. 考点一　点到直线的距离 [例1] 如图，在四棱锥P­ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为(　　) A．2 eq \r(3) B．2 eq \r(5) C． eq \r(2) D．4 解析：方法一(几何法)　如图，取PA的中点M，连接BM，CM. 因为PB⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC．又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA．因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA．又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM.又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离．在等腰Rt△PBA中，BM＝ eq \f(\r(2),2)PB＝2 eq \r(2). 在Rt△CBM中，CM＝ eq \r(BM2＋BC2)＝ eq \r(8＋4)＝2 eq \r(3)，故点C到直线PA的距离为2 eq \r(3). 方法二(向量法)　如图，以B为坐标原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，4，0)，P(0，0，4)，故 eq \o(PC,\s\up16(→))＝(2，0，－4)， eq \o(PA,\s\up16(→))＝(0，4，－4)，所以PC在PA上的投影为d＝ eq \f(|\o(PA,\s\up16(→))·\o(PC,\s\up16(→))|,|\o(PA,\s\up16(→))|)＝ eq \f(16,4\r(2))＝2 eq \r(2)，故点C到直线PA的距离h＝＝ eq \r(20－8)＝2 eq \r(3)，即点C到直线PA的距离为2 eq \r(3). 向量法求点线距的求解步骤 (1)直线的单位方向向量a； (2)所求点到直线上一点的向量 eq \o(PP′,\s\up16(→))及其在直线的方向向量a上的投影向量； (3)代入公式． 训练1 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD．若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为(　　) A． eq \f(13,5) B． eq \f(13,7) C． eq \f(15,7) D． eq \f(16,7) 解析：如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，则 eq \o(BP,\s\up16(→))＝(－3，0，1)， eq \o(BD,\s\up16(→))＝(－3，4，0)，故点P到直线BD的距离 d＝ eq \r(|\o(BP,\s\up16(→))|2－（\f(\o(BP,\s\up16(→))·\o(BD,\s\up16(→)),|\o(BD,\s\up16(→))|)）2) ＝ eq \r(10－（\f(9,5)）2)＝ eq \f(13,5)，所以点P到直线BD的距离为 eq \f(13,5). 考点二　直线到直线的距离 [例2] 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则异面直线AC与BC1之间的距离是(　　) A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(\r(7),7) C． eq \f(\r(6),6) D． eq \f(6,7) 解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，C1(0，1，3)，∴ eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－2，1，0)， eq \o(BC1,\s\up16(→))＝(－2，0，3).设 eq \o(AC,\s\up16(→))和 eq \o(BC1,\s\up16(→))的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，则即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋y＝0，,－2x＋3z＝0，))令x＝3，可得n＝(3，6，2)，∵ eq \o(AB,\s\up16(→))＝(0，1，0)，∴异面直线AC与BC1之间的距离d＝ eq \f(|\o(AB,\s\up16(→))·n|,|n|)＝ eq \f(6,7). 向量法求两异面直线间的距离 (1)在两直线上各取一点构成一个向量 eq \o(AB,\s\up16(→))； (2)求两直线的公垂线的单位方向向量u； (3)求两异面直线间的距离| eq \o(AB,\s\up16(→))·u|. 训练2 如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为________________． 答案： eq \f(\r(3),3)　解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(1，0，1)，C1(0，1，1).设P(x，0，1－x)，0≤x≤1，连接A1P，则 eq \o(A1P,\s\up16(→))＝(x－1，0，－x)， eq \o(A1C1,\s\up16(→))＝(－1，1，0)，∴动点P到直线A1C1的距离d＝＝ eq \r(（x－1）2＋（－x）2－|\f(1－x,\r(2))|2)＝ eq \r(\f(3,2)x2－x＋\f(1,2))＝ eq \r(\f(3,2)（x－\f(1,3)）2＋\f(1,3))≥ eq \f(\r(3),3)，当且仅当x＝ eq \f(1,3)时，等号成立，故AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为 eq \f(\r(3),3). 