第一章 第6节 空间向量及其运算和空间位置关系（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第6节　空间向量及其运算和空间位置关系 第一章　立体几何与空间向量 衔接教材 夯基固本 落实 大小 方向 相同 相等 相等 相反 平行 重合 同一个平面 衔接教材 夯基固本 落实 a＝λb 唯一 p＝xa＋yb 衔接教材 夯基固本 落实 xa＋yb＋zc 基底 衔接教材 夯基固本 落实 |a||b|cos 〈a，b〉 a·b＝0 衔接教材 夯基固本 落实 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) a1b1＋a2b2＋a3b3 衔接教材 夯基固本 落实 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 衔接教材 夯基固本 落实 平行或共线 衔接教材 夯基固本 落实 n1＝kn2 n1·n2＝0 n·m＝0 n＝km n·m＝0 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(6) 温馨提示 谢谢观看！ 1．了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示． 4．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 5．能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题，以及平行、垂直问题． 一、空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有____和____的量 相等向量 方向____且模____的向量 相反向量 长度____而方向____的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相____或____的向量 共面向量 平行于__________的向量 二、空间向量的有关定理 1．共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________． 2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在____的有序实数对(x，y)，使_______________． 3．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数对(x，y，z)，使得p＝_______________，{a，b，c}叫做空间的一个____． 三、空间向量的数量积及坐标运算 1．两个空间向量的数量积 数量积 a·b＝___________________________ 垂直 关系 a⊥b⇔_______________(a，b为非零向量) 模 设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝______________ eq \r(x2＋y2＋z2) 2.空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝_________________________________ 向量差 a－b＝_________________________________ 数量积 a·b＝_________________________________ 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔______________________________ 夹角 公式 cos 〈a，b〉＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a＋a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)))\r(b eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋b eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋b eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)))) 四、直线的方向向量与平面的法向量 直线的 方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l__________，则称此向量a为直线l的方向向量 平面的 法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量 五、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔_________(k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔_________ 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔_____________ l⊥α n∥m⇔_________ (k∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m⇔____________ 1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔ eq \o(OA,\s\up6(→))＝x eq \o(OB,\s\up6(→))＋y eq \o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔ eq \o(OP,\s\up6(→))＝x eq \o(OA,\s\up6(→))＋y eq \o(OB,\s\up6(→))＋z eq \o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 一、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第一册P12T1改编)若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是(　　) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 2．(人教B版选择性必修第一册P61T2改编)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　) A．(－1，1，1) B．(1，－1，1) C．(－ eq \f(\r(3),3)，－ eq \f(\r(3),3)，－ eq \f(\r(3),3)) D．( eq \f(\r(3),3)， eq \f(\r(3),3)，－ eq \f(\r(3),3)) 3．(人教A版选择性必修第一册P10T5改编)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AD,\s\up16(→))＝b， eq \o(A1A,\s\up16(→))＝c，则下列向量与 eq \o(C1M,\s\up16(→))相等的向量是(　　) A．－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋c B． eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋c C．－ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b－c D．－ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋c 解析： eq \o(C1M,\s\up16(→))＝ eq \o(C1C,\s\up16(→))＋ eq \o(CM,\s\up16(→))＝ eq \o(C1C,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(CB,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→)))＝ eq \o(A1A,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(DA,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b－c. 4．(苏教版选择性必修第二册P31T2)设t为实数，若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为(t，2，4)，α的法向量为( eq \f(1,2)，1，2)，则t的值为________________． 答案：1 二、易误易混澄清 1．(共面向量定理理解有误)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　) A．9 B．－9 C．－3 D．3 解析：由题意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,x＋2y＝6，,－3x＋3y＝λ，))解得λ＝－9. 2．(忽视对应系数相等)在正方体ABCD­A1B1C1D1中， eq \o(A1E,\s\up16(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(A1C1,\s\up16(→))， eq \o(AE,\s\up16(→))＝x eq \o(AA1,\s\up16(→))＋y( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→)))，则(　　) A．x＝1，y＝ eq \f(1,2)　　　 B．x＝1，y＝ eq \f(1,3) C．x＝ eq \f(1,2)，y＝1 D．x＝1，y＝ eq \f(1,4) 解析： eq \o(AE,\s\up16(→))＝ eq \o(AA1,\s\up16(→))＋ eq \o(A1E,\s\up16(→))＝ eq \o(AA1,\s\up16(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(A1C1,\s\up16(→))＝ eq \o(AA1,\s\up16(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \o(AA1,\s\up16(→))＋ eq \f(1,4)( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))).又 eq \o(AE,\s\up16(→))＝x eq \o(AA1,\s\up16(→))＋y( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→)))，由对应系数相等可知x＝1，y＝ eq \f(1,4). 考点一　空间向量的线性运算 1．在空间四边形OABC中， eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b， eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则 eq \o(MN,\s\up16(→))＝(　　) A． eq \f(1,2)a－ eq \f(2,3)b＋ eq \f(1,2)c B．－ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c C． eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,2)c D． eq \f(2,3)a＋ eq \f(2,3)b－ eq \f(1,2)c 解析： eq \o(MN,\s\up16(→))＝ eq \o(ON,\s\up16(→))－ eq \o(OM,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \o(OC,\s\up16(→)))－ eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＝－ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c. 2．(2025·淮安模拟)设x，y是实数，已知三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：由已知可得 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，－1，3)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝(x－1，－2，y＋4).因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ， 使得 eq \o(AC,\s\up16(→))＝λ eq \o(AB,\s\up16(→))，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝λ，,－2＝－λ，,y＋4＝3λ，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,x＝3，,y＝2，))所以x＋y＝5. 3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简 eq \o(A1O,\s\up16(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝________________； (2)用 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(AD,\s\up16(→))， eq \o(AA1,\s\up16(→))表示OC1，则 eq \o(OC1,\s\up16(→))＝________________. 答案：(1) eq \o(AA1,\s\up16(→))　(2) eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(AA1,\s\up16(→))　解析：(1) eq \o(A1O,\s\up16(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(A1O,\s\up16(→))－ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→)))＝ eq \o(A1O,\s\up16(→))－ eq \o(AO,\s\up16(→))＝ eq \o(A1O,\s\up16(→))＋ eq \o(OA,\s\up16(→))＝ eq \o(A1A,\s\up16(→))． (2)因为 eq \o(OC,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→)))，所以 eq \o(OC1,\s\up16(—→))＝ eq \o(OC,\s\up16(→))＋ eq \o(CC1,\s\up16(—→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→)))＋ eq \o(AA1,\s\up16(—→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(AA1,\s\up16(—→))． 用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 考点二　共线、共面向量定理的应用 [例1] (1)在四面体OABC中，空间中的一点M满足 eq \o(OM,\s\up16(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \f(1,6) eq \o(OB,\s\up16(→))＋λ eq \o(OC,\s\up16(→))，若 eq \o(MA,\s\up16(→))， eq \o(MB,\s\up16(→))， eq \o(MC,\s\up16(→))共面，则λ＝(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3) C． eq \f(5,12) D． eq \f(7,12) (2)设e1，e2是两个不共线的空间向量，若 eq \o(AB,\s\up16(→))＝2e1－e2， eq \o(BC,\s\up16(→))＝3e1＋3e2， eq \o(CD,\s\up16(→))＝e1＋ke2，且A，C，D三点共线，则实数k的值为________________. 答案：(1)D　(2) eq \f(2,5)　解析：(1)由题可知O，A，B，C四点不共面，所以由 eq \o(MA,\s\up16(→))， eq \o(MB,\s\up16(→))， eq \o(MC,\s\up16(→))共面，得 eq \f(1,4)＋ eq \f(1,6)＋λ＝1，解得λ＝ eq \f(7,12). (2)∵ eq \o(AB,\s\up16(→))＝2e1－e2， eq \o(BC,\s\up16(→))＝3e1＋3e2，∴ eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝5e1＋2e2，又A，C，D三点共线，∴ eq \o(AC,\s\up16(→))∥ eq \o(CD,\s\up16(→))，∵e1，e2不共线， eq \o(CD,\s\up16(→))＝e1＋ke2，∴ eq \o(AC,\s\up16(→))＝5 eq \o(CD,\s\up16(→))，∴2－5k＝0，∴k＝ eq \f(2,5). 