考点三　点到平面的距离 [例3] 在三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是(　　) A． eq \f(4\r(6),3) B． eq \f(2\r(6),3) C． eq \f(4\r(3),3) D． eq \f(4\r(2),3) 解析：方法一　以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴，以过点A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，4，0)，P(0，4，4 eq \r(2))，∴ eq \o(AP,\s\up16(→))＝(0，4，4 eq \r(2))， eq \o(AB,\s\up16(→))＝(4，0，0)， eq \o(PC,\s\up16(→))＝(0，0，－4 eq \r(2)). 设平面PAB的一个法向量为m＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AP,\s\up16(→))＝0，,m·\o(AB,\s\up16(→))＝0，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4y＋4\r(2)z＝0，,4x＝0，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(2)z，,x＝0，))令y＝ eq \r(2)，则z＝－1，∴m＝(0， eq \r(2)，－1)，∴点C到平面PAB的距离为 eq \f(|\o(PC,\s\up16(→))·m|,|m|)＝ eq \f(4\r(6),3). 方法二　∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB．又AB⊥AC，且PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC．∵PA⊂平面PAC，∴AB⊥PA．∵AC＝AB＝4，∴BC＝4 eq \r(2)，∴PC＝4 eq \r(2)，PB＝8.在Rt△PAB中，PA＝ eq \r(82－42)＝4 eq \r(3)，设点C到平面PAB的距离为d，∵VP­ABC＝VC­PAB，∴ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×4×4×4 eq \r(2)＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×4×4 eq \r(3)×d，∴d＝ eq \f(4\r(6),3). 点到平面的距离的求法 (1)几何法：①作出点到平面的垂线段，在直角三角形中，求这条垂线段的长度． ②把待求的点面距看作三棱锥的高，利用三棱锥的等体积转换法求解． (2)向量法：点A到平面α的距离d＝ eq \f(|\o(AB,\s\up16(→))·n|,|n|)(其中B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量). 训练3 (1)在棱长均为a的正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为(　　) A． eq \f(\r(2),4)a B． eq \f(\r(2),8)a C． eq \f(3\r(2),4)a D． eq \f(\r(2),2)a 解析：以A为空间直角坐标系的原点，以过点A且垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系． 由ABC­A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，故A(0，0，0)，B1( eq \f(\r(3)a,2)， eq \f(a,2)，a)，D(0，a， eq \f(a,2))，C1(0，a，a)， 所以 eq \o(AB1,\s\up16(→))＝( eq \f(\r(3)a,2)， eq \f(a,2)，a)， eq \o(DC1,\s\up16(→))＝(0，0， eq \f(a,2))， eq \o(AD,\s\up16(→))＝(0，a， eq \f(a,2))，设平面AB1D的一个法向量是n＝(x，y，z)，所以取n＝( eq \r(3)，1，－2)，故点C1到平面AB1D的距离d＝＝ eq \f(a,\r(3＋1＋4))＝ eq \f(\r(2),4)a. (2)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝AC＝CC1＝4，D为AB1的中点，CB1交BC1于点E. ①证明：CB1⊥C1D； ②求点E到平面B1C1D的距离． ①证明：因为CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，所以A1C1，B1C1，CC1两两垂直，故以C1为原点，A1C1，B1C1，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0，0，4)，C1(0，0，0)，B1(0，4，0)，D(2，2，2)， 所以 eq \o(CB1,\s\up16(→))＝(0，4，－4)， eq \o(C1D,\s\up16(→))＝(2，2，2)，所以 eq \o(CB1,\s\up16(→))· eq \o(C1D,\s\up16(→))＝0＋8－8＝0，所以 eq \o(CB1,\s\up16(→))⊥ eq \o(C1D,\s\up16(→))，所以CB1⊥C1D． ②解：由题意可知E是CB1，BC1的中点，所以E(0，2，2)， eq \o(C1B1,\s\up16(→))＝(0，4，0)， eq \o(C1D,\s\up16(→))＝(2，2，2)， eq \o(C1E,\s\up16(→))＝(0，2，2). 设平面B1C1D的一个法向量为m＝(x，y，z)，则取x＝1，得m＝(1，0，－1)， 所以点E到平面B1C1D的距离d＝＝ eq \f(2,\r(2))＝ eq \r(2). $$