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 eq \o(PA,\s\up16(→))＝λ eq \o(PB,\s\up16(→)) eq \o(MP,\s\up16(→))＝x eq \o(MA,\s\up16(→))＋y eq \o(MB,\s\up16(→)) 对空间任一点O， eq \o(OP,\s\up16(→))＝ eq \o(OA,\s\up16(→))＋t eq \o(AB,\s\up16(→)) 对空间任一点O， eq \o(OP,\s\up16(→))＝ eq \o(OM,\s\up16(→))＋x eq \o(MA,\s\up16(→))＋y eq \o(MB,\s\up16(→)) 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 对空间任一点O， eq \o(OP,\s\up16(→))＝x eq \o(OA,\s\up16(→))＋(1－x) eq \o(OB,\s\up16(→)) 对空间任一点O， eq \o(OP,\s\up16(→))＝x eq \o(OM,\s\up16(→))＋y eq \o(OA,\s\up16(→))＋(1－x－y) eq \o(OB,\s\up16(→)) 训练1 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 eq \o(OM,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3)( eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \o(OC,\s\up16(→))). (1)判断 eq \o(MA,\s\up16(→))， eq \o(MB,\s\up16(→))， eq \o(MC,\s\up16(→))三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由已知 eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \o(OC,\s\up16(→))＝3 eq \o(OM,\s\up16(→))，所以 eq \o(OA,\s\up16(→))－ eq \o(OM,\s\up16(→))＝( eq \o(OM,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→)))＋( eq \o(OM,\s\up16(→))－ eq \o(OC,\s\up16(→))).即 eq \o(MA,\s\up16(→))＝ eq \o(BM,\s\up16(→))＋ eq \o(CM,\s\up16(→))＝－ eq \o(MB,\s\up16(→))－ eq \o(MC,\s\up16(→))， 所以 eq \o(MA,\s\up16(→))， eq \o(MB,\s\up16(→))， eq \o(MC,\s\up16(→))共面． (2)方法一　由(1)知 eq \o(MA,\s\up16(→))， eq \o(MB,\s\up16(→))， eq \o(MC,\s\up16(→))共面且过同一点M，所以四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内． 方法二　因为 eq \o(OM,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3)( eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \o(OC,\s\up16(→)))＝ eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up16(→))， 又 eq \f(1,3)＋ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,3)＝1，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 考点三　空间向量数量积的应用 [例2] 如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD． (1)解：设 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AD,\s\up16(→))＝b， eq \o(AA1,\s\up16(→))＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ∵ eq \o(AC1,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))＋CC1＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(AA1,\s\up16(→))＝a＋b＋c， ∴| eq \o(AC1,\s\up16(→))|＝|a＋b＋c|＝ eq \r(（a＋b＋c）2) ＝ eq \r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2（a·b＋b·c＋c·a）) ＝ eq \r(12＋12＋22＋2×（0－1－1）)＝ eq \r(2). ∴线段AC1的长为 eq \r(2). (2)解：设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈 eq \o(AC1,\s\up16(→))， eq \o(A1D,\s\up16(→))〉|＝. ∵ eq \o(AC1,\s\up16(→))＝a＋b＋c， eq \o(A1D,\s\up16(→))＝b－c，∴ eq \o(AC1,\s\up16(→))· eq \o(A1D,\s\up16(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， | eq \o(A1D,\s\up16(→))|＝ eq \r(（b－c）2)＝ eq \r(|b|2－2b·c＋|c|2) ＝ eq \r(12－2×（－1）＋22)＝ eq \r(7). ∴cos θ＝＝ eq \f(|－2|,\r(2)×\r(7))＝ eq \f(\r(14),7). 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为 eq \f(\r(14),7). (3)证明：∵ eq \o(AA1,\s\up16(→))＝c， eq \o(BD,\s\up16(→))＝b－a，∴ eq \o(AA1,\s\up16(→))· eq \o(BD,\s\up16(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0， ∴ eq \o(AA1,\s\up16(→))⊥ eq \o(BD,\s\up16(→))，即AA1⊥BD． 空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角 求长度(距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 训练2 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，求： (1) eq \o(EF,\s\up16(→))· eq \o(BA,\s\up16(→))的值； (2)线段EG的长； (3)异面直线EG与AC所成角的大小． 解：(1)设 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AC,\s\up16(→))＝b， eq \o(AD,\s\up16(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 可得 eq \o(EF,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2)c－ eq \f(1,2)a， eq \o(BA,\s\up16(→))＝－a， 所以 eq \o(EF,\s\up16(→))· eq \o(BA,\s\up16(→))＝( eq \f(1,2)c－ eq \f(1,2)a)·(－a)＝－ eq \f(1,2)a·c＋ eq \f(1,2)a2＝－ eq \f(1,4)＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,4). (2)由 eq \o(EG,\s\up16(→))＝ eq \o(EB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(CG,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋( eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→)))＋ eq \f(1,2)( eq \o(AD,\s\up16(→))－ eq \o(AC,\s\up16(→)))＝－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c， 则| eq \o(EG,\s\up16(→))|2＝ eq \f(1,4)(－a＋b＋c)2＝ eq \f(1,4)(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝ eq \f(1,2)，所以| eq \o(EG,\s\up16(→))|＝ eq \f(\r(2),2)，即EG的长为 eq \f(\r(2),2). (3)由 eq \o(EG,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c，则 eq \o(EG,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c)·b＝－ eq \f(1,2)a·b＋ eq \f(1,2)b2＋ eq \f(1,2)c·b＝ eq \f(1,2)， 所以cos 〈 eq \o(EG,\s\up16(→))， eq \o(AC,\s\up16(→))〉＝ eq \f(\o(EG,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→)),|\o(EG,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|)＝ eq \f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×1)＝ eq \f(\r(2),2). 因为0°≤〈 eq \o(EG,\s\up16(→))， eq \o(AC,\s\up16(→))〉≤90°，所以异面直线EG与AC所成的角为45°. 考点四　利用空间向量证明平行与垂直 [例3] 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． 求证：(1)平面A1B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD． 证明：以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4).设BA＝a，则A(a，0，0)，G( eq \f(a,2)，1，4). (1)因为 eq \o(BA,\s\up16(→))＝(a，0，0)， eq \o(BD,\s\up16(→))＝(0，2，2)， eq \o(B1D,\s\up16(→))＝(0，2，－2)， 所以 eq \o(B1D,\s\up16(→))· eq \o(BA,\s\up16(→))＝0， eq \o(B1D,\s\up16(→))· eq \o(BD,\s\up16(→))＝0，所以 eq \o(B1D,\s\up16(→))⊥ eq \o(BA,\s\up16(→))， eq \o(B1D,\s\up16(→))⊥ eq \o(BD,\s\up16(→))，即B1D⊥BA，B1D⊥BD． 又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD． 因为B1D⊂平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD． (2)方法一　因为 eq \o(EG,\s\up16(→))＝( eq \f(a,2)，1，1)， eq \o(EF,\s\up16(→))＝(0，1，1)， eq \o(B1D,\s\up16(→))＝(0，2，－2)， 所以 eq \o(B1D,\s\up16(→))· eq \o(EG,\s\up16(→))＝0， eq \o(B1D,\s\up16(→))· eq \o(EF,\s\up16(→))＝0，所以B1D⊥EG，B1D⊥EF. 因为EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，所以B1D⊥平面EGF. 又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD． 方法二　因为 eq \o(GF,\s\up16(→))＝(－ eq \f(a,2)，0，0)，所以 eq \o(GF,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))，所以GF∥BA， 又GF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD， 又GF∩EF＝F，GF，EF⊂平面EGF，所以平面EGF∥平面ABD． 向量法证明平行与垂直的关键 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素). (2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理． 训练3 如图，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 eq \r(2)倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD． (2)若SD⊥平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由． (1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD，连接SO. 由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设底面边长为a(a>0)，则高SO＝ eq \f(\r(6),2)a，所以S(0，0， eq \f(\r(6),2)a)，D(－ eq \f(\r(2),2)a，0，0)，B( eq \f(\r(2),2)a，0，0)，C(0， eq \f(\r(2),2)a，0)，所以 eq \o(OC,\s\up16(→))＝(0， eq \f(\r(2),2)a，0)， eq \o(SD,\s\up16(→))＝(－ eq \f(\r(2),2)a，0，－ eq \f(\r(6),2)a)， 则 eq \o(OC,\s\up16(→))· eq \o(SD,\s\up16(→))＝0. 故OC⊥SD，所以AC⊥SD． (2)解：侧棱SC上存在一点E使得BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1. 理由如下，由已知条件知 eq \o(DS,\s\up16(→))是平面PAC的一个法向量， 且 eq \o(DS,\s\up16(→))＝( eq \f(\r(2),2)a，0， eq \f(\r(6),2)a)， eq \o(CS,\s\up16(→))＝(0，－ eq \f(\r(2),2)a， eq \f(\r(6),2)a)， eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－ eq \f(\r(2),2)a， eq \f(\r(2),2)a，0). 设 eq \o(CE,\s\up16(→))＝t eq \o(CS,\s\up16(→))(0＜t<1)，则 eq \o(BE,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(CE,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))＋t eq \o(CS,\s\up16(→))＝(－ eq \f(\r(2),2)a， eq \f(\r(2),2)a(1－t)， eq \f(\r(6),2)at)， 又 eq \o(BE,\s\up16(→))· eq \o(DS,\s\up16(→))＝0，所以 eq \f(\r(2),2)a×(－ eq \f(\r(2),2)a)＋ eq \f(\r(6),2)a× eq \f(\r(6),2)at＝0， 所以t＝ eq \f(1,3)，即当SE∶EC＝2∶1时， eq \o(BE,\s\up16(→))⊥ eq \o(DS,\s\up16(→)). 而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC． $$